孫曉祥
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走近丟番圖
孫曉祥
亞歷山大的丟番圖對代數學的發展起了極其重要的作用,對后來的數論學者有很深的影響.他有幾種著作,最重要的是《算術》,還有一部《多角數》,另一些已遺失.《算術》是一部劃時代的著作,它在歷史上影響之大,可和歐幾里得的《幾何原本》相媲美.
丟番圖的《算術》是講數論的,它討論了一次、二次以及個別的三次方程,還有大量的不定方程.現在對于具有整數系數的不定方程,如果只考慮其整數解,這類方程就叫作丟番圖方程,它是數論的一個分支.不過丟番圖并不要求解答是整數,而只要求是正有理數.
從另一個角度看,《算術》一書也可以歸入代數學的范圍.代數學區別于其他學科的最大特點是引入了未知數,并對未知數加以運算.就引入未知數、創設未知數的符號,以及建立方程的思想(雖然未有現代方程的形式)這幾方面來看,丟番圖的《算術》完全可以算得上是代數.
希臘數學自畢達哥拉斯學派后,興趣中心在幾何,他們認為只有經過幾何論證的命題才是可靠的.為了邏輯的嚴密性,代數也披上了幾何的外衣.一切代數問題,甚至簡單的一次方程的求解,也都納入了幾何的模式之中.直到丟番圖,才把代數解放出來,擺脫了幾何的羈絆.他認為代數方法比幾何的演繹陳述更適宜于解決問題,而在解題的過程中顯示出的高度的巧思和獨創性,在希臘數學中獨樹一幟.他被后人稱為“代數學之父”不無道理.