隨機激勵下風機齒輪箱動力學建模及故障特征提取

何　俊, 楊世錫, 甘春標

(浙江大學 機械工程學院, 杭州　310027)

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隨機激勵下風機齒輪箱動力學建模及故障特征提取

何俊, 楊世錫, 甘春標

(浙江大學 機械工程學院, 杭州310027)

研究隨機激勵下的風機齒輪箱動力學特性，同時對典型的早期局部齒形故障特征進行提取。首先,建立了具有十六個自由度的風機齒輪箱動力學模型，模擬了多組隨機不確定風載數據并作用在模型上進行仿真計算，通過分析內部齒輪振動信號的時頻譜圖和概率密度函數，研究隨機不確定風載對齒輪箱動力學特性的影響。其次，在模型中考慮不同程度的齒面缺陷故障，運用同步小波壓縮方法對仿真計算得到的齒輪振動信號進行分析。研究結果為分析不同工況下的風機齒輪箱動力學特性提供參考。

風機齒輪箱；隨機激勵；動力學建模；同步小波壓縮；故障特征提取

齒輪箱是風機系統的關鍵部件，它的正常運行通常會受到系統的動力輸入部件及負載部件的影響。同時，隨機不確定風載，時變嚙合剛度以及一些常見的故障模式，均會導致齒輪箱的動力學特性非常復雜。因此，對受隨機激勵下的風機齒輪箱結構進行動力學特性研究以及故障特征提取顯得尤為重要。

目前，已有一些學者針對簡單的齒輪箱動力學模型進行研究，如Bartelum[1]建立了一級傳動齒輪箱動力學模型，加入一隨機誤差模型用于研究齒輪箱在設計、制造及運行過程中產生的一系列偏差對動力學特性的影響。Parey[2]建立了包含局部齒形故障的二級傳動齒輪箱動力學模型，采用正弦衰減脈沖來模擬模型中的點蝕、斷齒等故障，同時利用基于EMD的統計分析方法對多種不同程度的故障進行了區分。此外，為了提高模型的準確性，眾多學者在建模的過程中做出了更多的嘗試，如增加模型的自由度、引入時變嚙合剛度、考慮實際運行工況中出現的多種非線性因素等等[3]。上述眾多研究成果均是利用確定性理論來解決齒輪箱的問題，因此在處理由隨機激勵引起的齒輪箱動力學問題時便具有很大的局限性。如今已有一些學者開始重點考慮隨機負載對齒輪箱系統的影響。Tobe[4]最先通過實驗證明了齒輪傳遞誤差中存在隨機因素，之后他建立了含有隨機微分方程的齒輪箱動力學模型并利用統計線性化方法進行求解。Wen[5]在建立的齒輪箱動力學模型當中同時加入了確定負載和隨機負載，此外還考慮了齒間側隙和時變嚙合剛度等非線性因素，運用路徑積分方法獲取系統隨機響應的概率密度分布。

風力發電機通常工作在環境較為惡劣的地區，風速的急劇變化會產生隨機不確定風載作用于風機系統上。齒輪箱作為關鍵傳動機構也必然會經常受到隨機激勵。此外，風機的動力輸入機構以及負載機構也會對齒輪箱的正常運行產生影響，再加上時變嚙合剛度，局部齒故障等因素，齒輪箱的振動響應通常極為復雜。然而，現如今大部分研究工作往往將齒輪箱從整個機械設備中剝離開來單獨研究，考慮隨機激勵的則更是少之又少，因此具有很大的局限性。

本文針對上述問題，同時考慮實驗室環境下模擬試驗的局限性，對風機齒輪箱機構進行了一定的簡化與改造并建立模型，旨在研究外部隨機激勵和常見故障模式對齒輪箱系統動力學特性的影響，具體章節安排為：引言部分簡短地介紹了齒輪箱動力學研究的進展，提出本文的研究內容；第一節介紹了本文建立的系統動力學模型以及隨機激勵模型；第二節在建立的模型的基礎上進行實例分析，研究不同工況下的齒輪箱動力學特性并進行對比分析；第三節為本文的結論。

1　系統動力學模型

為了充分研究齒輪箱的動力學特性，眾多學者分別提出了多種動力學模型。早期的許多動力學模型只考慮一對齒輪嚙合的情況，或者將齒輪箱簡化為線性時不變系統[6]。而如今一些學者在增加模型自由度的同時，還考慮了系統中存在的某些非線性時變因素，如齒間側隙，時變嚙合剛度等等[3]。在幾位學者提出的二級傳動齒輪箱動力學模型的基礎上，本文建立的模型結合風機齒輪箱的實際運行工況，加入了隨機不確定風載、時變嚙合剛度、齒故障等非線性特征。

圖1　齒輪箱系統動力學模型Fig.1 The dynamics model of gearbox system

實際的風機齒輪箱動力來源于風機主軸，之后經過多級嚙合齒輪加速帶動后端的發電機工作。不過在實驗室環境下較難模擬風能帶動風機主軸低速旋轉這一過程，因此通常的替代方法是用電動機帶動齒輪箱的高速軸以發電機的額定轉速旋轉，而低速軸輸出端則連接一簡化的葉輪機構或圓盤，這樣同樣能再現風機齒輪箱的工作狀況，同時盡可能地復現風機葉輪的懸臂結構。本文在建立模型時同樣考慮了實驗室環境下模擬試驗的局限性，對風機齒輪箱機構進行了一定的簡化與改造。圖1即為本文所建立的風機齒輪箱系統動力學模型，此模型包括兩對嚙合齒輪，電機輸入軸，齒輪箱輸出軸以及外接圓盤。其中，mj(j=1,2,3,4,5)為四個齒輪和圓盤的質量，Ij(j=0,1,2,3,4,5)為電機輸入端、四個齒輪和圓盤的轉動慣量，T1為齒輪箱輸入轉矩，T2為齒輪箱輸出轉矩。每一個齒輪基座的約束均簡化為水平和豎直方向的彈性連接，兩方向的約束剛度和阻尼分別為Kf和Cf。此外，一號齒輪受到電機輸入軸的扭轉剛度Kn、阻尼Cn的約束；二號和三號齒輪受到齒輪軸的扭轉剛度Kg、阻尼Cg的約束；四號齒輪受到齒輪箱輸出軸的扭轉剛度Kt、阻尼Ct的約束，同時在水平和豎直方向，還需考慮外接圓盤主軸的彎曲剛度Ks、阻尼Cs的影響。α為齒輪壓力角。

由牛頓第二定律，得到如下運動微分方程：

(1a)

(1b)

(1c)

(1d)

(1e)

(1f)

(1g)

(1h)

(1i)

(1j)

(1k)

(1l)

+Ks(x4-x5)=-F34(t)sinα

(1m)

Ks(y4-y5)=-F34(t)cosα

(1n)

(1o)

(1p)

式中：齒間嚙合力F12(t)和F34(t)分別為：

(2a)

(2b)

式中：Kz為齒間嚙合剛度，Cz為嚙合阻尼，δ12和δ34為嚙合齒輪之間的相對位移，它們可分別表示為：

δ12=(x1-x2)sinα+(y1-y2)cosα+r1φ1-r2φ2(3a)

δ34=(x3-x4)sinα+(y3-y4)cosα+r3φ3-r4φ4(3b)

齒輪在嚙合過程中基本上都存在單齒嚙合和雙齒嚙合交替出現的狀況，這種嚙合方式會導致嚙合剛度也在隨時波動。Wang、Howard[7]等學者利用有限元方法對嚙合剛度的時變情況進行了細致的研究。根據他們的研究成果，齒輪嚙合剛度可以近似地表示成一方波函數：

n=1,2,3…

(4)

式中：K1，K2為兩種不同的嚙合剛度值，Tm為齒輪的嚙合周期，Th表示嚙合剛度為K1時的時間區域。

對以上確定性情形，即忽略齒輪箱系統中普遍存在的隨機不確定成分，眾多學者在動力學建模及數值分析方面已經有了較為透徹的研究[3]。然而，在實際運行工況下，風場隨機風速的大小和動態變化會對風電齒輪箱的工作性能和可靠性產生重要影響。因此，為了更準確地研究風力發電機齒輪傳動系統的動力學特性，必須建立與實際風速相符合的風速模型，在模擬真實風速變化的情況下研究風力發電機齒輪傳動系統的動態性能和可靠性。 近年來一些學者已對隨機風速模型進行了大量的研究，并取得一定的成果，例如：Davenport風速模型[8]，雙參數Weibull分布的風速模型[9]等。本文采用的是Davenport風速模型。風速功率譜經驗公式如下：

(5)

式中：f為角頻率，a為風速標準差，v(n)是代表離地高度n米處的平均風速。

由Shinozuka[10]的諧波疊加法可產生脈動風速的一個充分遍歷的樣本。假設脈動風速是一個零均值平穩高斯過程，其單邊功率譜密度函數為S(n)，有

(6)

式中：Δn=(nu-nl)/N,nk=nl+(k-0.5)Δn，nu、nl分別為S(n)的上限頻率和下限頻率。φk為隨機相位角，它服從[0,2π]上的均勻分布。

在大部分的氣動模型中，通常都假定在給定徑向位置處的流動是二維的，即葉片只受到水平和豎直兩方向的力，即圖2中的升力L和阻力D。此外，風載還將產生導致葉片旋轉的風力矩M。升力L、阻力D和力矩M的計算方法如式(7a)，(7b)，(7c)所示：

(7a)

(7b)

(7c)

式中：Cl為升力系數，Cd為升力系數，Cm為升力系數，ρ為風速，ν為風速，A為風輪掃瓊面積。

圖2　葉片受力簡圖Fig.2 The force diagram of blade

考慮了隨機激勵之后，本文模型中的外接圓盤還將受到一隨機力矩M(t)，水平方向隨機力D(t)以及豎直方向隨機力L(t)。這些隨機成分的具體數值可根據風速的實時變化情況求得。

2　系統動力學特性與信號特征分析

在上文提出的動力學模型的基礎上，本文將首先研究不受隨機激勵的健康齒輪箱動力學特性，分析齒輪箱在不同轉速下的振動信號。之后再研究隨機激勵下齒輪箱動力學特性的變化，最后在模型中加入故障因素并進行特征提取。

本文選取的大部分模型參數來自于實驗室自主搭建的實驗平臺。其他一些不便測量的參數則參考比較各類文獻資料，選取與本文所建模型較為貼近的文獻中的數據。其中，模型采用的是漸開線直齒圓柱齒輪，其他主要的參數見表1。

表1　齒輪箱主要參數

此外，隨機風載模型的相關參數選擇與翼型的種類有較大的關系。本文參考空氣動力學的相關資料，選取FX67-K-170翼型的參數用于本模型的研究工作。其他一些主要的參數如下所示：

m5=3.2 kg;p=1.23 kg/m3;

Cl=1;Cd=0.02;Cm=0.35;

Kn=Kt=1 917 N·m/rad;Kg=3 383 N·m/rad;

Cm=Ct=0.27 N·m·s/rad;Cg=0.26 N·m·s/rad;

Kf=107 N/m;Cf=1 000 N·s/m;

f=100π;a=5;Lv=1 200,v=20 m/s

2.1無隨機激勵時健康齒輪箱的動力學特性

圖3　不同轉速下齒輪速度信號的頻譜圖Fig.3 The spectrum of gearvelocity signal under different rotation speed

圖4　不同轉速下齒輪振動信號的相圖Fig.4 The phase diagram of gearvibration signal under different rotation speed

圖3和圖4為齒輪箱高速軸轉速分別為1 000 r/min和3 000 r/min時第四個齒輪的速度信號頻譜圖以及相圖。轉速的變化主要會導致各級齒輪的嚙合頻率改變，齒輪在變化的受力情況下進而會產生不同的動力學現象。從頻譜圖中可以發現，速度信號的頻率成分主要為齒輪嚙合頻率及其倍頻。當轉速為1 000 r/min時，有多個頻率成分幅值較大，因此可以把該轉速下的速度信號描述成多個不同周期成分相疊加，相圖也說明此時系統呈現的是多周期運動。而當轉速為3 000 r/min時，速度信號的頻率成分雖然也包含齒輪嚙合頻率及其倍頻，但相比起嚙合頻率， 倍頻成分的幅值十分微弱。因此可以把該轉速下的速度信號描述成單周期成分加上一些能量十分微弱的其他周期成分，相圖也說明該工況下系統呈現的是典型的單周期運動。

為了充分研究齒輪箱的動力學特性，本文還采用時頻分析方法對振動信號進行對比分析，具體內容如下文所見。

2.2隨機激勵下健康齒輪箱的動力學特性與信號特征

本節將采用上文所述的Davenport風速模型和諧波疊加法模擬多組隨機不確定風載數據，分別把它們作用在模型上進行仿真計算，之后通過分析內部齒輪振動信號的時頻譜圖和概率密度函數，研究隨機不確定風載對齒輪箱動力學特性的影響。

隨機不確定風載會對齒輪箱輸入軸產生一隨機變化的驅動力矩，進而改變各級齒輪的轉頻以及嚙合頻率。因此，當受到隨機不確定風載作用時，式(4)中的Tm和Th都不再恒定。嚙合頻率、升力和阻力的隨機變化都會對齒輪箱的動力學特性產生影響。同時，與確定性激勵不同，隨機激勵的特點在于它在時域上無法準確預測。因此它對系統的影響不能僅僅通過對一段有限長度的數據進行分析來描述。以往已有一些學者采用統計學的相關方法對動力學系統中存在的隨機因素進行分析并取得一定的成果[5]。本文共模擬了32組隨機不確定風載數據并作用在模型上進行仿真計算，之后分析第四個齒輪振動信號概率密度函數，研究齒輪箱在隨機激勵下的振動模式。其中，32組風載數據的平均風速為20 m/s。

圖5顯示了一個周期內齒輪豎直方向速度信號的概率密度函數變化情況。四幅圖分別表示一個周期內四個相等間隔時間點的數據。從圖中我們可以發現，在隨機激勵下齒輪速度具有不確定性。我們可以通過概率密度函數來預測齒輪速度的范圍及各點取值的概率，但無法準確地計算出具體數值。同時，任一時刻速度的概率密度函數也不相同，因此無法像受確定性激勵的情況一樣可以根據以往數據準確地預測將來數據。齒輪位移的概率密度函數與速度的情況類似，這里便不再詳細說明。

圖5　不同時刻齒輪速度信號的概率密度函數Fig.5 The probability density function of gearvelocity signal in different moments

此外，隨機激勵下齒輪箱的振動信號還具有強烈的非平穩性。因此，一些傳統的頻譜分析方法顯然無法有效地提取出復雜信號的瞬時特征。近年來一些學者在這一領域進行了大量的研究，并提出了多種信號處理新方法。Xiong[11]針對譜峭度(SK)對非平穩信號的敏感性，提出了一種基于SK-HHT的新方法。Daubechies[12]提出了一種同步小波壓縮算法，該方法以小波變換為基礎，首先對任意信號進行連續小波變換，進而建立起信號瞬時頻率與尺度因子和平移因子之間的映射關系，之后再在小波尺度方向上對時間-尺度平面的能量進行重新分配并將其轉換為時間-頻率平面，其離散計算式為：

Tx(ωl,b)=

(8)

相比起傳統的小波分析方法，該方法可以提高時頻聚集性，消除干擾項，從而能進一步洞察非平穩信號內部組成成分。本文即采用同步小波壓縮算法對第四個齒輪的豎直方向速度信號進行時頻譜分析。齒輪箱高速軸的轉速設為1 000 r/min。

圖6(a)是不受隨機激勵時信號的時頻譜圖，由于信號低頻域段成分能量十分微弱，所以本文只截取了頻率范圍為50 Hz到500 Hz這一段進行重點分析。從圖中我們可以發現信號的主要成分為齒輪的嚙合頻率及其倍頻。其中能量主要集中在中頻域段，即頻率范圍為50 Hz到200 Hz。而在高頻域段，能量逐漸衰減，同時在嚙合頻率的高倍頻附近出現了調頻現象，這導致了能量在整個高頻域段內較為分散，而不像低頻域段都集中在幾個主要的頻率成分。圖6(b)是受隨機激勵時信號的時頻譜圖，頻率范圍為50 Hz到500 Hz。與圖6(a)相比較，信號的主要成分同樣為齒輪的嚙合頻率及其倍頻，但是它們都出現了較嚴重的調頻現象，瞬時頻率隨時間出現明顯的波動，不再集中在幾個固定的頻率成分內。此外，在不同的時間點，信號的能量大小也會發生一定的變化。通過上述兩種情況的對比我們可以發現，當不受隨機激勵時，健康齒輪箱的振動信號整體較為平穩，只有一小部分高頻成分出現了調頻現象，但由于這些成分能量較為微弱，因此并不會對齒輪箱的正常運行產生太大的影響。而當受到隨機激勵時，振動信號開始出現強烈的非平穩性，瞬時頻率隨時間波動明顯，這主要是因為此時各級齒輪的轉頻以及嚙合頻率都發生改變，導致了齒輪受力不再具有準確的周期性。此外，由于隨機激勵的大小隨時間變化不確定，因此也會導致信號的能量大小在不同的時間會發生一些改變。

圖6　兩種不同工況下齒輪振動信號的時頻譜圖Fig.6 The time-frequency spectrum of gear vibration signal under two different conditions

2.3故障齒輪箱的動力學特性與信號特征

本節對存在不同程度局部齒形故障的齒輪箱動力學模型進行數值仿真，并采用同步小波壓縮算法對得到的信號進行時頻譜分析。齒輪箱高速軸的轉速設為1 000 r/min。

局部齒形故障對系統的影響與故障方式、故障程度、嚙合齒的基本參數、運行狀況等多種因素相關。已有一些學者在這一領域發表了大量的研究成果[2]。其中，長時間運行的齒輪容易形成有一定寬度和深度的缺陷，同時隨著缺陷的加深最終極有可能形成缺齒或斷齒故障。綜合考慮相關文獻和齒面缺陷故障的影響因素，本文采用式(9)來表示系統對此類故障的響應情況，并著重于研究其脈沖特性對系統的影響：

(9)

本模型中設定第四個齒輪存在一處故障齒。因此考慮齒故障后三、四兩齒間的嚙合力F34的表達式為：

(10)

式中，f為故障齒正面的缺陷寬度，Kh為齒接觸面的赫茲剛度，它的表達式為：

Kh=πE/4(1-ν2)

(11)

式中，E為楊氏模量，ν為泊松比。

在數值仿真過程中，本文設定兩種不同程度的故障齒，側面的缺陷深度均為1 mm，而正面的缺陷寬度分別為10 mm和15 mm。

圖7和圖8為兩種不同程度故障信號的時頻譜圖。與健康信號的時頻譜圖相對比，我們可以觀察到故障信號的時頻譜圖在整個時域段內存在周期性的脈沖成分，并且大致集中在中高頻域段，即120 Hz到500 Hz。同時隨著故障程度的加深此脈沖成分的能量也相應地增加。當受到隨機激勵時，振動信號開始出現強烈的非平穩性，瞬時頻率隨時間波動明顯，在整個頻域段內顯得較為分散，而不像不受隨機激勵的情況下主要集中在幾個固定的頻率成分內。具體到體現故障特征的信號成分，其能量大小在不同的時刻也會發生一些改變，在一些時間點顯得較為突出，而在另一些時間點則容易被其他波動的頻率成分所掩蓋。這一情況與上文所述隨機激勵會導致信號的能量大小隨時間發生改變的情況相一致。

圖7　故障信號的時頻譜圖(f=10 mm)Fig.7 The time-frequency spectrum ofthe fault signals(f=10 mm)

圖8　故障信號的時頻譜圖(f=15 mm)Fig.8 The time-frequency spectrum of the fault signals(f=15 mm)

3　結　論

本文主要研究了隨機激勵下的風機齒輪箱動力學特性，同時對不同程度的局部齒形故障進行了分析，得到了如下結論：

(1) 當不受隨機激勵時，健康齒輪箱振動信號的頻率成分主要包括齒輪嚙合頻率及其倍頻，且隨著轉速的增加其倍頻成分能量衰減明顯，變得遠小于基頻成分。觀察頻譜圖和相圖也可以發現，隨著轉速的增加，系統響應由多周期成分疊加的運動逐漸轉變為單周期運動。

(2) 在隨機激勵下，齒輪箱振動信號具有強烈的非平穩性。本文通過同步小波壓縮算法對仿真得到的信號進行分析，并與不受隨機激勵下得到的信號進行對比。觀察時頻譜圖可以發現，瞬時頻率隨時間波動明顯，這主要是因為此時各級齒輪的轉頻以及嚙合頻率都發生改變，導致了齒輪受力不再具有準確的周期性。此外，由于隨機激勵的大小隨時間變化不確定，因此也會導致信號的能量大小在不同的時間會發生一些改變。

(3) 在隨機激勵下，任一時刻齒輪的位移及速度具有不確定性。本文共模擬了32組隨機不確定風載數據并作用在模型上，通過計算概率密度函數來預測它們的范圍及各點取值的概率，但無法準確地計算出具體數值。

(4) 當齒輪箱存在一定程度的齒面缺陷時，可以從信號的時頻譜圖上觀察到周期性的脈沖成分，該成分大致集中在中高頻域段，且能量隨著故障程度的加深而增大。隨機激勵會導致故障特征信號的頻率和能量都發生不確定性變化，在一些時刻顯得較為突出，而在另一些時刻則容易被掩蓋，進而會對及時發現研究對象的故障特征帶來一些不確定性。這一點也需要作者及其他學者做更深層次的研究。

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Dynamic modeling and fault feature extraction of a wind turbine gearbox under random excitation

HE Jun, YANG Shixi, GAN Chunbiao

(School of Mechanical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

Here, the dynamic characteristics of a wind turbine gearbox under random excitation were investigated. Meanwhile, the characteristics of typical localized tooth defect were extracted. Firstly, a 16-DOF dynamic model under several groups of random uncertain wind load for the wind turbine gearbox was developed. The time-frequency spectrum and probability density function of internal gear vibration signals were analyzed to study the effects of random uncertain wind load on the gearbox dynamic characteristics. Then, different levels of localized tooth defect were considered, the synchrosqueezed wavelet method was used to analyze gear vibration signals obtained with numerical simulation. The study results provided a reference for analyzing dynamic characteristics of a wind turbine gearbox under different conditions.

wind turbine gearbox; random excitation; dynamic modeling; synchrosqueezed wavelet; fault feature extraction

國家自然科學基金資助項目(11172260;11372270;51375434);高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20110101110016)和浙江省科技計劃項目基金資助項目(2013C31086)

2015-05-07修改稿收到日期：2015-07-22

何俊 男，博士生，1990年8月生

甘春標 男，教授，1971年生

E-mail: cb_gan@zju.edu.cn

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.006