切向加載、卸載和振蕩強耦合下機床螺栓結合部之摩擦能量耗散機制

田紅亮， 余　媛， 張　屹， 陳甜敏， 鄭金華

(三峽大學 機械與動力學院，湖北　宜昌　443002)

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切向加載、卸載和振蕩強耦合下機床螺栓結合部之摩擦能量耗散機制

田紅亮， 余媛， 張屹， 陳甜敏， 鄭金華

(三峽大學 機械與動力學院，湖北宜昌443002)

在保持微凸體受法向力恒定的狀態下，側重導出切向力和變形量的切向加載、切向卸載和切向振蕩接觸方程。當2個球形微凸體接觸時，構建每循環中切向接觸摩擦能量耗散力學模型。按照赫茲靜力彈性法向接觸理論，得到微凸體頂端曲率半徑。根據微凸體分擔法向力的光滑性與連續性法則，校正臨界彈性變形微接觸面積與臨界變形量的數學表達式。面向有條件等式，在彈性和純塑性變形基礎上，建立整個結合部法向力與切向接觸摩擦能量耗散的理論模型。以北京機電院高技術股份有限公司直線電機驅動Linear MC6000普萊諾五面體加工中心上的龍門橫梁-導軌螺栓結合部為研究對象，分析法向預緊力、表面粗糙輪廓分形維數、切向力、分形粗糙度、相關因子、單軸向屈服應變及靜摩擦因數等7個相對獨立參數對切向接觸摩擦能量耗散的影響規律?？梢暬臄抵捣治鼋Y果表明：切向接觸摩擦能量耗散隨著法向預緊力的增大先增大后減??；表面粗糙輪廓分形維數在較小范圍內，切向接觸摩擦能量耗散隨著表面粗糙輪廓分形維數或分形粗糙度的增大而增大；表面粗糙輪廓分形維數在較大范圍內，切向接觸摩擦能量耗散隨著表面粗糙輪廓分形維數或分形粗糙度的增加而減??；切向接觸摩擦能量耗散隨著切向力、相關因子、單軸向屈服應變的增加而加大；切向接觸摩擦能量耗散隨著靜摩擦因數的增加而降低與經典結論完全相反，這是因為當靜摩擦因數較大時，根據近代分形幾何理論可知法向預緊力越大，微滑趨勢將更小，導致較小切向接觸摩擦能量耗散。

切向加載；切向卸載；切向振蕩；機床；螺栓結合部；法向預緊力；切向交變力；摩擦能量

機床量大面廣，能量耗散多，能量利用率低，節能降耗潛力大。機床能量耗散是一個多部件多層次的系統問題，在未來能量耗散指標將成為評價機床產品的一個新指標。針對揭示機床的能量特性、構建機床能量耗散模型，國內外學者開展了大量的研究工作，以探尋節能降耗途徑、減少環境污染、推動綠色與可持續制造的發展。

一般普通機床中，總剛度的60%～80%來自結合部的接觸剛度，總阻尼的90%以上源自結合部接觸阻尼。結合部接觸阻尼與能量耗散直接相關，如在鋼筋混凝土結構里，振動阻尼系數越大越好，消能越快，不致使結構引起諧振。螺栓聯接結合部是機床中最為典型的一種結合部形式，其影響因素眾多，作用機理極其復雜，具有強非線性特征。許多學者一直在其力學特性研究上進行不斷的探索。2011～2016年本課題組所做的許多膚淺研究盡管從微宏觀機理上嘗試性地定性或定量解釋一些因素對螺栓聯接結合部靜動態特性的影響規律[1-28]，但是由于螺栓聯接結合部試驗模型的排它性，結合部的不相容性，非線性來源的不確定和不明確性，試驗結果的不可測量性、無重復性以及時變特性等一系列復雜問題，使得結合部的能量耗散研究變得愈發艱辛。20世紀80年代末，日本著名學者伊東誼對機床結合部研究的歷史進行了回顧與展望，他認為確定結合部阻尼及其衰減能的理論計算方法依然沒有得以解決，從此以后，結合部的研究便進入了一個低潮期。所以綜述能量耗散研究，理清研發思想，對于進一步把握其內在機制具有重大作用。引起螺栓聯接結合部能量耗散產生的原因很多，如結合部間的微觀滑移和局部撞擊、外界復雜動載荷以及潤滑油膜等復雜因素，使得螺栓聯接結合部具有非線性特點、遲滯特征和復雜的動力特性。但現存研究對螺栓聯接結合部能量耗散鮮見確切的公認研究定論，因此要分清螺栓聯接結合部的能量耗散性質，探索其內在真正機理，是一個值得探索與頗有挑戰性的課題。

姚運萍等[29]修正了螺栓聯接結合部能量損失與載荷幅值間的數學關系。張學良等[30-31]建立了平面結合部切向接觸阻尼的分形模型，平面結合部法向載荷增大時，平面結合部的切向接觸阻尼耗能減小，平面結合部切向接觸阻尼損耗因子隨著結合部粗糙度的減小而減小。李小彭等[32]提出結合部的“固-隙-固”接觸模型，建立考慮摩擦因素影響的結合部切向接觸阻尼的分形預估模型，結合部的切向接觸阻尼隨結合部實際接觸面積的增大而增大，隨結合部法向載荷的增大而減小，隨結合部間摩擦因數的增大而趨于恒定。然而，以上文獻求解機床螺栓聯接結合部能量耗散的辦法存在1個同樣弊端：已有多篇參考文獻的交叉綜合引用太多，完全基于作者專業知識的系統性推導太少，理論的全新原創性較少，沒有從引起機床螺栓聯接結合部能量耗散的核心機制和本質原因建立能量耗散方程，不同文獻給出的理論結論相互矛盾或不一致，甚至某些文獻的理論定性論斷與試驗結果恰好相反和沖突，現有文獻中理論給人的信任感及可信度太差，更無法進一步談論絕對誤差和相對誤差的定量驗證。有關機床螺栓聯接結合部能量耗散的研究，僅僅局限于理論。而如何將機床螺栓聯接結合部能量耗散基礎數據應用于工程實際中，通過試驗評價和驗證其正確性和適用性，最終預測出機床螺栓聯接結合部能量耗散性能，是將基礎科學問題的研究結果應用于工程實際中的又一難點，也是必須攻克的科研難題。通過機理研究建立機床螺栓聯接結合部能量耗散本構模型，揭示其內在本質規律，使得所創模型符合生產實際，如同牛頓第二定律F=ma和1882年赫茲靜力彈性法向接觸理論一樣，具有精準通用性，是科學技術工作人員、專家和學者所追求的夢想和奮斗目標。

在原子級平坦的晶體界面摩擦試驗中，摩擦并未完全消失，有時還相當可觀。這說明除了塑性變形、粗糙峰嚙合和黏著等宏觀的摩擦機理外，還存在著更為基本的能量耗散過程而導致摩擦的產生，因此，從微觀上進行摩擦能量耗散過程的研究對探索摩擦起源和摩擦控制具有重要的意義。摩擦過程是非線性的且遠離平衡態的熱力學過程。從本質上看，摩擦是在外力的作用下，發生相對運動或具有相對運動趨勢的物體，受到與其相接觸的物質或介質的阻力作用，在其界面上產生的一種能量轉換現象。當2個表面作相對運動時，引起運動改變的力就做功，因此在接觸的表面上有能量損耗。

上述問題是如此的復雜，以至于還不能被很好地解決。在保持微凸體受法向力恒定的狀態下，側重建立了切向力和變形量的切向加載、切向卸載、切向振蕩方程，導出了2個球形微凸體接觸時，每循環中切向接觸摩擦能量耗散力學模型。使用赫茲靜力彈性法向接觸理論獲得微凸體頂端曲率半徑，按照微凸體分擔法向力的光滑性與連續性原則，修訂臨界彈性變形微接觸面積與臨界變形量，面向有條件等式，區分彈性變形及純塑性變形，建立整個結合部法向力、切向接觸摩擦能量耗散的理論模型。根據所創建的模型，以北京機電院高技術股份有限公司直線電機驅動Linear MC6000普萊諾五面體加工中心龍門橫梁-導軌作研究對象，給出法向預緊力p、表面粗糙輪廓分形維數D、切向交變力Q、分形粗糙度G、相關因子K、單軸向屈服應變φ、靜摩擦因數f(滿足fp?Q)等7個相對獨立參數對切向接觸摩擦能量耗散W的影響規律，解釋了產生影響規律的原因。其中，靜摩擦因數對切向接觸摩擦能量耗散的影響規律與經典結論不同。

1　固定結合部摩擦能量耗散機制

試驗表明，彈性材料特別是金屬材料表現出一種結構阻尼的性質。這種阻尼是由于材料受力變形而產生的內摩擦，干摩擦會消耗能量，力和變形之間產生了相位滯后，這種曲線叫做遲滯曲線。兩微凸體同時受法向力和切向力，在保持法向力恒定的狀態下，再施加切向力。切向力按施加順序可分為3類：切向加載力、切向卸載力、切向振蕩力。

1.1微凸體受法向恒定力和切向加載力

切向力從0單調增加時，微滑接觸圓環的內半徑(或黏附接觸圓的半徑)[33]為

(1)

式中：r為微滑接觸圓環的外半徑；f為靜摩擦因數；N為微凸體所受的法向力；T為微凸體所受的切向力。

可見，隨著切向力的增大，黏著區域軸對稱地縮減；當切向力達到fN時黏著區域縮小至一點，隨即發生整體滑動。

切向牽引力在接觸面上的分布[34]為

式中：正體腳標L代表Loading的首字母；ρ為極半徑；π為圓周率。

切向加載應力隨著極半徑的變化如圖1所示的曲線r-A-B。

圖1　切向加載應力與極半徑的切向加載聯系Fig.1 Tangential loading relation between tangential loading stress and polar radius

遠方點相對于黏附部分的均勻變形量為

(3)

式中：μ為微凸體1或2的切變模量；v為微凸體1或2的泊松比。

由式(1)得

(4)

將式(4)代入式(3)得

(5)

切向力隨著變形量的變化如圖2所示。

圖2　切向力和變形量的切向加載遲滯曲線Fig.2 Tangential loading hysteresis curve between tangential force and deformation

切向加載柔度為

(6)

圖2中，在點O處切向加載初始柔度為

(7)

圖2中，在點F處切向加載終身柔度為

(8)

由式(8)知，當切向力T增加到一定值fN時，切向加載剛度接近于0，這正是意料之中的事情，這是因為此時接觸界面將由微觀滑移轉化為宏觀自由滑動，摩擦界面連接失效。

1.2微凸體受法向恒定力和切向卸載力

切向力從最大值T*緩慢減小時，根據圖1，當極半徑ρ=r時，微滑開始。與式(2)的第2個表達式類似，在c,r之間會產生一個臨時穿透半徑b。因為切向卸載與加載時，微凸體的變形方向相反，按照牛頓第三定律(每一個作用總是有一個相等的反作用和它相對抗；或者說，兩物體彼此之間的相互作用永遠相等，并且各自指向其對方)，切向牽引力的變化是式(2)的-2倍。類比式(2)可得切向卸載時切向牽引力的改變量為

(9)

式中：正體腳標c表示change的首字母。

特別使人感到驚奇的是，用-2乘式(2)，再以b代替c可得式(9)，下文還將使用此結論。在式(9)與(2)之間存在一種反向放大2倍自然對稱美。

切向卸載應力變化量隨著極半徑的變化如圖3所示的曲線r-A′-B′。

圖3　切向卸載應力釋放量與極半徑的切向卸載聯系Fig.3 Tangential unloading relation between tangential unloading release stress and polar radius

初始切向牽引力式(2)加切向應力變化量式(9)可得切向卸載時切向牽引力在接觸面上的分布。為了直觀地求得合成結果，現將圖1與3畫在同一幅圖4中。

圖4　切向加載應力、切向卸載應力釋放量與極半徑的關系Fig.4 Relation among tangential loading stress, tangential unloading release stress and polar radius

按照圖4，當0≤ρ

(10)

式中：正體腳標u表示unloading的首字母。

通過圖4，當c≤ρ

(11)

根據圖4，當b≤ρ≤r時，切向卸載時切向牽引力在接觸面上的分布為

(12)

將式(10) ～(12)合寫成1個公式，可得切向卸載時切向牽引力在接觸面上的分布為

(13)

切向卸載應力隨著極半徑的變化如圖5所示的曲線r-D-E-F，其中曲線F-E對應式(10)，曲線E-D對應式(11)，曲線D-r對應式(12)。

圖5　切向卸載應力與極半徑的切向卸載關系Fig.5 Tangential unloading relation between tangential unloading stress and polar radius

將圖4與5畫在同一幅圖6中，可分析3種切向應力之間的聯系，其中曲線r-D-E-F是曲線r-A-B與r-A′-B′之和。

圖6　切向加載應力、切向卸載應力釋放量、切向卸載應力與極半徑的關系Fig.6 Relation amongst tangential loading stress, tangential unloading release stress, tangential unloading stress and polar radius

根據圖5，整個赫茲接觸表面S={(ρ,θ)|0≤ρ≤r,0≤θ≤2π}，切向卸載應力應滿足赫茲平衡條件

(14)

注意到式(13)中的τu與θ無關，式(14)可簡化為

(15)

把式(13)代入式(15)得

(16)

以下一元函數定積分為

(17)

將通解式(17)代入式(16)得

(18)

式(18)右邊的第一項為初始切向力T*，就是

(19)

將式(19)代入式(18)得

(20)

由式(20)可得對應微滑的穿透深度為

(21)

切向卸載時，切向力T逐漸變小，其范圍是-T*≤T≤T*。當T=-T*時，切向力完全反向，將T=-T*代入式(21)可得最小值

(22)

式(22)中的T*≥0與式(1)中的T≥0匹配(下文還將沿用此結論)，再由式(22)與(1)得

bmin=c

(23)

此時對應微滑穿透到初始微滑深度。將式(23)代入式(13)得

(24)

由式(24)與(2)可得τu=-τL，此亦是意料之中的結果，表明式(13)滿足一個邊界條件。

當T=T*時，切向力徹底正向，將T=T*代入式(21)可得最大值

bmax=r

(25)

綜合式(23)與(25)這兩種極端情況，可得b的范圍為

c=bmin≤b≤bmax=r

(26)

將式(26)代入式(20)可知T≤T*，這還是意料之中的事情。式(26)與圖6一致，將c≤b≤r代入式(9)可得τc≤0，這也是意料之中的事情。

將式(25)代入式(13)得

(27)

由式(27)與(2)可得τu=τL，這又是意料之中的成果，說明式(13)滿足第二個邊界條件。

前已述及，用-2乘式(2)，再以b置換c可得式(9)。類似地，用-2乘式(3)，再用b接替c可得切向卸載時遠方點相對于黏附部分均勻變形量的改變量為

(28)

初始均勻變形量式(3)加均勻變形量的增量式(28)可得切向卸載時均勻變形量為

(29)

式中：正體腳標d表示decreasing的首字母。

由式(21)得

(30)

將式(30)代入式(29)得

(31)

前已提及，式(22)中的T*≥0與式(1)中的T≥0對應，用T*替換式(1)中的T可得

(32)

(33)

將式(33)代入式(31)得

(34)

切向力隨著變形量的變化如圖7所示。

圖7　切向力和變形量的切向卸載遲滯曲線Fig.7 Tangential unloading hysteresis curve between tangential force and deformation

切向力T從最大值T*緩慢減小到0時，即T=0在式(34)中對應的永久變形量為

(35)

式中：正體腳標p表示permanent的首字母。

冪函數f(x)=xμ(0<μ<1)在半開無限區間x∈[0,+∞)上連續，其圖形是向上凸的曲線弧，那么對[0,+∞)上任意兩點x1，x2恒有[35]

(36)

(37)

將f(x)=xμ代入式(37)得

(38)

因為0<μ<1，可令μ=2/3，將其代入式(38)得

(39)

將式(39)代入式(35)得

δdp>0

(40)

圖7中，永久變形量δdp用線段OR表示。將T=0代入式(21)得

(41)

將式(41)代入式(13)可得當T=0時，τu≠0。將圖2與7畫在同一幅圖8中，可分析2種變形量之間的聯系，其中曲線OS與加載曲線OP關于原點中心對稱。

圖8　切向力和變形量的切向加卸載遲滯曲線Fig.8 Tangential loading and unloading hysteresis curve between tangential force and deformation

由式(5)得

(42)

由式(34)得

(43)

(44)

圖8中，加載曲線OP在T=T*時的變形量等于卸載曲線P-R-Q-S在T=T*時的變形量，即加載曲線與卸載曲線在切向力的最大值處相遇。切向卸載柔度為

(45)

圖8中，在點P處切向卸載初始柔度為

(46)

由式(7)與(46)得

(47)

圖8中，卸載曲線PR在點P處的斜率等于加載曲線OP在點O處的斜率。由式(34)得

(48)

(49)

加載曲線OP的方程為式(5)。因為任何2個點(x，y)和(-x，-y)關于原點是對稱的，故任何2個函數y=f(x)與y=-f(-x)的圖像關于原點中心對稱。因曲線OS與加載曲線OP關于原點中心對稱，故曲線OS的方程為

(50)

(51)

由式(48)、(49)和(51)得

(52)

圖8中，T=-T*時的變形量等于T=T*時變形量的相反數，即點S的橫坐標等于點P橫坐標的相反數。由式(45)得

(53)

由式(6)得

(54)

(55)

圖8中，卸載曲線P-R-Q-S在點S處的柔度等于加載曲線OP在點P處的柔度。

1.3微凸體受法向恒定力和切向振蕩力

δi=-δd(-T)

(56)

將式(34)代入式(56)得

(57)

切向力隨著變形量的變化如圖9所示。

圖9　切向力和變形量的切向振蕩遲滯曲線Fig.9 Tangential oscillation hysteretic curve between tangential force and deformation

將圖7與9畫在同一幅圖10中，可分析2種變形量之間的聯系，卸載階段P-R-Q-S與振蕩階段S-U-V-P橫貫成一個封閉滯后回線P-R-Q-S-U-V-P。其中階段3為振蕩階段，文獻[29]稱階段3為“加載”，混淆了2個至關重要概念——振蕩與加載，其計算原理是徹底錯誤的。

圖10　切向力和變形量的切向卸載、振蕩完整封閉環道Fig.10 Tangential unloading and oscillating whole closed circuit between tangential force and deformation

切向振蕩柔度為

(58)

圖9中，在點S處切向振蕩初始柔度為

(59)

由式(59)和式(46)得

(60)

(61)

(62)

式中：TV為點V的縱坐標。

式(61)減式(62)可得回路P-R-O-V-P的面積為

(64)

式(63)加式(64)可得回路P-R-U-V-P的面積為

(65)

(66)

(67)

式中：TQ為點Q的縱坐標。

式(66)減(67)可得回路S-U-O-Q-S的面積為

SS-U-O-Q-S=SS(-T*)OU-SS(-T*)Q=

(68)

(69)

式(68)加(69)可得回路S-U-R-Q-S的面積為

(70)

試驗表明，對材料反復加載、卸載和振蕩，其力-變形曲線會成為一個滯后回線，此回線所圍的面積表示一個循環中材料以熱能形式耗散掉的能量。式(65)加(70)可得回路P-R-Q-S-U-V-P的面積為

F=SP-R-Q-S-U-V-P=SP-R-U-V-P+SS-U-R-Q-S=

(71)

式(34)減式(57)得

(72)

將式(72)代入式(71)可得每循環中摩擦能量耗散為

(73)

下列2個一元函數定積分分別為

(74)

(75)

將式(74) ～(75)代入式(73)得

(76)

m為任意實數，將函數(1+x)m展開成x的冪級數[36]

(-1

(77)

(78)

(79)

將式(78) ～(79)代入式(76)可得一個球形微凸體與剛性光滑平面接觸時，每循環中摩擦能量耗散為

(80)

球形微凸體1和剛性光滑平面接觸時，每循環中摩擦能量耗散為

(81)

式中：μ1為微凸體1的切變模量；v1為微凸體1的泊松比。

球形微凸體2與剛性光滑平面接觸時，每循環中摩擦能量耗散為

(82)

式中：μ2為微凸體2的切變模量；v2為微凸體2的泊松比。

球形微凸體1與2接觸時，每循環中摩擦能量耗散為

(83)

式中：G′為兩接觸材料的當量切變模量。式(83)不同于文獻[30]中的式(1)。

將圖2與10畫在同一幅圖11中，可獲得3種變形量之間的聯系。切向力T從0線性正向加載到額定力T*時，此為加載階段OP；切向力T從最大值T*緩慢減小到-T*時，當T取負數時，表示作用力T的方向與加載階段的作用力方向相反，即切向力T從額定力T*逐漸卸載至0，然后反向線性加載到額定力T*，此為卸載階段P-R-Q-S；切向力T從最小值-T*增加到最大值T*時，即切向力T從額定力T*逐漸卸載至0，再繼續正向加載至額定力T*，此為振蕩階段S-U-V-P。

圖11　三個階段的完整切向遲滯曲線Fig.11 Whole tangential hysteresis curves with three stages

2　分形幾何理論的校正

2.1彈性變形時單個微凸體分擔的法向力

處處連續、統計學自相似性、點點不可微的Weierstrass-Mandelbrot函數為

(84)

式中：n1為最低頻率的初始項；γ為譜密度的尺度參數；x為表面的采樣長度坐標。

式(84)的振幅即微凸體頂端的變形量

(85)

式中：a為單個微凸體的接觸面積。

由赫茲點接觸理論可得微凸體頂端曲率半徑為

(86)

將式(85)代入式(86)得

(87)

(88)

然后再由曲率半徑的計算公式得到微凸體頂端的曲率半徑為

(89)

將式(88)代入式(89)得

(90)

這就是文獻[37]中式(7)的來龍去脈，用點點可微的1項余弦函數式(88)完全替代點點不可微的Weierstrass-Mandelbrot無窮項余弦級數式(84)，依舊照搬2316年前希臘數學家歐幾里得的幾何學。1842年在數學上提出一致收斂概念的Weierstrass于1872年7月18日在柏林科學院的一次講演中，構造了一個連續函數卻處處不可微的例子，由此一舉改變了當時一直存在的“連續函數必可導”的重大誤解，震驚了整個數學界。數學家、分形幾何之父、描述自然界粗糙度的Mandelbrot，生前試圖尋找一種被稱之為“數學怪物”的東西，人們無法用傳統的Euclid幾何語言去描述其局部和整體性質，可描述自然界的不規則現象，將工程表面形貌的輪廓線和島嶼的海洋線類比，提出表面的高度函數。文獻[37]求解微凸體頂端曲率半徑的方法不僅違背了赫茲點接觸理論，而且不符合Weierstrass的不可微數學反例，更不符合Mandelbrot的分形本質要求。文獻[37]雖然提出了類似式(86)，卻無勇氣使用此公式，所以文獻[37]是帶有缺陷的分形理論，迫切需要糾正，本文的正解式(87)是文獻[37]的有力補充。文獻[37]提出的錯誤式(90)一直被全世界的廣大科技工作者尤其是國內的高校人員原封不動地沿襲至今，一個主要原因是英文文獻比中文文獻受重視，中文學者無魄力挑戰英文文獻的錯誤和既定框架，文獻[37]提出的錯誤式(90)成為分形理論飛速向前發展的絆腳石。

單個微凸體分擔垂直于結合部的法向力為

(91)

由式(86)得

(92)

將式(92)代入式(91)得

(93)

將式(87)代入式(93)得

(94)

圖1中，單個微凸體處于彈性變形時，其彈性接觸面積為

ae=πr2=πRδ

(95)

由式(86)得

πRδ=a

(96)

將式(96)代入式(95)得

ae=a

(97)

2.2純塑性變形時單個微凸體擔負的法向力

單個微凸體處于彈塑性變形時，單個微凸體的彈塑性接觸面積(單個微凸體的彈性接觸面積、純塑性接觸面積均為下面公式的特例)[20]為

aep=πR(2δ-δc)

(98)

式中：δc為單個微凸體的臨界變形量。

當2δ?δc時，單個微凸體處于純塑性變形時，其純塑性接觸面積為

(99)

將式(96)代入式(99)得

app=2a

(100)

單個微凸體處于純塑性變形時，其負擔的法向力為

pp=Kσyapp

(101)

式中：K為硬度與最初屈服強度之比而成的相關因子；σy為較軟材料的最初屈服強度。

將式(100)代入式(101)得

pp(a)=2Kσya

(102)

式(102)不同于文獻[37]中的式(15)Pp(a)=Kσya，不符合機械工程的由來是，當單個微凸體處于純塑性變形狀態時，依舊選定彈性變形計算式(97)，即Pp(a)=Kσyae=Kσya。

2.3整體結合部擔當的總法向力

從彈性接觸連續遷移到純塑性接觸時，單個微凸體發生的臨界變形量為

(103)

式中：d為待定量綱一正系數。

將式(87)代入式(103)得

(104)

式(85)除以式(104)得

(105)

若δ=δc，此時由式(105)可得特解a，即為從彈性接觸連續轉化到純塑性接觸時相應的臨界彈性變形微接觸面積

(106)

將式(106)代入式(105)得

(107)

ac在式(94)中對應的單個微凸體法向彈性力為

(108)

ac在式(102)中相應的單個微凸體法向塑性力為

pp(ac)=2Kσyac

(109)

兩接觸粗糙表面在緩慢加大的整體結合部總法向力作用下，單個微凸體會承擔一部分法向彈性力或塑性力。如果作用在單個微凸體上的法向彈性力函數(見式(94))或塑性力函數(見式(102))在元素ac處匯交，可令式(108)與(109)相等

(110)

將式(104)中φ的定義式代入式(110)得

(111)

將式(106)代入式(111)得

(112)

將式(112)代入式(103)得

(113)

將式(112)代入式(106)得

(114)

微接觸點的面積概率密度為

(0

(115)

式中：aL為最大接觸點的接觸面積。

整體結合部上的真實接觸面積為

(116)

將式(115)代入式(116)得

(117)

作用于整個結合部上的法向預緊力為

(118)

將式(94)和(102)代入式(118)得

(119)

將式(115)代入式(119)得

p(aL>ac)=

(120)

式(120)不同于文獻[30]中的式(9) ～(10)。

3　整體結合部的摩擦能量耗散

將式(95)代入式(97)得

a=πr2

(121)

(122)

將式(122)代入式(83)得

(0

(123)

各微凸體所受的力與其接觸面積的大小成正比，作用于a上的切向力可以表示為

(124)

式中：Q為作用于整個結合部上的切向力。

將式(124)代入式(123)得

(0

(125)

作用于a上的法向力為

(126)

將式(126)代入式(125)得

(0

(127)

式(127)不同于文獻[30]中的式(4)。

整個結合部的摩擦能量耗散為

(128)

將式(127)代入式(128)得

(129)

將式(115)代入式(129)得

(0

(130)

將式(117)代入式(130)得

(131)

式(131)不同于文獻[30]中的式(8)。

可通過研究法向預緊力p與摩擦能量耗散W的關系來分析一個簡諧振動周期內的接觸阻尼耗能。根據式(120)及(131)，p與W皆為aL的單值顯函數。所以通過中間自變量aL，已知工程數據p和待求未知數W形成了一個隱函數。但困難的是，不能將p和W之間的隱函數化成顯函數，最后式(120)及(131)組成了固定結合部摩擦能量耗散的完整預判模型。

4　機床螺栓結合部摩擦能量耗散之算例

以北京機電院高技術股份有限公司直線電機驅動Linear MC6000普萊諾五面體加工中心作研究對象，設計與制造了如圖12所示的龍門橫梁-導軌，該龍門橫梁-導軌由尺寸都是1505 mm×63 mm×58 mm的2個長梁經過20顆M16螺栓聯接構成。動力學試驗過程如圖13所示，在結合部處黏貼2個電阻應變計，電阻應變計的敏感柵長度方向平行于橫梁或導軌的長度方向，2個電阻應變計組成半橋，可以消除橫梁或導軌受溫度等因素的影響，這樣測量能夠獲得較高的測量靈敏度。以數控銑床銑削加工龍門橫梁-導軌，用丙酮清洗并吹干結合部。橫梁與導軌配對形成螺栓結合部，材料相同皆為45號鋼，材料的參數如下：硬度與最初屈服強度之比而成的相關因子K=1， 分形粗糙度

G=1.19×10-9m，結合部兩接觸材料的彈性模量E′=2.1×1011Pa，結合部兩接觸材料的當量切變模量G′=8×1010Pa，較軟材料的最初屈服強度σy=3.53×109Pa，靜摩擦因數f=0.2，作用于整個結合部上的切向交變力幅Q=2×10-8N。錘擊之前，在比利時的LMS Test.Lab 9B振動測試和分析系統中設置切向交變力幅的閾值，當錘擊力過大時，系統會自動發出人耳明顯能聽到似碗破“當”的清脆聲音。文獻[30]提供φ=1.0、E=2.1×1011Pa和σy=3.53×109Pa，與公式φ=σy/E自相矛盾。動荷載是指隨時間作急劇變化的荷載。交變力隨時間作交替變化。

圖12　龍門橫梁-導軌測試試件Fig.12 Measure specimen of gantry beam and guideway

圖13　試驗過程Fig.13 Experimental process

4.1法向預緊力對摩擦能量耗散的影響

圖14顯示了p對W的影響。

圖14　摩擦能量耗散與法向預緊力之間的關系Fig.14 Relation between frictional energy loss and normal preload

4.2分形維數對摩擦能量耗散的影響

圖15顯示了D對W的影響。

4.3切向力對摩擦能量耗散的影響

當D=1.3時，只改變參數Q，保持其他參數不變，圖16表明了Q對W的影響。

4.4分形粗糙度對摩擦能量耗散的影響

只改變參數G，讓其他參數不變，圖17解釋了G對W的影響。

圖15　表面粗糙輪廓分形維數對摩擦能量耗散的影響Fig.15 Impact of fractal dimension of a surface harsh profile on frictional energy loss

圖16　切向力對摩擦能量耗散的影響Fig.16 Impact of tangential force on frictional energy loss

4.5相關因子對摩擦能量耗散的影響

當D=1.3時，只改變參數K，讓其他參數不變，圖18揭示了K對W的影響。

4.6單軸向屈服應變對摩擦能量耗散的影響

當D=1.3時，只改變參數σy，因φ=σy/E′，即只改變參數φ，讓其他參數不變，圖19揭示了φ對W的影響。

4.7靜摩擦因數對摩擦能量耗散的影響

當D=1.3時，只改變參數f，讓其他參數不變，圖20揭示了f對W的影響。

圖17　分形粗糙度對摩擦能量耗散的影響Fig.17 Impact of fractal roughness on frictional energy loss

圖18 相關因子對摩擦能量耗散的影響Fig.18Impactofrelatingfactoronfrictionalenergyloss圖19 單軸向屈服應變對摩擦能量耗散的影響Fig.19Influenceofuniaxialyieldstrainonfrictionalenergyloss圖20 靜摩擦因數對摩擦能量耗散的影響Fig.20Effectofstaticfrictioncoefficientonfrictionalenergyloss

5　結　論

(1) 根據圖14，隨著法向預緊力的增大，摩擦能量耗散先增大后減小。后半部分結論“摩擦能量耗散隨著法向預緊力的增大而減小”與文獻[30]論斷“平面結合面切向接觸阻尼的耗能隨著結合面法向載荷的增大而減小”、文獻[38]論斷“an increase in normal preload causes a decrease in cyclic energy loss”吻合，這是由于結合表面有相應的切向振動，當法向預緊力大時，之后結合表面間的接觸狀態開始變成完全粗糙度峰點接觸狀態，實際接觸區域增加，相應的幅值減小，消耗的能量少。但文獻[30，38]皆未預測出本文前半部分結論“當法向預緊力從0在較窄范圍內增大時，摩擦能量耗散迅速從0增加到最大值”，這是由于當法向預緊力接近于0，摩擦能量耗散逼近于0，隨著法向預緊力的增大，相應的幅值緩慢減小，但結合表面間的摩擦力很快增大，所以消耗的能量增加很快。

(2) 根據圖15(a)，當表面粗糙輪廓分形維數為D=1.35～1.4，摩擦能量耗散隨著表面粗糙輪廓分形維數的增大而增大。相應地，按照圖15(b)～15(c)，當表面粗糙輪廓分形維數在D=1.4～1.9，摩擦能量耗散隨著表面粗糙輪廓分形維數的增加而減少。

(3) 根據圖16，摩擦能量耗散隨著切向力的增加而加大，與文獻[38]結果“In general, an increase in tangential force causes an increase in cyclic energy loss”相同。

(4) 根據圖14和圖16，法向預緊力使結合面之間摩擦能量耗散很小，而切向力則耗損較大振動能量(從式(83)也可看出)，形成切向阻尼作用[30]。這是由于，實際上當2個粗糙表面相互擠壓時，先接觸的粗糙峰承受很高的法向力，隨后在切向力作用下將發生屈服變形，微凸體橫向接觸產生的許多能量損失就不能忽略。

(6) 根據圖18，摩擦能量耗散隨著相關因子的增加而變大。

(7) 根據圖19，摩擦能量耗散隨著單軸向屈服應變的增加而增大。

(8) 根據圖20，摩擦能量耗散隨著靜摩擦因數的增加而降低，這是因為隨著靜摩擦因數的增大，根據近代分形幾何理論可知法向預緊力越大，微滑趨勢將更小，相應的幅值緩慢減小，所以消耗的能量變小。本文結論與文獻[32]論斷“結合面切向阻尼系數隨著結合面之間摩擦因數的增大而增大并趨于恒定”完全相反。靜摩擦力等于切向力，與靜摩擦因數無關，但最大靜摩擦力與靜摩擦因數有關[11]。本文結論適用于小載荷。

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Frictional energy loss mechanism of bolt joint interface in machine tools considering transverse loading-unloading-oscillating strong interaction

TIAN Hongliang, YU Yuan, ZHANG Yi, CHEN Tianmin, ZHENG Jinhua

(College of Mechanical and Power Engineering, China Three Gorges University, Yichang 443002, China)

When a normal force acting on an asperity kept constant, the tangential loading, tangential unloading and tangential oscillating contact equations between tangential force and deformation were deduced in detail. The mechanical model for shear contact frictional energy dissipation per cycle was built when two spherical asperities contacted. Based on Hertz static elastic normal contact theory, the curvature radius of the asperity’s top was derived. Owing to the smooth and continuous properties of normal force of microcontact, the mathematical expressions about critical elastic deformation micro-contact area and critical deformation were modified. Facing the equations with conditions and based on elastic and purely plastic deformation, the theoretical models for bolt joint interface normal force and transverse contact frictional energy dissipation were established. A gantry beam-rail bolt joint interface was taken as a study object in the Linear MC6000 Plano pentahedral machining center driven by a linear motor of Beijing Machine and Electricity Institute High-Tech Company Limited. The influence laws of normal preload, fractal dimension of a surface harsh profile, tangential force, fractal roughness, related factor, uniaxial yield strain and static friction coefficient on the transverse contact frictional energy dissipation were analyzed. Furthermore, the visual numerical analysis results showed that the transverse contact frictional energy dissipation firstly increases and then diminishes with increase in normal preload; the transverse contact frictional energy dissipation increases with increase in the fractal dimension or fractal roughness of a surface rough profile in the smaller range of the fractal dimension of the surface rough profile; the transverse contact frictional energy dissipation decreases with increase in the fractal dimension or fractal roughness of a surface rough profile in the larger range of fractal dimension of the surface rough profile; the transverse contact frictional energy dissipation increases with increase in tangential force, related factor and uniaxial yield strain; that the transverse contact frictional energy dissipation decreases with increase in static friction coefficient is completely opposite to the classical conclusion, this is because that when the static friction coefficient becomes larger, the normal preload becomes higher based on the neoteric fractal geometric theory, and the tendency of microslip becomes much smaller, so the transverse contact frictional energy dissipation becomes smaller.

transverse loading; transverse unloading; transverse oscillating; machine tools; bolt joint interface; normal preload; transverse fluctuation force; frictional energy

國家自然科學基金面上資助項目(51275273);2016年三峽大學研究生科研創新基金項目(SDYC2016033)

2015-09-06修改稿收到日期：2016-02-22

田紅亮 男，博士，副教授，1973年6月生

張屹 男，博士，教授，博士生導師，1976年12月生

TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2016.15.011