非線性Klein-Gordon方程的最低階混合元超收斂分析新模式

樊明智, 王芬玲

(許昌學院 數學與統計學院，河南 許昌 461000)

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非線性Klein-Gordon方程的最低階混合元超收斂分析新模式

樊明智, 王芬玲

(許昌學院 數學與統計學院，河南 許昌 461000)

非線性Klein-Gordon方程; 超逼近性和超收斂結果; 混合有限元新模式; 半離散和全離散格式

本文考慮如下的非線性Klein-Gordon方程

(1)

其中Ω?R2為有界矩形區域，?Ω為Ω的邊界，X=(x,y)，f(X,t)∈L2(Ω)，γ是正常數，u0(X)，u1(X)是已知充分光滑的函數，假設a(u)，g(u)滿足如下條件：

(i)a(u)關于u一致有界，即存在正常數a0,a1滿足,a0≤a(u)≤a1；

(ii)a(u)和g(u)對變量滿足Lipschitz條件，即存在正常數L使得

|ξ(u1)-ξ(u2)|≤L|u1-u2|,u1,u2∈R,ξ=a,g.

Klein-Gordon方程具有豐富的實際背景和物理意義，它用于描述相對論量子力學和量子場論中自旋為零的粒子的最基本方程和Schr?dinger方程的相對論形式，對于它的研究值得物理學家和數學家的高度關注.關于Klein-Gordon方程已有研究, 例如文獻[1]對無界區域上一維Klein-Gordon方程建立一個顯式差分格式, 并給出該格式的穩定性和收斂性結果；文獻[2]和[3]研究了一維情形下的數值解；文獻[4]討論了二維Klein-Gordon方程存在唯一的整體解.不難看出,當a(u)=1和g(u)=sinu時，問題(1)變成了sine-Gordon方程, 因此sine-Gordon方程是問題(1)的特殊情況, 并得到一些有價值的成果[5～8], 由于Klein-Gordon方程比sine- Gordon方程復雜, 使問題的處理更為困難. 因此據我們所知到目前為止尚未見到有關問題(1)混合元格式的高精度分析.

混合有限元方法與傳統Galerkin有限元方法相比具有對空間的光滑度要求較低、并能同時得到原始變量和流量的誤差估計等突出優勢, 已成為一種常用的數值逼近方法.對于經典的混合有限元格式來說,混合元空間要滿足Brezzi-Babu?ka條件[9，10](簡記為B-B條件),給構造合適的空間對帶來一定的困難. 最近文獻[11、12]給出了二階橢圓問題新的混合有限元逼近格式, 具有自由度小且當逼近空間對滿足包含關系時, B-B條件成立,同時又能避開散度算子帶來的困擾等特點,文獻[13]將此方法應用到線性拋物方程, 給出關于時間半離散混合格式和全離散化混合有限元格式,但僅僅得到了最優誤差估計,文獻[14]及[15]進一步研究了二階橢圓問題和線彈性問題在新格式下的超收斂性,文獻 [16]將其推廣到線性Sobolev方程得到了非協調混合元格式半離散格式下的超收斂性和向后歐拉全離散格式下關于空間步長的超逼近性.

1　混合元的構造和性質及問題的逼近

定義有限元空間：

其中Qij=span{xrys,0≤r≤i，0≤s≤j}.

Ih|K=IK，Πh|K=ΠK，

引理1[17]若u∈H3(Ω)，則

((u-Ihu),vh)=O(h2)|u|3|vh|1，?vh∈Vh.

(2)

進一步地，若u∈H4(Ω)，則

(3)

(4)

利用文獻[17]中類似的方法可得如下的結論：

引理2若u∈H3(Ω)則

證明為了得到高精度估計引進誤差函數[17]：

令u-Ihu=φ，對ω1∈Q01做Taylor展開有

ω1=ω1(x,y)=ω1(xK,yK)+(y-yK)ω1y.

(5)

于是

∫Kφxω1dxdy=∫Kφxω1(xK,yK)dxdy+∫Kφx(y-yK)ω1ydxdy.

(6)

∫Kφxdxdy=∫KF″(y)φxdxdy=(∫l3-∫l1)F′(y)φxdxdy-∫KF′(y)φxydx=

F′(yK+hy,K)(φ(xK+hx,K,yK+hy,K)-φ(xK-hx,K,yK+hy,K))-

F′(yK-hhy,K)(φ(xK+hx,K,yK-hy,K)-φ(xK-hx,K,yK-hy,K))-

(F(yK+hy,K)∫l3φxydx-F(yK-hy,K)∫l1φxydx)+∫KF(y)φxyy=∫KF(y)uxyy,

(7)

(8)

根據式(6)～(8)和逆不等式可知

(9)

同理可證

(10)

利用式(9)和(10)該引理2得證.

(Rhu,v)=(u,v)，?，

(11)

(12)

接下來，我們給出插值和投影之間的超收斂估計.

證明根據式(2)和(11)得

從而引理3得證.

(13)

(14)

(15)

2　半離散格式下的超逼近和超收斂

(16)

(17)

證明首先令

(18)

(20)

由Cauchy和Young不等式及式(12)可知

(21)

基于式(11)得

(22)

由假設(i)和(ii)可知

(23)

(24)

根據式(21)～(24)將(20)變形為

(25)

對(25)從0到t積分,并注意到ξ(X,0)=ξt(X,0)=0得

(26)

將Gronwall引理應用于(26)可知

(27)

借助(27)和引理3有，

從而(16)式得證.

另一方面，利用引理2和引理3得

(((,

(28)

注1若將式(15)和(18)中的Rh換成插值Ih時可得如下結論：

(1)結合式(3)可得半離散超逼近結果

此時，u∈H4(Ω)的要求比本文定理1中的u∈H3(Ω)的光滑度要高.

(Ⅱ)借助于文獻[5～7]中的導數轉移技巧有

顯然與定理1相比對ut的光滑度要求稍高.

注2若僅用投影時雖然可以得到關于空間步長的超逼近性，但如何構造關于投影的后處理算子仍然是懸而未決的問題.因此，到目前為止無法直接得到關于投影的超收斂結果.

圖1　大單元

(29)

(30)

定理2在定理1的條件下，有如下的整體超收斂結果

(31)

(32)

證明利用定理1和(29)可知，

即式(31)得證.

同理借助定理1和式(30)可證式(32)，定理2證畢.

3　全離散格式及超逼近分析

在本節中我們將主要討論全離散格式下的誤差估計，僅討論a(u)=a(X)的情形.

為了方便起見，我們引入下面一些記號：

(33)

其中utt(X,0)=-a(X)u1(X)+γΔu0(X)-g(u0(X))+f(X,0).

(34)

(35)

證明為了進行誤差估計，記

un-Un=(un-Rhun)+(Rhun-Un)=ξn+ηn，

(36)

(38)

(39)

不難看出，(39)的右端各項分別變形為

(40)

(41)

(42)

接下來我們給出(39)式右端的估計，注意到

(43)

借助于(43)有

(44)

根據(11)可知

G2=0.

(45)

利用假設(i)和插值理論得

(46)

利用假設(i)和(43)將G4估計為

(47)

借助泰勒展開式直接計算有

(48)

利用式(48)有

(49)

對式(50)關于j從1到n-1求和得

(51)

由初始條件和泰勒展開式得

因此，再結合U1的定義可知

(52)

再借助于式(52)并注意到ξ0=0得

(53)

利用式(53)將式(51)變形為

(54)

利用引理3和三角不等式有

即式(34)得證.

定理3得證.

注3若將式(36)中的Rh換成插值Ih時，結合(3)可得如下結論：

(55)

(56)

此時式(55)和式(56)中對解的光滑度要求比定理3偏高.

注4本文方法對拋物方程、雙曲方程、拋物積分微分方程、雙曲積分微分方程均使用.

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責任編輯：周倫

A New Scheme of the Lowest Order Mixed Element Superconvergence Analysis for Nonlinear Klein-Gordon Equations

FAN Ming-zhi, WANG Fen-ling

(SchoolofMathematicsandStatistics,XuchangUniversity,Xuchang461000,China)

With help of the bilinear elementQ11andQ01×Q10element, the lowest order new mixed finite element scheme for nonlinear Klein-Gordon equations is proposed, which can satisfy Brezzi-Babuska condition antomatically on anisotropic meshes. Based on integral indentity result of bilinear element, a superconvergence estimate between the interpolation and Riesz projection, with the high accuracy analysis method ofQ01×Q10element and nterpolation post-processing technique,the superclose properties and superconvergence results of the orginal variable u and flux variable in H1-norm and L2-norm for semi-discrete and fully-discrete schemes can he deduced, which can’t be deduced by the interpolation and Riesz projection alone.

nonlinear Klein-Gordon equations; superclose properties and superconver-gence results; mixed finite element new scheme;semi-discrete and fully-discrete schemes.

2016-04-19

河南省教育廳自然科學基金項目(14A110009)；河南省高等學校重點科研項目(16A110022)；許昌市科技發展計劃項目(1504004)

樊明智(1969—), 男, 河南鄢陵人，教授, 碩士, 研究方向：有限元方法及應用.

1671-9824(2016)05-0001-09

O242.21

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