厘清錯因，正確解題

陳廣林

厘清錯因，正確解題

陳廣林

解一道題，出錯的原因很多，有可能是計算出錯，有可能是因為記錯了公式，也有可能沒有注意到題中的隱含條件.本文通過分析同學們作業出錯原因，幫助大家找出一元二次方程解題需要注意的事項.

一、求一般式不能“一根筋”

例1將一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般形式ax2+bx+c=0（a＞0）后，一次項和常數項分別是多少？

【學生錯解】∵-3x2-2=-4x，∴-3x2+4x-2=0，

∴一次項為4x，常數項為-2.

【學生自述】我沒有注意題中的a＞0，直接化成一般式，沒有兩邊同時除以-1，使a＞0，通過這道題，我明白了要認真審題，看清題目的條件.

【正確解答】∵-3x2-2=-4x，∴3x2-4x+2=0，

∴一次項為-4x，常數項為2.

【教師點評】一元二次方程的一般形式是為后面學習一元二次方程求根公式準備的，它要求形式滿足ax2+bx+c=0，所以它的結果不是唯一的，比如本題中錯解和正解都是這個方程的一般形式，6x2-8x+4=0也是它的一般形式，而我們在解題時要看清題目的要求，選擇最簡便的那組數據.

二、選錯解題方法，導致計算難度增加

例2解方程：（2x-1）2=（3-x）2.

【學生錯解】4x2-4x+1=9-6x+x2，

3x2-2x-8=0，

（x-2）（3x+4）=0，

∴x-2=0或3x+4=0，

∴x1=2，x2=-.

【簡潔解法】2x-1=3-x或2x-1=-（3-x），

【教師點評】計算錯誤確實是本題出錯的原因之一，但另一個原因是該同學沒有使用直接開平方法，而是試圖把方程化成一般式，并采用了一個自己根本不熟悉，教材又不作要求的十字相乘法，把原本非常簡單的一道題，做得特別復雜，導致結果出錯.

例3當k為多少時，x2-2（k+1）x+k+7是x的完全平方式.

【學生錯解】當k=-1時，x2+6是x的完全平方式.

【學生訂正】∵x2-2（k+1）x+k+7是x的完全平方式，

∴k+7=［-（k+1）］2，∴k2+k-6=0.

∴（k+3）（k-2）=0.∴k1=2，k2=-3.

【簡潔解法】∵x2-2（k+1）x+k+7是x的完全平方式，

∴x2-2（k+1）x+k+7=0有兩個相等的實數根，

∴Δ=［-2（k+1）］2-4（k+7）=0.

∴k1=2，k2=-3.

【教師點評】該生剛開始，根本不知道本題怎么做.訂正的時候根據“二次項系數為1，則常數項等于一次項系數一半的平方”來解決的.訂正所采用的方法雖然做出了正確的結果，但是有其局限性，需要二次項系數為1.如果二次項系數不為1，則要先把二次項系數化為1.

但如果把這個問題變成一個方程問題，讓完全平方的值為0，則這個方程可以化為（mx+n）2= 0的形式，即方程有兩個相等的實數根，就不需要考慮二次項系數是否為1.

三、討論一元二次方程的解之前，先保證方程是一元二次方程

例4關于x的方程kx2+（k+2）x+=0有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍.

【學生錯解】b2-4ac=（k+2）2-4k×＞0，

∴k2+4k+4-k2＞0，

∴4k+4＞0，∴k＞-1.

【正確解答】∵方程有兩個不相等的實數根，

∴b2-4ac=（k+2）2-4k×＞0且k≠0，

∴k＞-1且k≠0.

【教師點評】使用根的判別式的前提是方程是一元二次方程，所以二次項系數不能等于零.

例5已知關于x的方程（k-1）x2+2kx+k=0有實根，求k的取值范圍.

解得k≥0且k≠1時，方程有實根.

【教師點評】題設中交代方程有實根，并沒有說明這個方程是一元一次方程還是一元二次方程，因此本題需要分兩種情況討論，一元一次方程有實根還是一元二次方程有實根.

【正確解答】當k-1=0，即k=1時，

方程化為2x+1=0，∴x=-

當k-1≠0時，如前面所解，得k≥0且k≠1.

∴當k≥0時，方程有實根.

四、應用根與系數關系的前提是一元二次方程有解

例6一元二次方程2x2-2x+1-3m=0的兩個實數根是x1、x2，且x1、x2滿足不等式x1·x2+2（x1+ x2）＞0，求實數m的取值范圍.

【學生錯解】x1·x2=，x1+x2=1.

∵x1·x2+2（x1+x2）＞0，∴+2＞0.

【教師點評】本題一元二次方程的兩根滿足x1·x2+2（x1+x2）＞0，但還不能保證這個方程一定有解，所以這個解法中還應補充Δ≥0，即m≥.所以本題的正確答案為≤m＜.

（作者單位：江蘇省海安縣瓦甸初級中學）