二維Hilbert變換研究*

徐曉剛，徐冠雷，王孝通，秦緒佳，王建國，易成濤

（1.海軍大連艦艇學院，遼寧 大連 116018；2.浙江工業大學 計算機學院，浙江 杭州 310023）

二維Hilbert變換研究*

徐曉剛1，徐冠雷1，王孝通1，秦緒佳2，王建國1，易成濤1

（1.海軍大連艦艇學院，遼寧 大連 116018；2.浙江工業大學 計算機學院，浙江 杭州 310023）

Hilbert變換是信號處理的重要工具之一，具有許多優良性能。對二維Hilbert變換研究工作進行總結，分析傳統二維Hilbert變換、分數階變換域內的二維Hilbert變換、廣義分數階變換域內的二維Hilbert變換等各類二維Hilbert變換的優缺點，同時對與Hilbert變換密切相關的二維Bedrosian定理進行分析，指出現有研究工作中存在的問題和研究方向，以期能為Hilbert變換研究人員提供相關借鑒。

Hilbert變換；Fourier變換；Bedrosian定理；分數階

0　引 言

受一維Hilbert變換良好性能的鼓舞，人們希望在二維信號（主要指圖象）處理上也能獲得良好的應用。但研究中發現，二維Hilbert變換并不像想象的那么簡單。二維信號的復雜性使一維Hilbert的簡單推廣并不能取得良好的效果，為此人們進行了多種探索，取得了一些新的成果。

隨著研究的深入和新技術的不斷涌現，人們希望在各種新領域獲得更多類型的變換，以適應不用類型數據的分析、分解要求，使數據分析更加精確、有效。本文根據現有的工作，對Hilbert變換研究狀況進行總結，并指出今后研究工作的方向。本文首先簡單回顧一維Hilbert變換定義及其特性，然后重點對二維Hilbert變換從不同種類角度出發，綜述其概念、特性、構造及其應用等。

1　一維Hilbert變換

一維Hilbert變換的基本定義為：

它的頻域表達式為：

式中，F｛ ｝為Fourier變換算子，sgn（ ）為符號算子。

Hilbert變換的基本思想：將原實數信號進行Fourier變換得到Fourier頻譜，在Fourier頻譜中剔除負頻率部分，加倍正頻率部分幅值，然后對頻譜進行Fourier逆變換得到復數信號。在時域內表現為構造復數信號：原實數信號作為實部，把原實數信號和核函數1/πt卷積結果作為虛部。

一維Hilbert變換的優良性質：Hilbert變換前后信號能量不變；把信號進行了π/2相移；二次Hilbert變換后信號反向；四次Hilbert變換后，信號不變。此外，它的優良特性還有時移不變性、縮放不變性、線性性質和卷積特性等。

從上述性質可以看出，Hilbert變換為求解幅度、相位信息提供了簡潔、明了的方式，可以充分利用復數域的特殊性質，為后續處理提供一種有效的預處理。因此，在信息通信、信號時頻分析、特征識別以及特征提取等方面，Hilbert變換都具有重要的應用價值［1-4］。

2　二維Hilbert變換及多維擴展

受一維Hilbert變換良好性能的鼓舞，人們希望在二維信號（主要指圖象）處理上也能獲得良好的應用。但研究發現，先后提出的幾種二維Hilbert變換都沒有達到一維Hilbert變換的良好性能。目前，針對二維信號提出的典型Hilbert變換有：總體Hilbert變換（Total Hilbert Transform，THT）［5］，方向Hilbert變換（Partial Hilbert Transform，PHT）［6］，單象Hilbert變換（Single Orthant Hilbert Transform，SOHT）［7］，四元Hilbert變換（Quaternionic Hilbert Transform，QHT）［8］，二象Hilbert變換［9］以及單基解析信號變換［10］。

THT思想比較簡單，即將一維信號卷積核進行簡單擴展，直接應用于二維信號的卷積處理，起到了“十”字形帶限濾波器的作用。一方面它把某些信號進行了±π相移，另一方面THT在頻域內保留了關于原點對稱的兩個象限的能量。因此，THT變換后的信號能量產生了丟失，即丟失了橫向和縱向等數據信息?；谶@兩個主要缺陷，THT不再具有一維Hilbert的各種性質。此外，THT雖然在時域形式上拷貝了一維Hilbert的思想，但是由于二維信號的復雜性，最終導致其在功能和性質上出現了完全背離。目前，THT只作為一種理論探討的形式出現，實際工程應用并不多見。

PHT更直接，即把一維Hilbert變換在橫向和縱向上各做1次。PHT只是一味從形式上借鑒一維Hilbert變換，而沒有從一維Hilbert變換的目的和結果的角度進行核函數的構造，從而造成在縱橫方向上信息的交錯丟失。

SOHT試圖克服THT、PHT的不足，仿照一維Hilbert變換的思想進行構造，即對某些信號進行強烈加強，而對其他信號進行抑制。SOHT具有一定的壓縮冗余作用，但由于只保留了部分能量，也就丟失了部分信息，無法恢復原數據。

QHT是在SOHT和超Fourier變換（Hypercomplex Fourier transforms，HFT）［11-12］基礎上發展出來的。QHT構造的思想和SOHT一致，但其不局限于常規的Fourier變換，而是采用了更為復雜的四元Fourier變換替換常規的Fourier變換。QHT可以獲得一些良好性能以彌補SOHT的不足，但是QHT卻把信號復雜化了，也不再具有冗余壓縮的特性。

與一維Hilbert變換相比，上述四種變換或多或少失去了部分優良特性，包括將信號進行π/2相移的優良特性，且適用范圍和應用場合都受到了一定的限制。例如，對于給定的信號，采用上面任何一種變換都會產生無法預知的信息丟失，無法保證將其正確地轉換成復數信號?？梢?，在構造二維Hilbert變換時，上述方法都沒有從圖象的特點出發，或者只是形式上的模仿，或者只是簡單地將圖象認為是兩類一維信號的疊加，因此不能涵蓋圖象所有方向上的特征。QHT雖已力圖解決這種問題，但通過多次卷積迭加來實現的思路顯然不夠。圖象信息分布于各個方向，單獨從時域上看，不便于進行一次性處理。

2007年，徐等從頻域角度出發，構造了一種新的二維Hilbert變換——標準二象Hilbert變換［9］。實驗證明，這種變換具備了一維Hilbert變換的全部優良性能，包括π/2相移的特性。此外，文獻［9］還給出了其他一些非標準二象Hilbert變換。這些變換具有各自獨特的性能，如將不同信號分別進行π/2相移和π相移，將不同頻率信號進行加倍或者消除等。二象Hilbert變換的特性為圖像分析、處理提供了一種有效工具，先后應用于紋理分割、圖象增強、邊緣提取、圖象濾波等方面［9,13-16］。

單基解析信號變換則采用矢量的形式［10］，把X、Y方向Hilbert變換進行矢量組合，獲得了具有良好特性的矢量Hilbert變換。但是，單基解析信號變換本質上仍然是兩個方向上一維Hilbert變換的組合，只不過這種組合方式首次引入矢量概念，可以有效解決某些矢量信號的變換分析。

在獲得二象Hilbert變換后，文獻［16］給出了多維Hilbert變換的通式。從通式可以看出，一維Hilbert變換和二象Hilbert變換分別是Hilbert變換通式在n=1和n=2情況下的特例。通式的建立為Hilbert變換指明了方向，便于進行理論分析和指導。同時，多維Hilbert變換為實現多維信息的處理提供了一個有效工具。

3　廣義變換域的二維Hilbert變換

3.1分數階變換域內的二維Hilbert變換

分數階Fourier變換（FRFT）與線性正則變換（LCT）是兩種正得到越來越多關注的研究領域。盡管分數階Fourier變換可以看作線性正則變換的特例，但是人們前期的工作表明，這兩種變換具有很多不同的應用背景、特殊場合下的不同物理解釋以及不同的某些特性。因此，人們通常會同時對兩種變換進行研究，或者是各自獨立進行研究。

分數階Fourier變換是傳統Fourier變換的廣義形式。傳統Fourier變換的物理含義在于把信號從時域轉換到頻域，從頻域的角度觀察信號對應成分在相應頻率上的“含量”。在時頻平面上，傳統Fourier變換把時域內信號旋轉90°到達頻域；而分數階Fourier變換可以把時域內信號在時頻平面上旋轉任意角度，到達時域和頻域間的任意域內，實現一種“參數化”的控制功能。

文獻［17-22］從多種角度對一維Hilbert變換在FRFT域的性能進行描述。從研究工作可以看出，在FRFT域，一維Hilbert變換呈現出更多的表示形式，也具備更多的性能特征。特別是其相移特性，在信號分析中體現了更強大的精細控制功能。

對于FRFT域的二維Hilbert變換，根據能量分布的不同形式，文獻［23］給出了幾種典型的變換：方向Hilbert變換、全向Hilbert變換、單象Hilbert變換等。研究工作表明，FRFT域的二維Hilbert變換具有多種新的特性，且與分數階的參數相關。

這些特性包括：

（1）方向Hilbert變換與傳統Hilbert變換的物理意義一致，但這種對應關系受到分數階數α和β的影響。

（2）全向Hilbert變換的解析信號對應于分數階Fourier變換域內的線性組合，為信號在分數階Fourier變換域實現全向Hilbert變換提供了捷徑。

（3）方向Hilbert變換和全向Hilbert變換之間存在函數變換的等價關系。

（4）分數階Fourier域的單象解析信號是方向Hilbert變換信號和全向Hilbert變換信號的線性組合。

（5）所有的廣義Hilbert變換都可以在分數階Fourier變換域內直接實現，該結論為分數階Hilbert變換的快速實現創造了理論條件。

（6）FRFT域，常數的Hilbert變換不為零，而是與分數階數（α, β）相關的線性調頻函數。

3.2廣義分數階變換域內的二維Hilbert變換

線性正則變換（Linear Canonical Transform，LCT）又稱廣義分數階Fourier變換，是分數階Fourier變換和Fresnel變換等的廣義形式［3-4,15,17］。與分數階Fourier變換相比，線性完整變換的參數多，其具有與參數相關的一些特性。

LCT域的Hilbert變換研究工作相對較少。文獻［24］給出了LCT域的幾種二維Hilbert變換，包括方向Hilbert變換、全向Hilbert變換、單象Hilbert變換，同時給出了各自的性能分析。在LCT域，二維Hilbert變換具有許多傳統時域的類似性能特征，包括時頻域對應關系、卷積特性等，但這些性能都受到變換參數的影響。

具體的，一些特性如下：

（1）LCT域的方向Hilbert變換廣義解析信號在LCT域內將負信號部分置零，而正信號部分加倍，與傳統Hilbert變換的物理意義相對應，但這種對應關系受到變換參數的影響。

（2）全向Hilbert變換與方向Hilbert變換沿著X、Y方向變換后的結果相同。

（3）對于任意二維實信號f（x,y）（x, y∈R），其LCT域的單象廣義解析信號是方向廣義Hilbert變換信號和全向廣義Hilbert變換信號的線性組合。

（4）LCT域的Hilbert變換可在LCT域內直接實現。該結論為LCT域Hilbert變換的快速實現創造了理論條件，即在變換域內直接實現后再逆變換。

（5）LCT域Hilbert變換為零的函數不是常數，而是與變換參數相關的線性調頻函數。

4　二維Bedrosian定理

Bedrosian定理是信號處理領域的一個基礎性工作，也是數學領域的一個基本工作。它來源于Hilbert變換，是Hilbert變換的重要特性之一，但又可獨立于Hilbert變換［25-28］。Bedrosian定理規定：對于兩個實數信號相乘的形式進行Hilbert變換后，只有滿足一定頻率條件的信號變成了復數，而另一信號沒有任何變化。目前，一維Bedrosian定理相對成熟，但是二維Bedrosian定理存在不少空白。

早在2008年，Venouziou等人首次給出了多維Bedrosian定理（包含二維）的一個數學表達式［25］（即方向Hilbert變換對應的Bedrosian定理，簡稱方向Bedrosian定理）。它通過對多維空間進行一維Bedrosian定理（在每一維空間中均作為一個一維信號處理）的多次組合，獲得多維Bedrosian定理的理論條件和表達形式。Venouziou等認為，要獲得多維信號類似于一維函數那樣的Bedrosian定理，可以通過分析不同維空間的一維Bedrosian定理進行討論，把一維Bedrosian定理的理論條件在二維和多維空間內進行支撐范圍的并集和交集運算。但是，Venouziou等人的方向Bedrosian定理并不是從信號處理的角度進行探討，也沒有考慮多維信號（例如，二維圖像）的特性（包括紋理結構特性、統計特性、自然特性等），因此對于方向相關的信號適應性較差，且其純粹是從數學角度對一維Bedrosian定理在二維和多維空間上直接擴展。

2011年，文獻［23］從頻域的角度分析和理解復數信號，并對方向Bedrosian定理進行了深入分析，將其擴展到廣義分數階域，并給出了詳細的參數討論，從而從信號處理角度（分數階Fourier變換）對二維Bedrosian定理開展分析研究。同時，該文獻還討論了交叉象Hilbert變換的Bedrosian定理（簡稱交叉象Bedrosian定理），給出了詳細的應用參數、理論條件和表達形式。但是，該研究理論只適合于廣義域內方向不相關的二維信號，并不適合其他類型的信號，且并未詳細論證其在圖像中的具體應用。

為了獲得二維Bedrosian定理在信號處理中的應用，2012年文獻［26］從二維圖像信號單分量和多分量定義的角度，使用了二象Hilbert變換對應的Bedrosian定理（簡稱二象Bedrosian定理）。這是二維Bedrosian定理對圖像進行應用的具體實例。通過二象Bedrosian定理界定了二維單分量和多分量的定義，為后續圖像的分量分解提供了理論支撐。但遺憾的是，該工作只是應用了二象Bedrosian定理給出的概念，并沒有給出二象Bedrosian定理具體的理論條件，也沒有給出二象Bedrosian定理相應的理論證明。

2014年，Zhang等人［27］又在Venouziou等人工作［25］的基礎上，進一步對多維（包括二維）方向Bedrosian定理進行探討，優化Venouziou等人提出的多維方向Bedrosian定理的理論條件，給出了更進一步的理論證明和分析，并將Bedrosian定理從實數和實數相乘擴展到實數和復數相乘、復數和復數相乘等更復雜的形式。同時，利用Bedrosian定理等式關系構造時頻分析基函數，為多維信號的理論分析和應用提供了理論依據。但是，Zhang與Venouziou等人工作一樣，其理論對于具有方向相關性的信號適應性較差，且不是從信號處理角度出發，而是純粹從數學理論條件上加以分析，也沒有給出在信號處理方面的具體應用。

綜上所述，到目前為止，也只有方向Hilbert變換及交叉象Hilbert變換有對應的二維Bedrosian定理，其余幾種二維Hilbert變換對應的二維Bedrosian定理基本空白。此外，方向Hilbert變換及交叉象Hilbert變換有對應的二維Bedrosian定理也只是一維Bedrosian定理在二維空間的直接擴展，沒有充分考慮圖像結構特性［29-31］，盡管其分辨率分析可以有效提高［32］。

5　發展方向

經過多年的努力，對Hilbert變換的研究已經取得了一些新成果，為后續的各種應用和分析打下了良好基礎。但是，從Hilbert變換的已有工作可以看出，在一些新領域還沒有相應的變換方法。因此，如何在工程上實現良好的應用還需要進行大量的工作。

值得進一步研究的工作包括以下方面：

第一，構造快速的算法。構造快速的算法，實現實時計算，應用于多種時間限制的場合。Hilbert變換的基礎是Fourier變換，分數階Hilbert變換的基礎是分數階Fourier變換。Hilbert變換與Fourier變換的耗時量息息相關?？焖貴ourier變換雖然可以大幅度縮短計算時間，但還無法滿足各種應用的快速計算需求。

第二，研究多維分數階Hilbert變換的構造方法?，F有的研究工作表明，在多維信號領域，信號呈現了更多的特征，需要更多的表述參量。與此相對應，多維Hilbert變換具有更多的表現形式，體現出了不同的性能特征。在多維分數階Hilbert變換方面，根據分數階Fourier變換的強大信號分離能力，可以預測多維分數階Hilbert變換也可以獲得更精細的分解優勢：可以通過控制角度、相位等信息，實現精確的定向變換，把圖象特定方向的信息進行提取和增強，以提取特定頻域的層次信息，通過增強或濾波等處理，獲得目標的有效處理結果。多維分數階Hilbert變換的“參數化”精細控制功能，將在圖象圖形的處理上發揮重要作用。由于多維分數階Fourier變換還有許多問題沒有解決，因此相應的Hilbert變換還有待于深入研究。

第三，研究其他域Hilbert變換的構造方法。除了已有的分數階Fourier變換和LCT變換，還有許多有效的變換方法。對這些變換域進行研究，以期獲得更多具有優良特性的Hilbert變換。

第四，研究一些特殊性能的Hilbert變換。以往的研究發現，在多維信號的Hilbert變換方面，還存在許多次優的變換。這些變換可能只具備一維Hilbert變換中的部分優越特性，但具有一些新的特性，如已發現其中一種變換可以實現π/4相移。另外，結合頻帶、方向等限制，可以構造更多具有某種特性的變換，以應用于多種特殊的領域。

第五，研究二維Bedrosian定理。人們已經意識到［3,5-6］，在一維信號中，Bedrosian定理雖然是Hilbert變換的一個特性，但卻是Hilbert變換的核心。這表明：對兩個（或多個）實數信號相乘的形式進行Hilbert變換后，其中只有滿足一定條件的信號變成了復數或發生了相移，而其他信號保持不變，即Bedrosian定理決定了Hilbert變換的結果形式。由于一維信號自由度少、相對簡單，因而以往人們這樣使用并沒有造成不便。但是，對于二維信號，正如Jonathan和Sofia在其工作中論述的那樣［33］，維數的增加往往意味著一定概念和思想的突破。圖像相對于一維信號增加了一個自由度后，既要考慮圖像的自身結構特征和類型，又要考慮二維Hilbert變換的種類，同時還要考慮應用的目的（即需求和目標是什么），因此其研究具有很大的挑戰性。

第六，對其他變換的啟發。Hilbert變換只是眾多變換的一種。通過研究Hilbert變換的相關工作，可以為其他變換的研究提供一種新的思路。

綜上可見，一維Hilbert變換在信號分析與處理上已經獲得廣泛的應用，可以預見，在各種域內，具備更多優良性能的多維Hilbert變換，必將在圖象、視頻、3D網格、動畫等多維信號的分析和處理方面發揮重要的作用。

6　結 語

本文對二維Hilbert變換研究狀況進行了總結。與傳統Hilbert變換相比，二維Hilbert變換有著更加復雜的形式和性能。針對不同類型約束，需要建立不同的變換形式，適用于不同狀態下的信號處理。隨著各領域研究的深入，這種需求也會越來越多地引起人們的關注。

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徐曉剛（1967—），男，博士，教授，主要研究方向為虛擬現實；

徐冠雷（1978—），男，博士，講師，主要研究方向為信號處理；

王孝通（1962—），男，博士，教授，主要研究方向為信號處理；

秦緒佳（1968—），男，博士，教授，主要研究方向為圖象處理、可視化；

王建國（1981—），男，博士，講師，主要研究方向為圖象處理、虛擬仿真；

易成濤（1974—），男，博士，副教授，主要研究方向為圖象處理、航海技術。

Review of Bidimensional Hilbert Transform

XU Xiao-gang1， XU Guan-lei1， WANG Xiao-tong1， QIN Xu-jia2， WANG Jian-guo1， YI Cheng-tao1
（1.Dalian Naval Academy， Dalian Liaoning 116018， China；2.College of Computer Science &Technology， Zhejiang University of Technology， Hangzhou Zhejiang 310023， China）

Hilbert transform is one of the useful tool in signal processing， and much effective performance have been found. In this paper， the current work of the bi-dimensional Hilbert transform is reviewed，the advantage and shortage of different kind of bi-dimensional Hilbert transform is analyzed， they are the traditional bi-dimensional Hilbert transform， bi-dimensional Hilbert transform in fractional Fourier transform domains， bi-dimensional Hilbert transform in generalized fractional Fourier transform domains，by the way， bi-Dimensional Bedrosian’s Principle is analyzed too. At last， current questions and some useful further study work are proposed， in order to provide the relevant reference for the Hilbert transformation researchers.

hilbert transform； fourier transform； bedrosian theorem； fractiona

National Natural Science Foundation of China（No.60975016，No.61002052，No.61471412，No.61273262）；Natural Science Foundation of Liaoning Province（No.2015020086）

TN911.7

A

1002-0802（2016）-10-1265-06

10.3969/j.issn.1002-0802.2016.10.001

2016-06-11；

2016-09-08

data:2016-06-11；Revised data:2016-09-08

國家自然科學基金項目（No.60975016，No.61002052，No.61471412，No.61273262）；遼寧省自然科學基金項目（No.2015020086）