連續可微向量場的龐加萊截面映射*

文 曉,孫玉泉

(北京航空航天大學)

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連續可微向量場的龐加萊截面映射*

文 曉,孫玉泉

(北京航空航天大學)

龐加萊截面映射是常微分方程定性理論與微分動力系統中的一個重要概念,它可以將一個連續可微向量場的問題轉化為一個可微映射的問題來研究. 該文對龐加萊截面映射的存在性給出了一種新的證明方法, 通過該方法可以關于龐加萊截面映射的定義域大小給出一種一致性的刻畫.

C1向量場；龐加萊截面；龐加萊截面映射;隱函數定理

1 可微向量場的龐加萊截面映射

龐加萊截面映射是使用定性方法研究常微分方程以及微分動力系統中的一個重要工具，來源于19世紀龐加萊關于天體力學的一系列工作.在常微分方程的漸進穩定性研究以及微分動力系統的結構穩定性研究等數學領域中發揮著至關重要的作用，同時也廣泛應用于各種自然科學研究以及工程問題當中.在該文中，介紹一種更廣義的截面映射,并重點關注龐加萊截面映射定義域的大小.

設G是n維歐式空間Rn中的一個開區域, X:G→Rn是G上定義的一個C1向量場，則由微分方程解的存在唯一性定理[2],自治微分方程

(1)

滿足初始條件x(t0)=x0的解是存在且唯一的.記這個解為x=φ(t)=φ(t;t0,x0)，為討論起來簡便，這里不妨設每個解都可以延拓到t∈(-∞,+∞).把t看成參數，則φ(t;t0,x0)確定了G中的一條曲線，一般將它稱為方程(1)的一條軌線. 特別地，如果記φt(x0)=φ(t;0,x0),則由解對初值的可微依賴性，{φt}中的每一個φt都是G到G的一個微分同胚，并滿足條件[3]：

(a) φ0=Id; (b)φt+s=φt°φs.

這時{φt}一般稱之為一個流或一個連續(時間)動力系統.

設x是向量場X的一個常點，即滿足X(x)=0的點，則在x點處可以取一個n-1維的超平面Nx，使得X(x)是Nx的法向量. 記Nx(r)={y∈Nx:|y-x|0，使得當y∈Nx(r)時，X(y)不平行于Nx. 此時稱Nx(r)為向量場X或流φt在x處的龐加萊截面. 給定時間T>0, 由隱函數定理可以證明, 對于任意一個常點x∈G, 記z=φT(x), 則存在r>0, 使得對任意的y∈Nx(r), 都存在唯一確定的時刻τ, 使得φτ(y)∈Nz[1,3]. 則此時可以通過Px,T(y)=φτ(y)給出一個從Nx(r)到Nz的映射Px,T. 將它稱之為龐加萊截面映射.

不難注意到，龐加萊截面上不能含有向量場X的奇點(即滿足X(x)=0的點). 對于龐加萊截面映射Px,T，當x靠近奇點的時候，其定義域會變得很小. 那么龐加萊截面映射的定義域到底能做到多大，是否與向量場在該點的長度有聯系？這個問題在經典的微分方程定性理論以及微分動力系統的教材(如文獻[1,3,6])中都沒有給出回答. 在該文中，將對這一問題進行討論，給出如下結論.

定理1 關于方程(1),如果在凸區域G上X(x)的導數有界，即存在一個常數K>0，使得‖DX(x)‖0,存在一個常數η，使得任取x∈G，龐加萊截面映射Px,T在球Nx(η|X(x)|)上有定義.

在常規的龐加萊截面映射存在性的證明中, 使用的是一般形式的隱函數定理，這時可以得到當y離x足夠近的時候截面映射的存在性, 一般不能得到龐加萊截面映射的定義域的大小信息. 因此這里需要進行更細致的觀察，回顧一般隱函數定理的證明，當采用壓縮映射原理來證明隱函數定理時，根據壓縮映射定理成立的條件，往往能得到定義域大小的信息. 因此，在文中將采用壓縮映射定理進行討論.

2 定理1的證明

首先對龐加萊截面的大小進行刻畫. 有如下的引理成立：

引理1 關于方程(1),如果在凸區域G上X(x)的導數有界，即存在一個常數K>0，使得‖DX(x)‖

證明 易見X(y)不平行于Nx等價于〈X(y),X(x)〉≠0(其中〈·,·〉表示向量的內積). 因此只需尋找η1，使得任取常點x∈G,以及任取y∈Nx(η1|X(x)|),就有〈X(y),X(x)〉>0成立.本

首先注意到，只需

|X(y)-X(x)|2<|X(x)|2

就會有〈X(y),X(x)〉>0.這是因為若

|X(y)-X(x)|2=|X(y)|2-2〈X(y),X(x)〉+|X(x)|2<|X(x)|2

成立，則有

|X(y)|2-2〈X(y),X(x)〉 <0

故〈X(y),X(x)〉>0.

由于‖DX(x)‖

|X(x)-X(y)|=|DX(ξ)(x-y)|≤

K|x-y|

成立. 取η1=1/(2K), 則當|x-y|<

η1|X(x)|時，

|X(x)-X(y)|≤K|x-y|≤Kη1|X(x)|=(1/2)·|X(x)|<|X(x)|

因此當y∈Nx(η1|X(x)|)時,|X(y)-X(x)|2<|X(x)|2,從而就有X(y)不平行于Nx. 引理1證畢.

回顧龐加萊截面映射的定義, 為證明定理1, 只需找到常數η<η1, 使得當|x-y|<

η|X(x)|時, 存在時間τ=τ(y), 使得φτ(y)(y)∈Nz. 易見φτ(y)(y)∈Nz等價于向量φτ(y)(y)-z垂直于向量X(z)，即

〈φτ(y)(y)-z,X(z)〉=0.

構造函數F(t,y)=〈φt(y)-z,X(z)〉. 由z=φT(x)可見F(T,x)=0. 又通過簡單的計算可知

(2)

證明 假設引理的結論不正確，存在

下面回到定理1的證明, 由于‖DX(x)‖

|φT(y)-z|≤eKT|y-x|≤

有

ρ(G(φ0),φ0)=max|G(φ0)(y)-T|=max|-|X(z)|-2F(T,y)|=max|X(z)|-2×

3 結束語

由定理1可見，如果考慮的是一個有界閉區域上連續可微的向量場，雖然龐加萊截面映射的定義域做不到一致的尺寸，但至少可以找到一個一致常數η, 使得龐加萊截面映射在半徑為η|X(x)|的圓盤內有定義. 特別地，將這個結論應用到緊致無邊流形上的連續可微向量場時，導數有界是天生成立的，因此必然存在類似的一致常數η. 在廖山濤先生使用典范方程組研究含奇點流的工作中[4-5]，蘊含了這里的結論. 但由于廖山濤先生在論文中采用的工具是典范方程組理論，而不是西方學者所常用的流盒(又稱管狀鄰域)的辦法[6]，因此相應的結論不被外界所熟知. 筆者的結論對龐加萊截面映射的定義域給了一個明確的大小，特別是在靠近奇點的時候，雖然知道龐加萊截面映射的定義域非常小，但是它大小的階可以做到向量場同階.可以預計這些結論在對含奇點流的研究中能起到一定的作用.

[1] Hirsch M, Smale S, Devaney R. 微分方程、動力系統與混沌導論:第2版[M]. 甘少波譯. 北京：人民郵電出版社, 2008.1-336.

[2] 丁同仁,李承治. 常微分方程教程[M]. 北京：高等教育出版社, 2004.1-384.

[3] 張錦炎,馮貝葉. 常微分方程幾何理論與分支問題[M]. 北京: 北京大學出版社, 2005.1-431.

[4] 廖山濤. 典范方程組[J]. 數學學報, 1974, 17(2): 100-109.

[5] 廖山濤. 常微系統的某些一致性質及一個周期軌道存在定理的推廣[J]. 北京大學學報:自然科學版, 1985(2), 1-19.

[6] Palis J, Melo W D. Geometric Theory of Dynamical Systems: An Introduction[M]. New York: Springer, 1982.1-198.

(責任編輯：于達)

Poincaré Section Map for C1Vector Fields

Wen Xiao, Sun Yuquan

(Beihang University)

In the article, a description of Poincaré section map for LipschitzC1vector fields on is given. The size of definition domain of the Poincaré section map will be uniform in some sense. It is a deep application of Implicit Function Theorem.

C1Vector Fields; Poincaré Section; Poincaré Section Map; Implicit Function Theorem

2016-03-22

*國家自然科學基金(11301018)；北京航空航天大學教學改革基金資助

O175

A

1000-5617(2016)02-0012-04