心中存司南，筆下有圓方——新課標全國數學卷Ⅰ試題特點及應對策略

☉湖北省安陸市第一高級中學　伍海軍

☉武漢市黃陂區第一中學盤龍校區　李紅春

心中存司南，筆下有圓方——新課標全國數學卷Ⅰ試題特點及應對策略

☉湖北省安陸市第一高級中學伍海軍

☉武漢市黃陂區第一中學盤龍校區李紅春

自2016年起新課標全國數學卷Ⅰ使用省份擴大后，研究新課標全國數學卷Ⅰ成了當前高三老師的當務之急．本文就新課標全國數學卷Ⅰ特點及如何搞好高考數學復習備考，迅速由地方卷（以湖北卷為例）轉變到全國卷Ⅰ，談幾點看法建議，供老師們參考．

一、新課標全國數學卷Ⅰ的由來

2007～2010年海南、寧夏兩試驗省份委托教育部考試中心命制課標卷（海南、寧夏卷），2011～2012年鑒于新增了吉林、黑龍江、山西、河南、新疆等試驗省份而改稱新課標全國卷，區別于還在試用過渡版大綱的大綱全國卷，2013年開始，又由于統一使用課標卷省份增多，中原三?。ê幽?、河北、山西）開始使用新課標全國卷Ⅰ．

二、新課標全國數學卷Ⅰ的特點

1．小題大題考查情況分析

小題命題特點：集合、復數、算法框圖、三視圖、平面向量等必考，基本都屬容易題；函數與導數（函數性質、導數幾何意義）、立體幾何（三視圖和球）、解析幾何、概率統計每年2題，數列和三角函數3題，不等式小題多考查線性規劃．填空題沒有多選形式．

大題位置相對固定：17題為數列和三角函數（二選一），18題和19題為概率和立體幾何（兩題的順序時有互換），20題為解析幾何，21題為函數與導數．考題內容相對穩定，數列?？嫉炔?、等比通項的求法，及求和方法的應用，常有簡單的遞推變換；三角函數?？冀馊切危ㄕ?、余弦定理和面積公式）；概率統計題以實際問題為背景，多與統計學知識結合，理科加考概率與數學期望，文科加考概率和統計的數據特征；立體幾何有兩問題，其中第一問線面關系的證明，偏重垂直少見平行，第二問文科偏重面積體積，理科偏重空間角和距離的計算；解析幾何多為直線與橢圓、拋物線、圓等曲線的綜合問題，第一問求曲線的方程，第二問中多考范圍和最值，用常規方法求解，不大主張使用韋達定理，運算量不是很大；函數與導數題作為試卷的壓軸題，主要考查導數的應用（研究單調性、最值和函數的形態），分類討論，證明不等式等，思維難度較大．

2．模塊考查情況分析

（1）不等式模塊：一般會和其他知識結合，主要考查不等式性質、解法，線性規劃等，較簡單．

（2）函數與導數模塊：試題個數逐漸穩定在2小1大，分值約為22分，小題一般都以函數與導數壓軸，考查零點問題、不等式等知識，綜合性較強；解答題一般以函數、導數、不等式綜合問題壓軸，主要考查不等式的證明、不等式恒成立、不等式有解等問題，綜合考查運算求解、變形、抽象概括，推理論證等能力、也會涉及函數與方程、轉化與化歸等數學思想，難度較大．

例1（2014年高考新課標Ⅰ理）設函數f（x）＝aexlnx＋曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y＝e（x－ 1）＋2．

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）證明：f（x）＞1．

課標卷研究的函數類型更豐富，高等數學初等化，強調與高等數學的銜接．單調性是函數的核心性質，是高考命題專家的“寵兒”；往往結合具體函數并強調和函數圖像、性質的綜合考查（多類比三角函數）函數的周期性；對于函數的對稱性，突出對對稱性概念的基本認識，一般類比二次、三次函數或者函數奇偶性，不深入探討周期性、對稱性、奇偶性之間的關系．

近幾年基本上每年都會考查切線問題，通過切線研究曲線中的參數，強調解方程，特別要關注兩個曲線公切線的問題．課標卷在海南、寧夏卷時期考查過定積分的幾何意義，涉及簡單計算，但近四年都沒有設計定積分的相關問題，因此關于定積分的復習不建議拓展深化．導數工具性體現的是函數研究的思維深化，對于導數更強調在單調性基礎上的圖像特征，以及與之相關的方程與不等式問題，強調對特征值特征線的認識，綜合性較強，文科函數與導數的解答題難度有向理科靠近的趨勢．

（3）向量與三角模塊：這兩個模塊如果有解答題，則會出現2～3個小題，如果沒解答題則會有3～4個小題，一般所占分值為20～25分．三角模塊小題主要考查三角函數的圖像與性質，利用誘導公式與和差角公式、倍角公式、正余弦定理求值化簡，平面向量的基本性質與運算；大題主要以正、余弦定理為知識框架，以三角形為依托，考查三角函數化簡求值，與實際測量有關的解三角形題．

圖1

例2（2013年高考新課標Ⅰ（理））如圖1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，P為△ABC內一點，∠BPC＝90°．

（Ⅱ）若∠APB＝150°，求tan∠PBA

（4）數列模塊：如果沒有解答題，會有兩個小題，如果有解答題，則為一個大題不出小題，一般所占分值為10～12分．小題以考查數列概念、性質、通項公式、前n項和公式等內容為主，屬中低檔題，在復習中建議及時調整方向，以免浪費時間；解答題以考查等差（比）數列通項公式、求和公式，錯位相減求和、簡單遞推數列為主．

例3（2014新課標全國卷Ⅰ17題）已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數．

（Ⅰ）證明：an＋2－an＝λ；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}為等差數列？并說明理由．

（5）解析幾何模塊：一般為2小1大，占22分．小題主要考查直線與圓、圓錐曲線的性質為主，一般結合定義，借助圖形可求解；大題一般以直線與圓錐曲線的位置關系為背景，常涉及多種圓錐曲線，如圓與橢圓、圓與拋物線，并結合函數、方程、數列、不等式、導數、平面向量等知識，考查軌跡方程，探求有關曲線性質、參數范圍、最值與定值、存在性等問題．

例4（2013年高考新課標卷Ⅰ）已知圓M：（x＋1）2＋y2＝1，圓N：（x－1）2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內切，圓心P的軌跡為曲線C．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點，當圓P的半徑最長時，求|AB|．

（6）立體幾何模塊：一般為2小1大，占22分．小題一般側重于線與線、線與面、面面的位置的關系以及空間幾何體中的空間角、距離、面積、體積的計算與考查，解答題以平行、垂直、夾角、距離為考查目標，幾何體以容易建立空間直角坐標系的四棱柱、四棱錐、三棱柱、三棱錐等為主．三視圖在全國卷的位置一般靠后，球方面的考查顯得很重要，幾乎每年都有一道．

（7）組合、概率統計模塊：統計思想的呈現體現概率統計的應用性；文理差別較大，文科以必修3為基礎，主要體現簡單概率的計算和統計思想的應用，理科從樣本統計出發，以排列組合為工具計算概率及分布列、期望和方差；案例分析（回歸分析和獨立性檢驗是文理都有可能考查的題型）；概率統計題型豐富，涉及抽樣方法、兩種概率（古典概型、幾何概型）、概率中各種事件的關系（互斥、對立、獨立、獨立重復、條件概率）、各種圖表的應用、典型分布列（尤其二項分布和超幾何分布）、正態分布、用均值和方差比較產品優劣、案例分析等.

例5（2015高考新課標卷Ⅰ）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi（i=1，2，···，8）數據作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

（Ⅱ）根據（Ⅰ）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程.

（Ⅲ）已知這種產品的年利率z與x、y的關系為z= 0.2y-x，根據（Ⅱ）的結果回答下列問題：

（?。┠晷麄髻Mx=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

（ⅱ）年宣傳費x為何值時，年利率的預報值最大？

附：對于一組數據（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

（8）算法與推理模塊：每年出現一個，程序框圖主要是數列和函數的綜合.

（9）集合與簡易邏輯、復數模塊：集合每年都考，主要考查集合的運算；簡易邏輯主要考查命題的真假性判斷，特稱和存在命題以及充要條件，例如：

A.p2，p3B.p1，p4C.p1，p2D.p1，p3

復數也幾乎每年都考，主要考查化簡能力，特別是2009，2010，2011三年都考了提取“i”可很快化簡的技巧.

3.文理差異分析

試題文理差異有逐漸變大趨勢，如2014年相同的題目只有理科第3題（文科第5題）、理科第7題（文科第9題）、理科第11題（文科第12題）、理科第14題（文科第4題）和三選一試題，理科19題和文科19題是姊妹題，而2013年文理科試題有7個題是相同的，有一道立體幾何姊妹題，2012年文理科試題有7個題是相同的，卻有三道大題為姊妹題.

三、全國卷Ⅰ與湖北卷考查內容的差別

全國卷有要求湖北卷未要求或低要求的主要考查內容：（1）反函數：全國卷有要求偶有考查，湖北卷未要求未考查；（2）分段函數：全國卷幾乎每年必考，對函數分三段的有要求有考查，湖北卷對分段函數時有考查，對函數分三段的未要求未考查；（3）伸縮變換：全國卷有要求暫未考查過，湖北卷對此沒有要求；（4）圓與方程：全國卷比湖北卷對此要求更高、考查更多；（5）抽樣：新課標卷有要求“理解隨機抽樣的必要性和重要性”，曾考查過，湖北卷無此要求；（6）隨機數：全國卷有要求“了解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率”暫未考查，湖北卷對此無要求；（7）獨立性檢驗：全國卷有要求“了解獨立性檢驗的思想、方法及其初步應用”有考查，湖北卷對此無要求.

全國卷未考查或極少考查而湖北卷常有考查的主要考查內容：（1）柯西不等式：湖北卷?？疾?，全國卷未考查；（2）合情推理湖北卷每年考查，全國Ⅰ卷考查較少；（3）異面直線所成的角：湖北卷有要求有過幾次考查，全國卷Ⅱ僅在2015年理科卷有一次考查；（4）事件的關系與運算：湖北卷有要求有考查，全國卷無要求未考查；（5）參數方程與普通方程：湖北卷對此比全國卷要求高且廣泛；（6）函數模型與函數的實際應用、數學歸納法、幾何概型等，湖北卷均有要求有考查，全國卷有要求未考查；（7）定積分：湖北卷有要求常有考查，全國卷僅見一次考查.特別需要指出的是全國卷與湖北卷在“概率統計”與“統計案例”方面，無論是命題風格還是考試要求都有較大的差異，備考時需要高度重視.

四、一二輪復習建議

1.一二輪復習順序

高三數學復習應當打破教材的章節順序，按數學的主干知識進行分塊整合.建議一輪復習板塊組合與先后順序為：集合與常用邏輯用語（必修1，選修2-1），不等式（必修5），平面向量（必修4），函數與導數（必修1，選修2-2），數列（必修5），三角函數與三角變換（必修4，必修5），立體幾何（必修2，選修2-1），平面解析幾何（必修2，選修2-1），計數原理、概率與統計（必修3，選修2-3），復數（選修2-2），算法初步（必修3），推理與證明（選修2-2），選考內容（選修4的某些專題）.二輪復習板塊組合與先后順序為：函數與導數，數列與不等式，向量與幾何，統計與概率，函數與方程思想，數形結合思想，分類與整合思想，轉化與化歸思想.

2.模塊復習建議

從全國卷的函數（函數、三角函數、數列等）大量涉及函數恒成立問題來看，有必要做專門的梳理，強化類型（可求最值型、分離變量型、主客互換的一次函數二次函數型），加強對端點效應的研究；深入研究三個二次之間的關系，加強方程根的分布和方程有解問題的研究；在二次函數研究的基礎之上，利用導數能夠認識三次函數的形態（圖像與對稱中心）、零點、極值，最值；適當關注泰勒級數展開式等高等數學知識可以讓我們更好地認識試題的來龍去脈，對于尖子學生，在學有余力的條件下適當補充一些大學選修內容也是可以的，這也是課改的趨勢；文科函數與導數的解答題增大難度，難度上向理科靠近，文科應適當參考理科的導數題目，開拓學生的思路.

向量的學習和研究要上升到工具意識上面來，要加強向量運算對幾何關系的作用，加強向量運算符號的幾何含義的理解和把握.

全面梳理人教A版必修5中“解三角形應用舉例”、章節習題中正余弦定理的應用模型，有條件的地方建議教師訂閱蘇教版教材并閱讀相關章節，一般來說考慮選材的公平性，這部分內容的考題都會從教材選擇.

解析幾何大題的復習，建議理科以橢圓、拋物線綜合題為主，文科以直線與圓為主，直線與橢圓為主；全面落實軌跡探求的方法（定義、直譯、相關點、消參、交軌），文科不回避軌跡問題；特別關注拋物線的焦半徑及其相關弦長的研究；加強與直線斜率相關的定點弦、定向弦以及定值定點問題的研究.

立體幾何大題的復習，新課標全國卷理科數學中過多地使用向量解決，無疑剝奪了學生空間想象能力的培養，教師在立體幾何教學一開始的時候，應該加強幾何法的使用力度，讓學生得到充分的鍛煉.在命題時不妨多編制幾個常規幾何體的非常規放法的三視圖問題，必要時還可以讓學生命題，以提高他們的熟悉度和靈活度，后期要注重幾何符號語言、文字語言、圖形語言三種語言的相互轉化.由于文科沒有空間向量，所以第一問多以證明平行和垂直為主，特別是證明垂直，如2011年第一問證明線面垂直，2012年第一問證明面面垂直，2013年第一問證明異面直線垂直，2014年第一問證明異面直線垂直，2015年第一問證明面面垂直等；第二問基本上是計算幾何體的表面積或體積等，如2012年計算體積比，2013年計算體積，2014年求三棱柱的高，2015年求表面積，少有涉及線面角和二面角.

3.新增內容與選考處理

重視“新增”內容，不忘“邊緣”考點.新增內容：如函數與方程，算法初步，幾何概型，條件概率，正態分布，統計案例，三視圖，全稱量詞與特稱量詞，理科的定積分等.據近年對試題的統計，新增內容在量的方面逐年增加，在命題的難度和變化方面也有所加強.另外一個值得注意的傾向是，對于看起來“淡化”或“弱化”的“邊緣”考點考查得較為頻繁，如2010年課標全國卷Ⅰ文理科第19題均考查了“獨立性檢驗”，2014年課標全國卷Ⅰ理科第18題考查了“正態分布”，課標全國卷Ⅱ理科第19題考查了“線性回歸方程”等，2015年課標全國卷Ⅰ文理科第19題均考查了“回歸方程”.

選考內容可以選定兩個模塊為主進行復習，第一輪應加強對坐標系與參數方程的訓練與傾向性引導.考場上不宜把三道選考題都閱讀一遍再比較，應根據復習備考時準備的兩個模塊，瀏覽這兩個模塊試題后選定一題作答.考生在?？加柧殨r注意養成先考慮解答前三大題，接著解答選考的三選一大題，然后再解答第四、第五大題，這對合理把握考試時間，有效得分是十分重要的.