有誤必有因有思才有悟

☉福州華僑中學　李文明

有誤必有因有思才有悟

☉福州華僑中學李文明

一、提出問題

題目：三對夫妻站成一排照相，僅有一對夫妻相鄰的概率是多少？

這是2014年全國高中數學聯合競賽湖北省預賽（高二年級）第8題.在網上只能搜到答案，但是這個問題及與之有關的問題也大都沒有詳解，網上錯誤解答也層出不窮，這的確是一道較難的問題，不但很多學生不能給出解答過程，其實相當一部分老師也無法給出詳細解答，筆者對問題進行了認真思考，現把探究思路和過程提供給大家，以此引導學生學會調整思考方向和方法，學會思考，同時要讓學生懂得教師也會犯錯誤，關鍵是學會在山窮水盡疑無路的“逆境”中，辨明方向，理清思路，探索進取，走出泥潭，進而修正錯誤.提升數學思維能力和數學素養.我們認為真正的好老師要敢于把自己犯過的錯誤呈現給學生，也就是說要有勇于承認錯誤的精神，同時還要善于把自己所犯錯誤的性質及糾正的思考過程展現給學生，只有這樣才能為提高學生的數學思維能力和數學素養提供借鑒.

先分步再分類：第一步，從三對夫妻中任選一對，其余兩對先排分兩類情況.

（1）這兩對先排且有一對相鄰：從兩對中任選一對，剩下一對站成一排，再把前面從兩對中選出的那一對插在兩個人中間，插入的一對再全排列，故方法數為

（2）這兩對先排且夫妻互不相鄰：從兩對中任選一對全排列，然后從最后一對中任選一人插入夫妻中間，再把最后一人排在兩邊，故方法數為

第二步，把最初選出的一對夫妻插入其中，并保證僅有最后插入隊伍的夫妻是相鄰的，所以方法數共有

這是本人在認真思考過程中得出的一個答案，看上去似乎沒有問題，在不知道問題答案的情況下如何辨別問題的正確與否呢？困惑：一是覺得概率很大，但是概率問題是無法直接驗證的，二是與之相關的問題都清楚了嗎？要解決其他與之相關問題難度與原問題難度相當，確有欲罷不能之感，其實這才是引發我們積極思考的最好契機.

二、問題探究

為了研究問題，我們探究與之相關的下列問題：

（1）三對夫妻站成一排，三對都相鄰的概率；

（2）三對夫妻站成一排，僅有兩對相鄰的概率；

（3）三對夫妻站成一排，僅有一對相鄰的概率；

（4）三對夫妻站成一排，夫妻互不相鄰的概率.

這四個問題彼此互斥，難易程度不同，我們不妨先易后難.

正解：（1）三對夫妻都相鄰的方法數.

分兩步：第一步，先“捆綁”把每對夫妻看作“一個元素”，三對全排列；第二步，在“捆內排列”，由分步計數原理得A33（A22）3=48.

（2）僅有兩對夫妻相鄰的方法數.

分三步：第一步，先從三對夫妻中任取兩對夫妻，每一對夫妻“捆綁成一個元素”進行全排列；第二步，在“捆內全排列”；第三步，把最后一對元素插在“夫妻對”與“夫妻對”之間和兩邊3個空中的2個中.

（3）僅有一對夫妻相鄰的方法數.（本題難點所在）

先分類再分步：第一類，相鄰的夫妻排在隊首.

分五步：第一步，先從三對夫妻中任選一對夫妻，排在下面六個位置的最前面方法數有如圖1所示；

圖1

第二步，從余下的4人中任選一個，排在第3個位置，方法有A14種；

第三步，第4個位置只能從余下的一對夫妻中任選一個，方法有A12種；

第四步，第5個位置只能排站在位置3的人的配偶，方法只有1種；

第五步，第6個位置只能排站在位置4的人的配偶.

第三類，相鄰夫妻排在第2、3兩個位置上，如圖2所示.

圖2

第一步，先從三對夫妻中任選一對夫妻，排在六個位置的第2、3位置，方法數有種；

第四步，第5個位置只能排站在第1個位置的人的配偶，方法有1種，第6個位置只能排站在第4個位置的人的配偶.

方法共有

第五類，相鄰夫妻站在中間的兩個位置，如圖3所示.

圖3

第一步，先從三對夫妻中任選一對夫妻，排在六個位置的第3、4位置，方法有種；

因此由分類計數原理得夫妻僅有一對相鄰的方法總數有48+48+48+48+48+96=288.

（4）三對夫妻站成一排，夫妻互不相鄰.

先分步再分類，如圖4所示.

圖4

第一類：第一步，先從6人中任選一人站在第1個位置，方法有種；

第二步，從余下的兩對夫妻中任選一人站在第2個位置，方法有種；

第三步，第3個位置排站在第1個位置的人的配偶，方法1種；

第四步，第5個位置排站在第2個位置的人的配偶，方法1種；

圖5

第二類：如圖5，第三步，從余下的一對夫妻中任選一人排在第3個位置，方法有種；

第四步，從站在第1、2位置的人的兩個配偶中任選一人排在第4個位置，方法有種；

三、探究錯因

老師為什么會犯錯誤，到底錯在哪里，是思考方向錯誤，還是計算錯誤，俗話說，退一步海闊天空，著名數學家華羅庚教授曾經說過：善于“退”，足夠地“退”，“退”到原始而不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅，先足夠地退到我們最容易看清楚的地方，認透了，鉆深了，然后再上去.這就是以退為進的思想.當我們在探求某些數學問題的解法時，碰到一些疑惑費解或難于入手的困難，不妨將復雜的問題退到較為簡單易求的地步，從中找出能反映問題本質屬性的東西，使原問題化難為易而獲解.為了把錯誤搞清楚，我們不妨先研究與之相關的簡單問題：把“三對”減少為“兩對”.

兩對夫妻排成一排照相，求：（1）兩對夫妻都相鄰的概率；（2）僅有一對夫妻相鄰的概率；（3）夫妻互不相鄰的概率.

說明：兩對夫妻排成一排，夫妻互不相鄰的排法：先從4人中任選一人站在第1個位置，再從余下的一對夫妻中任選一人站在第2個位置，第3個位置只能排第1個位置的人的配偶，第4個位置只能排第2個位置的人的配偶，如圖6所示.

圖6

由此可見，錯解錯在第一步分類的第二類，具體到這種想法為什么會錯，如何克服呢？

我們不妨用AaBb表示兩對夫妻，例如，先取一對是Aa，則這對夫妻有兩種站法：

（1）Aa，第二步再把余下兩人插入其中的結果是ABab、bABa、BAba、AbaB；

（2）aA，第二步再把余下兩人插入其中的結果是aBAb、baBA、abAB、BabA.共計8種結果.

若先取得一對是Bb，再插入其余兩人結果與上述相同，因此出現了重復排列，糾正的方法是：不用從兩對夫妻中任選一對先排列，只需指定其中一對先排列，再排其余兩人就可以完成.

點評：這正是采用“插空法”特別值得注意的問題，由于“造空”的元素個數與“插入”元素個數相同，因此只需先“指定”其中兩個元素“造空”，即可克服重復排列的發生！于是就有了問題的另一種解法.

先分步再分類：第一步，從三對夫妻中任選一對，其余兩對先排分兩類情況：

（1）這兩對先排且有一對相鄰：從兩對中任選一對，剩下一對站成一排，再把前面從兩對中選出的那一對插在兩個人中間，插入的一對再全排列，故方法數為

（2）這兩對先排且夫妻互不相鄰：將其中一對全排列，然后從最后一對中任選一人插入夫妻中間，再把最后一人排在兩邊，故方法數為

第二步，把最初選出的一對夫妻插入其中，并保證僅有最后插入隊伍的夫妻是相鄰的，所以方法數共有

有誤必有因，有思才有悟，我們雖然找到了錯因，也悟出了克服差錯的方法，我們的思考是否可以停止呢？其實從整體上我們還是沒有發現問題的本質，我們還要繼續思考，到底什么才是問題的本質呢？我們前面用了“退一步海闊天空”的思想，現在我們要“進一步領略風光”，“三對”問題與“兩對”問題聯系是怎樣的？其實“三對”只不過是“兩對”增加了一對，方法數有怎樣的關系呢？于是問題就有了第三種解法：

解法三：對于“三對”問題我們可以先考慮已經排好了“兩對”再增加一對.

（1）三對夫妻都相鄰的方法數：只需在已經排好的兩對都相鄰的（方法數為基礎上，把最后一對插入前面“兩對”及兩邊的3個空當中，插法為

（2）三對夫妻僅有兩對相鄰的方法數.

所以，三對夫妻僅有兩對相鄰的方法數為144.

（3）三對夫妻僅有一對相鄰的方法數.

由分類計數和分步計數原理得三對夫妻僅有一對相鄰的方法數為

（4）三對夫妻互不相鄰的方法數.

由分類計數和分步計數原理得三對夫妻互不相鄰的方法數為8（20+8+2）=240.

由此可見我們不但解決了問題本身，還發現了本質規律，為學生開辟出探究之路，“四對夫妻”、“五對夫妻”……都是可以解決的！這里我們不僅很好地運用了“分類與整合思想”，還把數列中學到的“遞推思想”有效遷移到排列組合中，充分體現數學思想方法的相互融合.

四、探尋規律

數學思維追求簡約自然，數學最顯著的特點是高度抽象性與廣泛應用性，提高學生對現實問題進行數學抽象和概括的能力，也是數學教育教學根本目的之一.

設f（m，n）（m，n∈N，m≥1）表示“m對夫妻站成一排，僅有n對夫妻相鄰的方法數”.

由此可得遞推公式：

（規定：當m

五、問題啟示

教學過程如何發揮教師的引導作用一直是人們關注的熱點，關于“引導作用”有時會被曲解，引路就是要引導、開拓，有路要引路，無路要開路，很多老師都覺得只有把老師經過“咀嚼”后得到的“精華”奉獻給學生才能發揮“引導作用”，我們覺得關鍵是教師不要越俎代庖，最關鍵的是不要代替學生“思考”，要允許學生犯錯誤，也允許教師犯錯誤，最為重要的是幫助學生學會數學思考，學會在困難面前不退縮，不氣餒，勇于進取，敢于擔當，善于探索，理清問題的本質，舉一反三，有誤必有因，有思才有悟，堅持不懈就一定能為提高學生的思維能力和數學素養做出積極的貢獻.

1.李文明.創新之路在腳下無限風景在眼前［J］.中學數學（上），2015（6）.

2.李文明.回眸課標導數題把握備考方向標［J］.中學數學（上），2015（10）.