三角函數教學中幾個疑難問題的處理

☉山東省肥城市第一高級中學　孫衍亮

三角函數教學中幾個疑難問題的處理

☉山東省肥城市第一高級中學孫衍亮

在初中時學生已經接觸過三角的基礎內容，但所涉及的知識主要用于直角三角形中，到高中后角的范圍擴充到了任意角，使學生有應接不暇之感.而部分教師在處理某些問題時，并沒有站在學生的立場上來考慮，增加了學生的困惑，進而產生學習的障礙.筆者就教學中學生常遇到的幾個疑難問題進行簡潔處理，希望對同學們學習有所幫助.

一、已知α所在象限，探究所在象限

例1（人教A版必修4第11頁練習）已知α是第一象限角，那么

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角

此類問題在課堂講解時，部分教師直接給出八卦圖式（此處略）的處理方式，讓學生只知其然，不知所以然，解題時并不能靈活應用.其實對此問題的處理，我們完全可以從學生易接受的視角解決.

在某次公開課上，對此問題的處理，主講教師的處理方式是給出圖表讓學生記憶，后又提議根據相應三角函數的圖像比較容易記憶這類特殊角的三角函數值.可是我們知道是先有五點，后有圖像，此法有本末倒置之嫌，并不可取.

其實對此問題可從學生已經理解的知識基礎上來處理.

對于0，即角的終邊與始邊重合，落在x軸正軸上，此時y=0，r2=x2+02=x2，所以r=x.因此

此種做法，讓學生明白了問題的來龍去脈，接受起來也就更加順利自然了.

三、對誘導公式的處理

以上，筆者將問題的探究完全交給學生來處理，教師只充當學生學習的引導者，使學生不僅學到了知識，而且還提高了對問題分析的能力.

四、對三角函數圖像和性質的教學處理

在講解此部分內容時，部分教師嚴格按照教材中的推導途徑進行教學，對學生的理解能力提出了較高的要求，但并不利于學生對知識的掌握.筆者在處理此內容時，從學生已經熟悉的基本初等函數的性質入手，產生了良好的教學效果.過程如下（以y=sinx為例）：

師：我們在必修1中已經學習過指數函數、對數函數、冪函數等基本初等函數，學習這些函數時，我們都學習了函數的哪些性質？

生：圖像、定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性.

師：正弦函數也是函數，那么它是否具有相關的性質呢？

生：具有，我們前面已經知道了正弦函數是周期函數，周期為2π.因為x為任意角，所以函數的定義域為R.由誘導公式sin（－x）=sinx，即滿足奇函數的定義f（-x）= f（x），所以y=sinx為奇函數，因此其圖像關于原點對稱.由|y|≤r，可知正弦函數的值域是［-1，1］．

圖1

師：非常精彩，那么正弦函數的單調性如何？

生：在第一、四象限內，隨著角α的增大，正弦線MP也隨之增大．在第二、三象限內，隨著角α的增大，正弦線MP卻隨之減少．因此（k∈Z）上遞增，在上遞減，在上遞增.

師：我們已經做了充足的準備工作，那么如何畫正弦函數的圖像？

生：由于正弦函數的周期是2π，因此只要畫出它在［0，2π］上的圖像.再通過取特殊角，利用描點法來畫.

因為這類角的三角函數值是無理數.

師：請一名學生到黑板上畫圖像，其他同學在下面畫.

筆者從學生已知的三角函數的簡單性質入手，借助三角函數線研究正弦函數的單調性、值域等性質，先讓學生從理性上認識正弦曲線的變化規律，然后讓學生用五點法畫圖.沒有按照以往“先作函數圖像，再觀察圖像總結性質”的套路展開教學活動.

五、解題思路的尋找

在某些問題的講解中，部分老師往往是直接給出解題思路，學生雖然也聽明白了，但在處理類似問題時仍感無從下手.因此我們在講解此類問題時，應從解題思路的尋找上多下功夫，不僅要告訴學生“這樣做”，而且要說明“為什么這樣做”.

師：請同學們觀察一下，已知條件與所求結論有什么關系？

生：已知條件是sinα與cosα和的形式，所求為積的形式與差的形式.

師：解題的過程，也可稱之為轉化的過程，即將未知化已知或將已知化未知.先來看第一個問題，如何建立已知與未知之間的關系.

生：將已知條件兩邊平方，即可出現sinα與cosα乘積的形式，即（sinα+cosα）2=?sin2α+2sinαcosα+cos2α=，又sin2α+cos2α=1，所以sinαcosα=

師：第二問如何處理？

生：這次我們可以對結論進行兩邊平方處理，也轉化為乘積的形式，就可求出結論.即（cosα－sinα）2=cos2α－再開方可得

師：通常情況如果求出兩種結果，需要我們進行檢驗，看是否都滿足題意，那么是否都符合題目條件呢？

生：α∈（0，π），正弦均為正，余弦可能為正，也可能為負，故兩種情況應該都符合條件.

師：好，那我們來回顧一下前面所講內容，如何判斷象限角的三角函數值的符號？

生：（1）利用三角函數的定義；

（2）利用三角函數線.

師：還有沒有補充？

生：還可以利用cosαsinα的符號來判斷，若為正，則符號相同，若為負，則符號相反.

師：那么本題如何來判斷？

生：（恍然大悟）因為我們第一問已經求出sinαcosα=故sinα與cosα異號，又α∈（0，π），所以α為第二象限角，cosα<0，sinα>0，所以cosα－sinα<0，故正確答案為cosα－sinα=－

通過對學生的引導，使其掌握的不僅是這道題的解題方法，而是一類題的解題思路.

綜上，是筆者對三角函數教學中的幾個疑難問題的處理方法，不足之處請廣大同行指正.希望教師們在教學中不斷地進行嘗試，探索出適合學生的教學方法.