基于多元線性回歸的阻性和容性電流分解

韓永森， 李忠華， 鄭歡， 郭文敏

(哈爾濱理工大學 教育部工程電介質及其應用技術重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150080)

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基于多元線性回歸的阻性和容性電流分解

韓永森， 李忠華， 鄭歡， 郭文敏

(哈爾濱理工大學 教育部工程電介質及其應用技術重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150080)

為了研究交流電壓作用下非線性半導體器件和非線性絕緣電介質的絕緣狀態和介電性能，提出一種阻性和容性電流分解算法。以非線性電阻和非線性電容構成的并聯等效電路為研究對象，推導響應電流關于激勵電壓的非線性方程。通過坐標變換，將其轉化成多元線性方程。利用多元線性回歸方法，獲得等效電路參數且實現了阻性和容性電流的分解。定性分析該算法的抗干擾能力和對非標準正弦波電壓的適應能力。仿真結果表明：該算法可以準確地實現阻性和容性電流的分解；當響應電流含有55 dB的噪聲時，電路參數的求解誤差較??；激勵電壓諧波分量對電路參數的求解幾乎沒有影響。實驗結果表明：該算法可以實現MOA閥片在交流電壓作用下全泄露電流的分解。

電流分解；非線性等效電路；電路參數估計；多元線性回歸

0 引 言

阻性和容性電流的分解是非線性半導體器件和絕緣電介質在交流電壓作用下的狀態監測和電氣性能測試的關鍵技術環節。

金屬氧化物避雷器(MOA)以其優異的非線性特性和良好的浪涌吸收能力已逐漸廣泛應用于電力系統的過電壓保護中[1-2]。但是，MOA在運行期間會受到各種過電壓以及外界環境因素(污濁、潮濕等)的影響而使其電氣性能劣化，主要表現在泄漏電流中的阻性電流分量明顯增大，同時功率損耗的增加會進一步加劇MOA的老化，甚至會使避雷器損壞[3]。因此，MOA阻性電流分量是MOA狀態監測與診斷的重要依據。

MOA阻性電流提取的方法主要有：基波法[4]、容性電流補償法[5]、三次諧波法[6]、相位比較法[7-8]等。這些方法均是頻域分析法，是以標準正弦波激勵電壓為基本假設條件的。

非線性絕緣電介質系指其介電參數隨電場變化而變化的絕緣材料[9]，具有在不均勻電場中自行調控電場分布的特點[10]。應用于電纜終端的電場應力控制片(或管)[11]和高壓電機定子線棒端部防電暈結構中的防電暈帶[12]就屬于非線性絕緣電介質，其在高壓直流電纜和套管中也具有潛在的應用前景[13-14]。

采用研究線性絕緣電介質的測試設備(比如，交流高壓電橋、阻抗分析儀和介電譜儀等)測量非線性絕緣電介質，測試結果不能真實反映其介電特性[15]。國內學者通過仿真和實驗手段研究了不同復合絕緣電介質的直流非線性電導特性[16-18]。國外Obrzut等對非線性絕緣電介質的交流激勵電壓和響應電流波形進行了測試，并用響應電流的諧波分量表征了非線性絕緣電介質的非線性特性[19]。文獻[20]利用非線性最小二乘算法實現了非線性絕緣電介質的阻性電流和容性電流的分解。

交聯聚乙烯(XLPE)電力電纜已經成為城市供電網絡的主體，為確保城市電網供電安全，電纜水樹老化狀態的診斷技術備受關注。XLPE電纜水樹老化后，由于水分和低分子產物的存在使電纜絕緣表現出場致增強型電導特性，標準正弦波電壓作用下其阻性電流將含有諧波分量，因此阻性電流及其諧波的測量[21]已成為XLPE電纜絕緣狀態診斷的有效途徑之一。

綜上所述，準確地實現在交流電壓作用下的非線性半導體器件和絕緣電介質的阻性電流和容性電流的分解是研究器件和絕緣電介質的電氣性能的關鍵。本文建立了非線性絕緣電介質的并聯等效電路模型，得到了響應電流關于激勵電壓的時域表達式，利用多元線性回歸方法得到了等效電路參數，實現了阻性和容性電流的分解。仿真和實驗驗證了該方法的可行性和實用性。

1 理論基礎

1.1 非線性電路模型

為了實現普遍意義上的阻性電流和容性電流的分解，以非線性絕緣電介質為例進行分析。參照線性絕緣電介質的表示方式，用非線性電導與非線性電容的并聯等效電路來描述非線性絕緣介質，如圖1所示。其中，u(t)是施加在此介質上的交流激勵電壓；i(t)是流過此介質的響應電流；iG(t)是流過此介質的阻性電流；iC(t)是流過此介質的容性電流；Gx(u)是此介質的非線性等效電導；Cx(u)是此介質的非線性等效電容，t為時間。

圖1 非線性絕緣電介質的并聯等效電路Fig.1 Parallel equivalent circuit for nonlinear insulating dielectrics

用電壓u(t)的多項式形式來表示非線性電導Gx(u)和非線性電容Cx(u)?？紤]到非線性絕緣電介質中不存在整流和濾波過程，電流中只會含有奇次諧波分量，因此多項式中只采用了u(t)的偶次項。

非線性電導Gx(u)與電壓u(t)的關系為

(1)

式中，n=0，1，2，…；Gx,2k為Gx(u)對應的第2k個電路參數。

Gx(u)在u(t)作用下產生的阻性電流iG(t)為

(2)

非線性電容Cx(u)與電壓u(t)的關系為

(3)

式中，n=0，1，2，…；Cx,2k為Cx(u)對應的第2k個電路參數。

Cx(u)在u(t)作用下產生的容性電流iC(t)為

(4)

響應電流i(t)為

i(t)= iG(t)+iC(t)=

(5)

由此可知，響應電流i(t)是關于交流激勵電壓u(t)的非線性方程，共包含2n+2個電路參數。

1.2 阻性、容性電流的分解

由式(2)和式(4)可知，上述2n+2個電路參數是實現阻性電流和容性電流分解的關鍵。這些電路參數通常都是未知的，需要通過求解非線性方程(5)來得到這些參數。然而，非線性方程的求解算法復雜，且收斂結果與初始值的選擇有關。為了方便地獲得準確的電路參數，本文首先將非線性方程轉化成多元線性方程，然后用多元線性回歸方法求解上述電路參數。

令

y=i(t)，

(6)

xk=u(t)2k+1，

(7)

bk=Gx,2k。

(8)

式中，k=0，1，…，n。

(9)

bk=Cx,2(k-n-1)。

(10)

式中，k=n+1，n+2，…，2n+1。

根據式(6)～式(10)便可以將非線性方程(5)轉化為多元線性方程

(11)

通過實驗或仿真可以得到m組觀測數據，為

xj,0，xj,1，…，xj,2n+1，yj。

其中：xj,0為自變量x0的第j個觀測數據；xj,1為自變量x1的第j個觀測數據；…；xj, 2n+1為自變量x2n+1的第j個觀測數據；yj為因變量y的第j個觀測數據；j=1，2，…，m。

以此m組觀測數據和多元線性方程(11)為基礎，用多元線性回歸方法[22]得到正則方程組，即

(XTX)B=XTY。

(12)

式中，Y=(y1，y2，…，ym)T；B=(b0，b1，…，b2n+1)T；

考慮到方程組求解的穩定性和運算速度，用QR分解法[23]求解此正則方程組，得到回歸系數向量B，即電路參數向量。

為了便于分析，在公式(1)和式(3)中采用相同數量的電路參數來描述非線性電導Gx(u)和非線性電容Cx(u)。利用F檢驗可以對各電路參數bk的顯著程度進行定量的判斷。對于作用不顯著的電路參數bk應舍去，此時F檢驗滿足：

(13)

對于給定的顯著水平α，若Fk>F1-α，則認為電路參數bk作用顯著。將作用顯著的各電路參數代入到公式(2)和式(4)便可以得到阻性電流和容性電流。

1.3 分解算法的抗干擾能力和對非標準正弦波電壓的適應能力分析

通過電壓互感器、電容分壓器或電阻分壓器測得的電壓u(t)的相對誤差通常較小，此測試誤差幾乎不影響阻性、容性電流的準確分解。但是，由于響應電流i(t)的數量級較小(mA級以下)，在測試過程中響應電流i(t)容易受到外界電磁場的干擾而混有一定信噪比SNR的白噪聲。信噪比SNR可按下式計算：

(14)

式中，PS為信號能量；PN為噪聲能量。

相對于響應電流i(t)而言，白噪聲具有較寬的頻率范圍(包含響應電流的頻率)。當白噪聲中與響應電流不相關的頻率的振幅遠低于響應電流中各頻率的振幅時，求解到的電路參數的相對誤差較小，對阻性、容性電流的分解準確度的影響也??；當白噪聲中與響應電流不相關的頻率的振幅接近或高于響應電流中某頻率的振幅時，部分電路參數的求解結果的相對誤差較大，甚至遠遠偏離真實值，以至于不能準確地實現阻性、容性電流的分解。

在響應電流i(t)不含噪聲的前提下，當激勵電壓u(t)中含有諧波分量(主要是奇次諧波分量)時，即

(15)

式中：U2k-1為第2k-1次諧波分量的有效值；φ2k-1為第2k-1次諧波分量的初相位；ω為角頻率；n1=1，2，…。

對應的多元線性方程為

y+Δy=BT×(x+Δx)。

(16)

式中：y為激勵電壓的基波單獨作用時對應的響應；Δy為激勵電壓的各次諧波協同作用時對應的響應；x=(x0，x1，…，x2n+1)T為激勵電壓的基波單獨作用時對應的激勵；Δx=(Δx0，Δx1，…，Δx2n+1)T為激勵電壓的各次諧波協同作用時對應的激勵。

由公式(16)可知，當u(t)含有諧波分量時，響應y上會疊加Δy而影響到響應電流i(t)的波形。但是，對于給定的非線性絕緣電介質，其對應的電路參數向量B是確定的，即為常系數向量。因此，通過多元線性方程(16)和(11)對應的正則方程組求得的電路參數相同，即u(t)中有無諧波分量不影響阻性、容性電流的準確分解。

2 分解算法的實現

利用Matlab軟件編寫的程序來實現電路參數的求解和阻性電流與容性電流的分解，圖2給出了分解算法實現的程序流程圖。

圖2 分解算法流程圖Fig.2 Flow chart of decomposition algorithm

首先，輸入相關的數據和參數，根據相關公式得到矩陣X和向量Y。然后，用QR分解法求解正規方程組(12)，得到電路參數向量B，并用F檢驗對電路參數bk的顯著性進行檢驗，將作用不顯著的電路參數舍去。最后，將作用顯著的各電路參數代入式(2)和式(4)就可以得到阻性電流和容性電流。

3 仿真驗證

仿真所用的仿真參數為：G0x=4×10-8S，G2x=6×10-15S/V2，G4x=3×10-19S/V4，C0x=1×10-9F，C2x=2×10-17F/V2，C4x=5×10-22F/V4。

3.1 原理性驗證

采用的激勵電壓

u(t)=Umsin(2πft+φ)。

式中：Um=500 V；f=50 Hz；φ=0°。

根據仿真生成的激勵電壓u(t)和響應電流i(t)，分別在n=2，α=0.05和n=3，α=0.05時用本文算法對響應電流i(t)(如圖3所示)進行分解。表1給出了電路參數的計算結果。

圖3 響應電流波形Fig.3 Simulation waveform of responding current

電路參數n=2n=3bk顯著性bk顯著性G0x4.0×10-8*4.0×10-8*G2x6.0×10-15*6.0×10-15*G4x3.0×10-19*3.0×10-19*G6x5.2×10-37C0x1.0×10-9*1.0×10-9*C2x2.0×10-17*2.0×10-17*C4x5.0×10-22*5.0×10-22*C6x4.3×10-38

由表1可知，n=2和n=3時分解得到的電路參數G0x～G4x和C0x～C4x與仿真生成響應電流i(t)時所用到的相應電路參數相同，而且通過顯著性檢驗可以將n=3時分解得到的作用不顯著的電路參數G6x和C6x舍去。仿真結果說明：在激勵電壓u(t)不含諧波分量和響應電流i(t)不含噪聲的情況下，本文算法能夠對非線性并聯等效電路的電路參數進行準確地求解，這為阻性、容性電流的準確分解提供了基礎。

將n=2時分解得到的作用顯著的各電路參數代入到式(2)和式(4)，得到阻性電流和容性電流波形，如圖4所示。

3.2 響應電流含有噪聲

在仿真生成的響應電流i(t)上分別疊加了信噪比SNR為55 dB和35 dB的白噪聲，且在n=2，α=0.05時用本文算法分別對這兩種情況下的i(t)進行分解，所得到的電路參數如表2所示。

圖4 分解得到的阻性電流和容性電流波形Fig.4 Resistive current and capacitive current waveforms gotten by decomposing

電路參數55dB35dBbk相對誤差/%bk相對誤差/%G0x3.996×10-8-0.093.964×10-8-0.90G2x6.292×10-154.873.427×10-15-42.89G4x2.997×10-19-0.093.231×10-197.69C0x1.000×10-90.011.001×10-90.05C2x1.841×10-17-7.931.704×10-17-14.83C4x4.686×10-22-6.285.757×10-2215.14

由表2可以得出，當噪聲的信噪比為55 dB時，所得到的電路參數的相對誤差較??；而當噪聲的信噪比為35 dB時，電路參數的相對誤差較大，特別地，G2x的相對誤差已經達到-42.89%。結果表明：當噪聲有較大的信噪比時，比如55 dB，該算法能較準確地實現阻性、容性電流的分解。

3.3 激勵電壓含有諧波分量

考慮到實際電網中諧波分量主要為奇次，且7次以上的高次諧波含量占總諧波比例較小，這里僅對激勵電壓u(t)含有不同比例的諧波分量(7次及以下奇次諧波成分)的情況進行討論。

此時，

其中，U2k-1為第2k-1次諧波分量的有效值；ω=100π(rad/s)；k=1，2，3，4。

在n=2，α=0.05時，用本文算法對激勵電壓含有諧波分量時產生的響應電流進行分解。表3列出了相關參數的計算結果。

表3 激勵電壓分別含不同比例的奇次諧波時相關參數的計算結果

通過表3可以看出，電路參數的相對誤差幾乎均為0%，這說明含有諧波分量的激勵電壓u(t)對電路參數的準確求解幾乎沒有影響。因此，在非標準正弦交流激勵電壓下，該算法也能夠準確地實現阻性和容性電流的分解。

4 實驗驗證

為了清晰說明本文算法的合理性與實用價值，將市售的MOA閥片切片成厚度為5 mm，直徑為42 mm的試樣。首先，對該試樣的直流伏安特性進行了測試，得到其電流密度J與電場強度E的關系曲線，如圖5所示。

圖5 電流密度與電場強度關系曲線Fig.5 Curve of current density against electric field strength

由圖5可知，該試樣的J-E特性曲線具有典型的非線性特性，因此采用該試樣作為本文實驗驗證的測試對象。

用文獻[15]所建立的非線性絕緣電介質交流測試系統，對該試樣的交流激勵電壓u(t)和響應電流i(t)的時域波形進行了測試，測試結果見圖6。測試條件為：室溫；標準正弦波激勵電壓，幅值為1 300 V，頻率為50 Hz；平板三電極系統。

圖6 激勵電壓和響應電流的實測波形Fig.6 Test waveforms of excitation voltage and responding current

用本文算法在n≥3的情況下對此實測的響應電流i(t)進行分解時，由于矩陣XTX近似于奇異矩陣，所得到的分解結果會不準確。為了得到準確的分解結果，用本文算法在n=2，α=0.05時對實測的響應電流i(t)進行了分解，得到的電路參數見表4。圖7給出了響應電流的擬合曲線和測試曲線對比結果。

表4 電路參數的計算結果

圖7 響應電流回歸曲線和測試曲線Fig.7 Regression and measurement waveforms of responding current

由表4可以發現，這些電路參數的作用均顯著。通過圖7中響應電流的擬合曲線和測試曲線的對比，可以得知該算法能夠實現MOA閥片在交流電壓作用下的響應電流的分解。利用該算法能夠同時得到MOA閥片的阻性和容性電流波形，如圖8所示。結合試樣的幾何尺寸，可以得到圖9所示的阻性電流密度與電場強度以及容性電流密度與電場強度導數的關系曲線。

圖8 阻性和容性電流波形Fig.8 Resistive and capacitive current waveforms

由圖5和圖9(a)的對比可知，在相同電場強度下，交流電壓下的阻性電流密度要比直流電壓下的大兩個數量級，這是由于MOA閥片中晶界處的界面極化[24]使得交流電導率較大的緣故。通過圖9(a)還可以發現，當電場強度足夠高時阻性電流密度jG會表現出非線性。

由圖9(b)可知，在交流電壓作用下，當電場強度導數足夠大時容性電流密度jC也會表現出非線性。因此，可以用本文算法得到的阻性、容性電流密度來研究MOA閥片在交流電壓作用下的非線性特性。

圖9 阻性電流密度與電場強度以及容性電流密度與電場強度導數關系曲線Fig.9 Curves of resistive current density vs electrical field strength and capacitive current density vs electrical field strength derivative

5 結 論

通過對非線性絕緣電介質并聯等效電路的分析，以并聯等效電路參數為基礎推導了響應電流關于激勵電壓的關系式，提出了一種基于多元線性回歸的阻性電流和容性電流分解方法。理論分析表明：該方法的原理簡單，易于實現，得到的阻性電流和容性電流中包含豐富的頻域信息，具有時域和頻域相結合的特點。仿真結果表明：該方法不僅可以準確的實現阻性、容性電流的分解，還可以得到非線性電路參數，其受較大信噪比噪聲的影響較小但幾乎不受激勵電壓諧波分量的影響。實驗結果表明：該方法可以實現MOA閥片在交流電壓作用下的響應電流分解，同時發現其阻性、容性電流密度會表現出非線性特性，該方法具有潛在的實用價值。

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(編輯：劉素菊)

Decomposition method of resistive current and capacitive current based on multiple linear regression

HAN Yong-sen， LI Zhong-hua， ZHENG Huan， GUO Wen-min

(Key Laboratory of Engineering Dielectrics and Its Application, Ministry of Education, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080, China)

To study the insulation status and dielectric performance of nonlinear semiconductor equipment and nonlinear insulating dielectrics under AC voltage, a new decomposition method of resistive and capacitive current was proposed. Nonlinear parallel equivalent circuit which consists of nonlinear resistance and nonlinear capacitance was chosen as the research object. The nonlinear expression of responding current on excitation voltage was deduced and then was transformed to multiple linear expression with coordinate transformation. The equivalent circuit parameters were got and the decomposition of the resistive and capacitive currents was achieved using multiple linear regression. The anti-interference performance and the adaptability to the nonstandard sinusoidal voltage were analyzed qualitatively. The simulation results show that the proposed method can decompose the resistive and capacitive current accurately. The relative errors of circuit parameters are smaller when the signal to noise ratio of noise is 55 dB.The harmonics of excitation voltage have little effect on the solution of circuit parameters. The experimental results indicate that this method can decompose the total leakage current for MOA varistor under AC voltage.

current decomposition；nonlinear equivalent circuit；circuit parameters estimation；multiple linear regression

2013-08-07

國家重點基礎研究發展計劃項目(973計劃)(2014CB239504)

韓永森(1985—)，男，博士研究生，研究方向為非線性電介質介電特性測試；

李忠華(1962—)，男，博士，教授，博士生導師，研究方向為非線性絕緣電介質基礎理論和測試技術；

李忠華

10.15938/j.emc.2016.11.008

TM 85

A

1007-449X(2016)11-0053-08

鄭 歡(1981—)，男，博士，副教授，研究方向電氣絕緣監測與診斷技術；

郭文敏(1977—)，女，博士，副教授，研究方向為非線性絕緣電介質基礎理論。