胡卿瑞
(同濟大學土木工程2016級 200092)
凹凸率與平均值
——琴生不等式的推廣:凹凸率不等式
胡卿瑞
(同濟大學土木工程2016級 200092)
根據johan jensen的琴聲不等式,從均值與函數及其導數之間的聯系中,推導出了與均值有關的不等式及其判定定理,提出一個新的數學概念“凹凸率”,以及與它有關的重要結論“凹凸率定理” 。這個定理揭示了導數、函數與均值的內在聯系,給具有均值關系的問題帶來很大方便。從本文例題可以看出,這一發現推廣了一般均值的定義,這個理論有很大活力,比如:如果一個輪換對稱不等式的二元形式成立,則其n元形式必定成立。這是十分有趣而且很有價值的發現,它將給研究輪換對稱不等式等問題帶來許多便利之處。
均值 凹凸率 函數
1.定義:對定義域內任0x ,可導函數 )(xf 在任意一點處的凹凸率為而為該函數的凹凸率函數。
下面給出證明:
①不妨設x1<x2,令? 1(x)=g(x)?(k1x+b1),?2(x)=f (x)?(k2x+b2),使得
由數學歸納法不難將①②推廣至n元的情況,就把①稱為凹凸率不等式吧。
3.應用
①用于證明凹凸率不等式
②用于證明均值不等式
當 x>0時,它們均單調遞增,且凹凸率函數滿足
由此可判斷
故不等式得證。從上可以看出凹凸率不等式在證明輪換對稱不等式中的應用:首先將不等式兩端化為均值形式,再找到兩端均值對應的函數,再比較原函數凹凸率的大小,最后證明命題。理論上,任何形式的均值均有與其對應的凹凸率函數,但是尋找的方法還需作進一步探究。