利用隱函數求導法解決一類二元最值問題

張 生 蘇 猛

(內蒙古師范大學附屬中學，010020)

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利用隱函數求導法解決一類二元最值問題

張 生 蘇 猛

(內蒙古師范大學附屬中學，010020)

張朱艷老師在《中學數學》雜志(2015年第5期)中給出一類二元最值問題的解法及其本質探究,筆者讀后受益匪淺.但同時也陷入對該類問題的又一思考中:一是解決此類問題的方法并不單一,但為什么學生還會感覺無從下手,難以掌握?二是此類問題一般都有明確的幾何背景,那么,是否可以從其幾何背景出發,找到解決問題的通性通法?帶著上述疑問,筆者開始了新的探究與思考,得到解決此類問題的一種通用方法——隱函數求導法．

一、問題再現

原文中給出了以下兩個問題,并給出了問題1的解法及幾何背景分析．

問題1 (2011年浙江高考題)設x,y為實數,若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是______.

此類問題多出現在高考試卷中壓軸小題的位置,也會出現在競賽考試中,能夠很好地考查學生的數學思維能力,起到選拔人才的作用．

二、對問題本質的再探究

原文對問題1的幾何背景進行了全面分析,發現條件4x2+y2+xy=1對應的二元二次方程所表示的曲線為橢圓.所以，問題的本質即為橢圓4x2+y2+xy=1與動直線t=2x+y有公共點時,求t的最大值，即當直線與橢圓相切時,t取得最大值或最小值. 由此，原文從多解角度對問題進行解法展示,且都有一定的技巧性和運算量，對學生而言,不易系統掌握這些解法．

那么,如何有效運用問題的本質特征解題?關鍵在于解釋直線與曲線相切這一幾何特征．為此,我們給出求解此類問題的一種通用方法——隱函數求導法.既然是曲線與直線的相切問題,自然想到“設切點、求切點、代切點、得最值”這一解題步驟.由于在切點附近曲線可以看作函數圖象,但不是顯函數,所以可考慮采用隱函數求導法來確定切點的取值,進而求得最值；同時還可得到取最值時對應的x與y的值(即切點坐標)．

三、通性通法

基于以上分析,下面給出問題1、問題2的隱函數求導解題方法:

問題1的解法:問題1的本質為橢圓4x2+y2+xy=1與動直線t=2x+y有公共點時,求t的最大值,即當直線與橢圓相切時,t取得最大值或最小值．

評注 隱函數求導法通常是方程兩邊對x求導，使用該方法的關鍵是求導時需視y為x的函數.

由以上解題過程可以得到以下解題的一般步驟:

第一步:分析問題模型,將問題轉化為直線與曲線相切問題;

第二步:設出切點,利用隱函數求導法確定切點;

第三步:代入切點計算最值．

以上步驟是解決該類問題的通性通法,有效回避了解題所需的構造、換元、配湊、放縮等技巧,易于學生系統掌握．

基于上述解題步驟,下面給出問題3的隱函數求導解題法.

問題3 (2010年重慶高考題)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,則x+2y的最小值是( )

四、結論生成

由以上解題活動,可得出如下結論:

結論1 若關于x,y的二元二次方程ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0滿足b2-4ac<0,則可求t=mx+ny的最值,當且僅當直線t=mx+ny與曲線ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0相切時取得最大(小)值．

結論2 已知關于x,y的二元二次方程axy+bx+cy+d=0 (x>0,y>0),則可求t=mx+ny的最大值或最小值,當且僅當直線t=mx+ny與曲線axy+bx+cy+d=0 (x>0,y>0)相切時取得最大值或最小值．