Hom-李超三系的廣義導子

周金森，范廣哲

(1.龍巖學院信息工程學院，福建龍巖364012； 2.同濟大學數學系，上海200092)

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Hom-李超三系的廣義導子

周金森1，范廣哲2

(1.龍巖學院信息工程學院，福建龍巖364012； 2.同濟大學數學系，上海200092)

首先回憶與保積Hom-李超三系相關的概念，并且給出它的廣義導子、擬導子、中心導子、型心和擬型心的定義. 進一步地，研究這些導子之間的性質和聯系.

保積Hom-李超三系； 廣義導子； 擬導子； 型心； 擬型心

1 引 言

眾所周知, 李三系最初源于對稱空間的研究. 李三系作為一種代數系統, 與其它諸多代數體系有著密切的聯系, 它的結構理論和表示理論已被廣泛研究[1]. 保積Hom-李超三系是李三系的重要推廣. 然而到目前為止, 對保積Hom-李三系的研究還是非常少.

導子和廣義導子[2-10]在李理論的發展過程中起著非常重要的作用. 本文主要研究了保積Hom-李超三系的廣義導子, 擬導子, 中心導子, 型心和擬型心的性質, 并且研究了它們之間的聯系.

本文的主要結論歸結為定理1, 2, 3, 4.

2 預備知識

首先來回憶一些與李三系, 保積Hom-李三系, 李超三系以及保積Hom-李超三系相關的概念和定義.

定義1 李三系是一個二元組(T,[·,·,·]), 其中T是域F上的線性空間, 三線性映射[·,·,·]：T×T×T→T,滿足：?x,y,z,u,v∈T, 有

[x,x,z]=0,

[x,y,z]+[y,z,x]+[z,x,y]=0,

[x,y,[z,u,v]]=[[x,y,z],u,v]+[z,[x,y,u],v]+[z,u,[x,y,v]].

定義2 保積Hom-李三系是一個三元組(T,[·,·,·],α), 其中T是域F上的線性空間, 三線性映射[·,·,·]：T×T×T→T, 線性映射α：T→T,滿足?x,y,z,u,v∈T, 有

α([x,y,z])=[α(x),α(y),α(z)],

[x,x,z]=0,

[x,y,z]+[y,z,x]+[z,x,y]=0,

[α(x),α(y),[z,u,v]]=[[x,y,z],α(u),α(v)]+[α(z),[x,y,u],α(v)]+[α(z),α(u),[x,y,v]].

設V,W是兩個Z2-階化線性空間, 線性映射f∶V→W稱為ξ次(ξ∈Z2), 如果對于?x∈Vγ, 都有f(x)∈Vγ+ξ. 所有這些映射的全體記為Hom(V,W)ξ, 它是Hom(V,W)的子空間. 進一步,f是0次, 即f(Vγ)?Wγ, 則稱f是偶的.

[Ti,Tj,Tk]?Ti+j+k, ?i,j,k∈Z2,

[x,y,z]=-(-1)xy[y,x,z],

(-1)xz[x,y,z]+(-1)yx[y,z,x]+(-1)zy[z,x,y]=0,

[x,y,[z,u,v]]=[[x,y,z],u,v]+(-1)(x+y)z[z,[x,y,u],v]+(-1)(x+y)(z+u)[z,u,[x,y,v]].

[Ti,Tj,Tk]?Ti+j+k, i,j,k∈Z2,

α([x,y,z])=[α(x),α(y),α(z)],

[x,y,z]=-(-1)xy[y,x,z],

(-1)xz[x,y,z]+(-1)yx[y,z,x]+(-1)zy[z,x,y]=0,

[α(x),α(y),[z,u,v]]= [[x,y,z],α(u),α(v)]+(-1)(x+y)z[α(z),[x,y,u],α(v)]

+(-1)(x+y)(z+u)[α(z),α(u),[x,y,v]].

注 如果(T,[·,·,·],α)是保積Hom-李超三系, 當取α=idT時, 此時(T,[·,·,·],α)變成了一個李超三系. 由此可知, 保積Hom-李超三系是李超三系的進一步推廣.

下面給出保積Hom-李超三系T的各類導子和型心的概念.

[Dξ,Dη]=DξDη-(-1)ξηDηDξ.

證 直接計算易知.

定義5 設T為保積的Hom-李超三系, D∈Plξ(T)稱為T的ξ次αk-導子, 如果

[D,α]=0,

D([x,y,z])= [D(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ξx[αk(x),D(y),αk(z)]

+(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)].

對于任意x,y,z∈hg(T).

Der(T)=⊕k≥0Derαk(T),

其中Derαk(T)是Z2-階化的, 即

定義6 D∈Plξ(T)稱為T的ξ次αk-廣義導子, 如果存在D′,D″,D?∈Plξ(T)，使得

[D,α]=[D′,α]=[D″,α]=[D?,α]=0,

D?([x,y]) =[D(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ξx[αk(x),D′(y),αk(z)]

+(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D″(z)],

對于任意x,y,z∈hg(T).

定義7 D∈Plξ(T)稱為T的ξ次αk-擬導子, 如果存在D′∈Plξ(T)，使得

[D,α]=[D′,α]=0,

D′([x,y])=[D(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ξx[αk(x),D(y),αk(z)]

+(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)],

對于任意x,y,z∈hg(T).

定義8 設T為保積的Hom-李超三系, 若D∈Plξ(T), 且滿足

[D,α]=0,

D([x,y,z]) =[D(x),αk(y),αk(z)]=(-1)ξx[αk(x),D(y),αk(z)]

=(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)].

對于任意x,y,z∈hg(T), 則稱D為T的ξ次αk-型心.

定義9 設T為保積的Hom-李超三系, 若D∈Plξ(T), 且滿足

[D,α]=0,

[D(x),αk(y),αk(z)]=(-1)ξx[αk(x),D(y),αk(z)]=(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)].

對于任意x,y,z∈hg(T), 則稱D為T的ξγαk-擬型心.

定義10 設T為保積的Hom-李超三系, 若D∈Plξ(T), 且滿足

[D,α]=0,

D([x,y,z])=[D(x),αk(y),αk(z)]=0,

對于任意x,y,z∈hg(T), 則稱D為T的ξ次αk-中心導子.

根據以上定義,可得如下結論

ZDer(T)?Der(T)?QDer(T)?GDer(T)?Pl(T).

下面給出Hom-李超代數的子代數、Hom-子代數、理想及Hom-理想的定義.

定義12 設(L,[·,·],α)是Hom-李超代數，M是L的子空間，如果[M,M]?M，則稱M是L的子代數；如果[L,I]?I，則稱I是L的理想.

定義13 設(L,[·,·],α)是Hom-李超代數，若M是L的子代數，還滿足α(M)?M，則稱M是L的Hom-李子代數; 若I是L的理想, 還滿足α(I)?I, 則稱I是L的Hom-理想.

3 各類導子和型心的性質

定理1 設T為保積的Hom-李超三系, 則

(i)GDer(T), QDer(T)和C(T)是Pl(T)的Hom-李超子代數；

(ii)ZDer(T)是Der(T)的Hom-理想.

=α(D?1([x,y,z])-[αk(x),D′1(y),αk(z)]-[αk(x),αk(y),D″1(z)])

[D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]

=D?1([D2(x),αs(y),αs(z)])-(-1)ξ(η+x)[αk(D2(x)),D′1(αs(y)),αk+s(z)]

-(-1)ξ(η+x+y)[αk(D2(x)),αk+s(y),D″1(αs(z))]

=D?1D?2([x,y,z])-(-1)ηxD?1([αs(x),D′2(y),αs(z)])

-(-1)η(x+y)D?1([αs(x),αs(y),D″2(z)])-(-1)ξ(η+x)[αk(D2(x)),D′1(αs(y)),αk+s(z)]

-(-1)ξ(η+x+y)[αk(D2(x)),αk+s(y),D″1(αs(z))]

=D?1D?2([x,y,z])-(-1)ηx[D1(αs(x)),αk(D′2(y)),αk+s(z)]

-(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),D′1D′2(y),αk+s(z)]-(-1)ηx+ξ(x+y+η)[αk+s(x),αk(D′2(y)),D″1(αs(z))]

-(-1)η(x+y)[D1(αs(x)),αk+s(y),αk(D″2(z))]

-(-1)η(x+y)+ξx[αk+s(x),D′1(αs(y)),αk(D″2(z))]

-(-1)(η+ξ)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D″1D″2(z)]-(-1)ξ(η+x)[αk(D2(x)),D′1(αs(y)),αk+s(z)]

-(-1)ξ(η+x+y)[αk(D2(x)),αk+s(y),D″1(αs(z))].

類似地, 可得

[D2D1(x),αk+s(y),αk+s(z)]

=D?2D?1([x,y,z])-(-1)ξx[D2(αk(x)),αs(D′1(y)),αk+s(z)]

-(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),D′2D′1(y),αk+s(z)]-(-1)η(x+y+ξ)+ξx[αk+s(x),αs(D′1(y)),D″2(αk(z))]

-(-1)ξ(x+y)[D2(αk(x)),αk+s(y),αs(D″1(z))]

-(-1)ηx+ξ(x+y)[αk+s(x),D′2(αk(y)),αs(D″1(z))]

-(-1)(η+ξ)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D″2D″1(z)]-(-1)η(x+ξ)[αs(D1(x)),D′2(αk(y)),αk+s(z)]

-(-1)η(x+y+ξ)[αs(D1(x)),αk+s(y),D″2(αk(z))].

同時利用

Diα=αDi, D′iα=αD′i, D″iα=αD″i, D?iα=αD?i,[Dξ,Dη]=DξDη-(-1)ξηDηDξ,

可得

[[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]

=[D?1,D?2]([x,y,z])-(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),[D′1,D′2](y),αk+s(z)]

-(-1)(η+ξ)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D″1,D″2](z)],

即

[D?1,D?2]([x,y,z])= [[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]+(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),[D′1,D′2](y),αk+s(z)]

+(-1)(η+ξ)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D″1,D″2](z)].

同理, QDer(T)是Pl(T)的Hom-李超子代數.

[[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]

=[D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]-(-1)ξη[D2D1(x),αk+s(y),αk+s(z)]

=D1([D2(x),αs(y),αs(z)])-(-1)ξηD2([D1(x),αk(y),αk(z)])

=D1D2([x,y,z])-(-1)ξηD2D1([x,y,z])=[D1,D2]([x,y,z]).

同理可證

(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)]

=(-1)(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D1,D2](z)]=[D1,D2]([x,y,z]).

[D1,D2]([x,y,z])=D1D2([x,y,z])-(-1)ξηD2D1([x,y,z])

=D1([D2(x),αs(y),αs(z)]+(-1)ηx[αs(x),D2(y),αs(z)]

+(-1)η(x+y)[αs(x),αs(y),D2(z)])-0=0.

[[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]

=[D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]-(-1)ξη[D2D1(x),αk+s(y),αk+s(z)]

=0-(-1)ξηD2([D1(x),αk(y),αk(z)])+(-1)ξη[αs(D1(x)),D2(αk(y)),αk+s(z)]

+(-1)η(x+y)[αs(D1(x)),αk+s(y),D2(αk(z))]=0.

定理2 設(T,[·,·,·],α)保積Hom-李超三系, 則有如下結論

(i)[Der(T),C(T)]?C(T)；

(ii)[QDer(T),QC(T)]?QC(T)；

(iii)C(T)·Der(T)?Der(T)；

(iv)C(T)?QDer(T)；

(v)[QC(T),QC(T)]?QDer(T)；

(vi)QDer(T)+QC(T)?GDer(T).

[D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]

=D1([D2(x),αs(y),αs(z)])-(-1)ξ(η+x)[αk(D2(x)),D1(αs(y)),αk+s(z)]

-(-1)ξ(η+x+y)[αk(D2(x)),αk+s(y),D1(αs(z))]

=D1D2([x,y,z])-(-1)ξη+(ξ+η)x[αk+s(x),D2D1(y),αk+s(z)]

-(-1)ξη+(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D2D1(z)].

另一方面, 可得

[D2D1(x),αk+s(y),αk+s(z)]=D2([D1(x),αk(y),αk(z)])

=D2(D1([x,y,z])-(-1)ξx[αk(x),D1(y),αk(z)]-(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D1(z)])

=D2D1([x,y,z])-(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),D2D1(y),αk+s(z)]

-(-1)(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D2D1(z)].

從而

[[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]=[D1,D2]([x,y,z]).

類似可得

[[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]=(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)]

=(-1)(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D1,D2](z)]，

(ii) 同(i)的證明.

D1D2([x,y,z])

=D1([D2(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ξx[αk(x),D2(y),αk(z)]

+(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D2(z)])

=[D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]+(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),D1D2(y),αk+s(z)]

+(-1)(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D1D2(z)].

[D(x),αk(y),αk(z)]

=(-1)ξx[αk(x),D(y),αk(z)]=(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)]=D([x,y,z]).

則

[D(x),αk(y),αk(z)]+(-1)ξx[αk(x),D(y),αk(z)]+(-1)ξ(x+y)[αk(x),αk(y),D(z)]

=3D([x,y,z]).

[[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]+(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)]

+(-1)(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D1,D2](z)]

=[D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]+(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),D1D2(y),αk+s(z)]

+(-1)(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D1D2(z)]-(-1)ξη[D2D1(x),αk+s(y),αk+s(z)]

-(-1)ξη+(ξ+η)x[αk+s(x),D2D1(y),αk+s(z)]-(-1)ξη+(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D2D1(z)].

由型心的定義, 可得

[D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]=(-1)ξη+(ξ+η)x[αk+s(x),D2D1(y),αk+s(z)]，

[D1D2(x),αk+s(y),αk+s(z)]=(-1)ξη+(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),D2D1(z)]，

因此

[[D1,D2](x),αk+s(y),αk+s(z)]+(-1)(ξ+η)x[αk+s(x),[D1,D2](y),αk+s(z)]

+(-1)ξη+(ξ+η)(x+y)[αk+s(x),αk+s(y),[D1,D2](z)]=0.

(vi) 顯然.

定理3 設(T,[·,·,·],α)保積Hom-李超三系, 則QC(T)+[QC(T),QC(T)]是GDer(T)的子代數.

證 由定理2(v),(vi)可得QC(T)+[QC(T),QC(T)]?GDer(T), 而且

[QC(T)+[QC(T),QC(T)],QC(T)+[QC(T),QC(T)]]

?[QC(T)+QDer(T),QC(T)+[QC(T),QC(T)]]

?[QC(T),QC(T)]+[QC(T),[QC(T),QC(T)]]+[QDer(T),QC(T)]

+[QDer(T),[QC(T),QC(T)]].

由階化Hom-Jacobi恒等式易證

[QDer(T),[QC(T),QC(T)]]?[QC(T),QC(T)],

因此

[QC(T)+[QC(T),QC(T)],QC(T)+[QC(T),QC(T)]]

?QC(T)+[QC(T),QC(T)], 故QC(T)+[QC(T),QC(T)]

是GDer(T)的子代數.

定理4 設(T,[·,·,·],α)保積Hom-李超三系, α是滿射,Z(T)是T的中心,則

[C(T),QC(T)]?Hom(T,Z(T)),

特別地, 若Z(T)=0, 則[C(T),QC(T)]=0.

[[D1,D2](x),y,z]=[[D1,D2](x),αk+s(y′),αk+s(z′)]

=[D1D2(x),αk+s(y′),αk+s(z′)]-(-1)ξη[D2D1(x),αk+s(y′),αk+s(z′)]

=D1([D2(x),αs(y′),αs(z′)])-(-1)ηx[αs(D1(x)),D2(αk(y′)),αk+s(z′)]

=D1([D2(x),αs(y′),αs(z′)])-(-1)ηx[D1(αs(x)),αk(D2(y′)),αk(αs(z′))]

=D1([D2(x),αs(y′),αs(z′)])-(-1)ηxD1([αs(x),D2(y′),αs(z′)])

=D1([D2(x),αs(y′),αs(z′)])-D1([D2(x),αs(y′),αs(z′)])=0.

因此[D1,D2](x)∈Z(T), 而且[D1,D2]∈Hom(T,Z(T)). 特別地, 若Z(T)=0, 則顯然有[C(T),QC(T)]=0.

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Generalized Derivations of Hom-Lie Supertriple Systems

ZHOUJin-sen1，FANGuang-zhe2

(1. School of Information Engineering, Longyan University，Fujian Longyan 364012, China;2. Department of Mathematics, Tongji University, Shanghai 200092,China)

Firstly we recall some concepts associated with multiplicative Hom-Lie supertriple Systems. Moreover, we give the definitions of the generalized derivations, quasiderivations, center derivations, centroids and quasicentroids. Furthermore, we investigate some properties and connection between these derivations.

multiplicative Hom-Lie supertriple systems; generalized derivations; quasiderivations; centroids; quasicentroids

2016-03-23；[修改日期]2016-04-15

國家自然科學基金(11431010)

周金森(1969-),男，碩士，副教授，從事李理論研究.Email:zjs9932@126.com.

范廣哲(1989-),男，碩士，從事李理論研究.Email:yzfanguangzhe@126.com.

O152.5

A

1672-1454(2016)05-0018-07