用Cesàro方法計算等時擺及擺繩等分點的運動軌跡

劉欽記，彭建華

(1.深圳大學光電工程學院，廣東深圳518060； 2.深圳大學物理科學與技術學院，廣東深圳518060)

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用Cesàro方法計算等時擺及擺繩等分點的運動軌跡

劉欽記1，彭建華2

(1.深圳大學光電工程學院，廣東深圳518060； 2.深圳大學物理科學與技術學院，廣東深圳518060)

基于等時性和利用微分幾何中的Cesàro方法，解析地確定等時擺球的運動軌跡以及限制擺繩運動的曲線，同時還獲得擺繩上不同等分點運動曲線的一般解析式. 所得結果將有助于全面認識此等時擺系統的運動學規律.

等時性； 旋輪線； 微分幾何； Cesàro方法

1 引 言

1656年，惠更斯將單擺運動的等時性原理引入時鐘設計發明了著名的擺鐘.實際上，他在研究擺鐘的過程中發現：伽利略發現的單擺等時性現象，即擺的運動周期與擺動的幅度無關，只有在擺角較小的范圍內存在；而當擺角范圍大了，擺動則不嚴格等時.惠更斯進一步研究得到結論：若能使擺的軌跡呈旋輪線，在可擺動的范圍內，無論擺角多大，擺的運動都具有等時性.惠更斯的擺線理論不僅為當時設計和制作擺鐘提供了重要的依據，也為后來在科學和技術發展和應用方面都產生了積極的作用[1，2].在已報道的有關等時性的研究中，許多作者利用不同的方法,主要集中研究了等時條件下擺球的運動學方程和擺繩被約束的曲線方程[3,4].實際上，除了這兩條曲線方程外，擺繩上其他動點的運動學方程：如擺動過程中，受到限制的擺繩中點；或中點至擺球間的系列點，所有這些點的運動學方程的解析表達式為何？目前尚未見報道.若能確定出這些點的運動學方程，對于全面研究此系統的運動規律是有意義的.與其他作者研究方法不同的是，本文從物理上物體做簡諧運動的物理條件出發，利用微分幾何中的Cesàro方法[6]，解析研究在等時條件下，擺繩各等分動點對應的曲線方程，進而也可求出擺球運動曲線和約束擺繩的曲線.

2 等時性運動的重要條件

單擺在大幅度擺動的過程中周期不是常量而只能用橢圓積分表示[5]，但可采用某種補償的方式，以實現等時的目標.具體的設計方案如圖1所示，在擺繩的兩側對稱加裝具有某類曲線狀的限制片，限制片的作用是：擺球在擺動過程中，擺繩貼到限制片上相當于繩的“懸掛點”遷移，原長為l0的繩擺動部分的長度逐漸變短，直至達最短；而繩脫離限制片后，擺動部分的繩又逐漸變長，在平衡點處恢復至原長l0.加裝的簡單限制器唯一限制的參量是擺繩的長度.一個自然的問題是，限制片應采用何種形狀才能獲得等時的效果.

我們將圖1簡化為圖2，曲線C1為限制片的形狀，曲線C為擺球的運動軌跡.通過可擺動部分的繩長即C上各點的曲率半徑，一一建立曲線C1和C上點與點的對應關聯.在自然坐標系下，根據牛頓第二定律建立擺球沿軌線切向的動力學方程，具體為

(1)

圖1 圖2

s=Ksinφ,

(2)

其中K為待定常數，(1)可轉化為

(3)

(4)

當φ=0時, 對應擺線處于豎直位置，恢復為原長的情況, 有

ρ(0)=K=l0，

也就是

運動為等時.不難看出(2)或(4)式是等時性成立的重要條件.進一步可利用常規方法導出擺球運動方程和限制器的曲線方程.在切點附近

(5)

聯立式(4)和式(5)，并積分得

(6)

若取r=K/4和Φ=2φ, 式(6)正是旋輪線的參數方程.注意到本模型中伴隨曲線C1上的點(x1,y1)與原曲線C上的對應點(x,y)有如下關系

(7)

聯立式(6)和式(7),可得C1的參數方程

(8)

這就是在等時條件下對限制片形狀的要求.式(6)和式(8)的結果是我們熟知的旋輪線.但是僅利用上述常規方法是難以求出擺繩不同等分點的運動軌跡的，而利用微分幾何中的Cesàro方法則是一個很好的方法，它僅需利用等時性的重要條件——(4)式，即可求出擺球運動的參數方程、約束擺繩的參數方程，擺繩不同等分點的運動軌跡.

2 用Cesàro方法計算擺繩不同等分點運動軌跡

圖3 等分曲率半徑的圖示

(9)

其中

(10)

曲率半徑為

(11)

設伴隨曲線相對于絕對坐標系的切角為β，其變化率為[6]

(12)

由此得β與φ的關系為

(13)

(14)

和

(15)

故

(16)

和

(17)

在與C曲線對應的伴隨曲線的切點附近，有

(18)

聯立式(11)，(13)，(16)，(17), 并分別積分得伴隨曲線的參數方程為

(19)

(20)

整理式(19)和(20)，得

(21)

當n=1時，由(21)得

(22)

這顯然是限制器的曲線形狀，與式(8)是吻合的.

當n→∞時，由(21)得

圖4 對應曲線C的伴隨曲線族部分成員

(23)

這是擺球的運動軌線，與式(6)也是吻合的.

另外在n∈[1,∞)內取不同的數時可以得到不同等分點的軌跡，如取n=2，可由式(21)得

(24)

擺繩l(t)中點的運動軌線；

取n=3，由(21)得

(25)

利用Matlab軟件繪制n=1,2,3,6,10,100情況下的幾條伴隨曲線[7].如圖4所示.

上述所討論的結果也可做進一步推廣,如可應用到小滑塊沿對稱的凹型滑道往復運動的問題中，欲使滑塊的運動具有等時性，類似上述操作過程,可分別確定小滑塊運動軌道等規律，本文不再做討論.

3 結 論

利用等時性條件(2)或(4)，我們通過Cesàro方法不僅給出等時擺軌線和限制器曲線形狀的又一種解法，同時還解析求出擺繩等分點的運動軌跡.我們的這一工作是將微分幾何中Cesàro方法應用于物理學中的范例.所獲得的結果也豐富了關于等時問題的研究.

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Calculate the Trajectory of Moving Points in the Isochronal Pendulum Using Cesàro’s Method

LIUQin-ji1,PENGJian-hua2

(1.College of Optoelectronic Engineering , Shenzhen University , Shenzhen Guangdong 518060, China;2. College of Physics and Technology , Shenzhen University , Shenzhen Guangdong 518060, China)

Using Cesàro’s method in differential geometry, the trajectory of an isochronous pendulum ball and the shape of the limiter are determined analytically. General analytical expressions of the trajectories of the swinging rope at equal division points are further derived.

isochronous ; cycloid ; differential geometry ; Cesàro’s method

2016-03-10； [修改日期]2016-04-04

國家自然科學基金(11205104；70571053)

劉欽記(1994-),男, 2013級本科生,光電信息科學與工程專業.Email:2013800345@email.szu.edu.cn

O29

A

1672-1454(2016)05-0025-05