指數分布抽樣基本定理及在指數分布參數統計推斷中的應用

李國安

(寧波大學理學院，浙江寧波315211)

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指數分布抽樣基本定理及在指數分布參數統計推斷中的應用

李國安

(寧波大學理學院，浙江寧波315211)

發現指數分布抽樣基本定理，應用到指數分布參數的統計推斷中，得到了指數分布參數的一致最小方差無偏估計；并且得到了單總體指數分布參數的置信區間及聯合置信區間，以及雙總體指數分布參數比值及差的置信區間.

指數分布抽樣基本定理； 統計推斷； 一致最小方差無偏估計； 置信區間； 聯合置信區間

1 引 言

正態分布抽樣基本定理在一般的數理統計教材[1，2]中都會提到，但在這二本教材中，并沒有出現指數分布抽樣基本定理，那么只有二種情況，一種是指數分布抽樣基本定理的相關結果已有，參見文獻[3]中相關內容，但是沒有以指數分布抽樣基本定理的形式寫出來；另一種，是用到了指數分布抽樣基本定理的相關結果，但沒有足夠重視到這是指數分布抽樣基本定理[3]，作者認為：首先指數分布抽樣基本定理一直未出，其可能的原因在于，通常講的指數分布，指稱單參數指數分布，本文作者在研究二元帕累托分布參數的一致最小方差無偏估計問題中，發現了所謂的指數分布抽樣基本定理，它是針對二參數的指數分布；其次，平行于正態分布是概率統計分布中最重要的分布，指數分布是精算生存分布中最重要的分布；最后，若是數理統計教材[1，2]中關于順序統計量的分布，一直未把指數分布抽樣基本定理當作例子，會讓讀者認為不存在指數分布抽樣基本定理，為此，作者特作此文，期望能把指數分布抽樣基本定理的相關內容寫進教材.

2 指數分布抽樣基本定理

指數分布總體的順序統計量(X(1),…,X(n))的聯合分布如下

定義1 設X～E(λ)，X1,…,Xn是來自X～E(λ)的容量為n的樣本，(X(1),…,X(n))有如下的密度函數

則稱(X(1),…,X(n))服從多元順序統計量型指數分布，記作(X(1),…,X(n))～NVED(λ).

(i)2nλX(1)～χ2(2);

證 由

P(X(1)>x(1))=P(X1>x(1),…,Xn>x(1))=exp[-nλx(1)],

所以g(x(1))=nλe-nλx(1),x(1)>0，即2nλX(1)～χ2(2)；

記U(i-1)=X(i)-X(1),i=2,…,n.V=X(1)，u(i-1)=x(i)-x(1),v=x(1)，得x(i)=u(i-1)+v,i=2,…,n.x(1)=v，則(U(1),…,U(n-1),V)的聯合分布密度為

所以(U(1),U(2),…,U(n-1))是來自總體U～E(λ)的容量為n-1的樣本(U1,U2,…,Un-1)的順序統計量，(U1,U2…,Un-1)與X(1)相互獨立.所以

3 指數分布參數的一致最小方差無偏估計

定義2 設X～E(λ,μ)，是指X有如下的密度函數

定理2 Xj,j=1,…,n是來自總體X～E(λ,μ)的容量為n的一個樣本，則參數λ，μ的最大似然估計分別為

證 由

μ的最大似然估計為

令

得λ的最大似然估計為

定理3 Xj,j=1,…,n，是來自總體X～E(λ,μ)的容量為n的一個樣本，則參數λ，μ的一致最小方差無偏估計分別為

證 由指數分布抽樣基本定理得

所以

4 指數分布參數的置信區間

定理4 Xj,j=1,…,n是來自總體X～E(λ,μ)的容量為n的一個樣本，則參數λ，μ的置信度為(1-α)%的置信區間分別為

λ,μ的置信度為(1-α)%的聯合置信區間為

證 由指數分布抽樣基本定理

得

λ的置信度為(1-α)%的置信區間為

由

=1-α.

μ的置信度為(1-α)%的置信區間為

由

λ,μ的置信度為(1-α)%的聯合置信區間為

當λ1=λ2=λ，n=m時，μ1-μ2的置信度為(1-α)%的置信區間為

證 由指數分布抽樣基本定理

得

=1-α,

當λ1=λ2=λ，n=m時，由

都相互獨立，則

μ1-μ2的置信度為(1-α)%的置信區間為

與λ,μ無關，得充分性；

對μ求導得

附錄2 模擬分析：取λ=2，μ=3，α=0.05，得表1；取λ1=3，λ2=2，μ1=2，

μ2=5，α=0.05，得表2；取λ1=1，λ2=1，μ1=5，μ2=2，α=0.05，得表3.

表1 定理2、定理3、定理4的模擬結果

表2 定理5的模擬結果(n≠m)

表3 定理5的模擬結果(n=m)

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Sampling Fundamental Theorem for Exponential Distribution with Application to Parametric Inference of Exponential Distribution

LIGuo-an

(Department of Mathematics, Ningbo University, Ningbo, Zhejiang 315211, China)

This article discovers the sampling fundamental theorem for exponential distribution, and applies it into parametric inference of the two-parameter exponential distribution, uniformly minimum-variance unbiased estimator (UMVUE) of parameters of the exponential distribution are derived;and confidence intervals and joint confidence region of parameters for one population are obtained; also confidence intervals of ratio and minus of parameters for two population are obtained.

sampling fundamental theorem for exponential distribution； parametric inference； uniformly minimum variance unbiased estimator； confidence intervals； joint confidence region

2016-04-08； [修改日期]2016-05-31

寧波大學學科項目(XKL14D2037)

李國安(1964-)，男，碩士，副教授，從事概率統計與土地估價研究.Email：liguoan@nbu.edu.cn

O212.1

A

1672-1454(2016)05-0030-07