力學模型
——隔振和減振材料設計指南

李漢堂 編譯

(曙光橡膠工業研究設計院，廣西 桂林 541004)

0 前 言

關于隔振和減振問題，過去和現在的日本橡膠協會雜志上都刊登了大量的研究報告。特別是關于隔振問題，在有關專輯或技術論文中對隔振橡膠的動態性能、形狀設計、材料設計、設計方法和配方作了多方面的報道。

從上世紀開始，汽車生產廠家對消除車內噪聲尋求解決方法，家用電器制造商對降低洗衣機的噪聲也在尋求解決方法，他們和日本機械協會積極開展有關隔振和減振的研究。在建筑行業居住環境成為評價的對象，把解決由高層建筑橫向風產生的振動、交通噪聲、生活噪聲和固體傳播噪聲等問題作為研究課題，開展了有關振動和噪聲的研究。

對于隔振與減振之間差異，有一些學者認為只要提高材料的tan δ就可以了。如果參考有關文獻，雖然可以獲取許多有關隔振和減振方面的知識，但有關直接用力學模型弄清楚隔振與減振的差異，通過力學模型來指導材料設計的文獻卻很少很少。

為了減小隔振支座的傳遞率，文中通過力學模型闡述了對隔振橡膠提出的特性要求和實際使用的隔振橡膠的動態性能。一方面，關于減振問題，文中用單純的力學模型展示了衰減振動的機理，弄清了僅提高隔振材料的損耗系數，也不能使經過減振處理后，損耗系數得以提高的原因。此外，還論證了用橡膠對鋼板進行減振處理后的損耗系數。

1 隔振支座模型

隔振支座的功能有兩種：（a）不讓發動機等之類的機械設備產生的激振力傳遞到設備的基礎上；（b）不讓設備基礎的變位振動傳遞到精密儀器上。如果設機器的質量為m；隔振橡膠的復數動態剛度為K*，則這兩者的力學模型見圖1（a）和（b）所示，據此，可以定義其力的傳遞率和移位的傳遞率。如表1所示，兩種模型表示穩定振動的方程式、固定解、復數振幅以及傳遞率的定義各不相同，但各模型的傳遞率卻可用同一方程式求得。通常，可用這種傳遞率來評價隔振效果。

圖1 隔振支座模型

表1 傳遞率

K*為復數剛度（K*=βE*；E*=E'+iE''復數彈性模量）；E'為儲能彈性模量；E''為損耗彈性模量；β為與隔振橡膠的形狀、尺寸和變形形式有關的系數（如果隔振橡膠的變形量小，則可以將上述系數當作常數處理）。ω為強制振動時的頻率；ω0為隔振支座的固有頻率。另外，復數剛度的實線和虛線分別稱為儲能剛度和損耗剛度，分別用符號K'和K''表示，可寫成K'=βE'和K''=βE''。另外，l≡tanδ=E''/E′=K''/K'。

實際上，相對于頻率來說，隔振橡膠的動態性能并不是固定的，它與頻率有相關性，所以要定性的話，可寫成：

求取傳遞率的公式可以寫成下式：

上式的E0'為ω0中的動態彈性模量，ω0則為隔振支座的固有頻率，可用下式表示：

通常，在橡膠狀區域，E'(ω)為頻率的增函數，所以式（2）中的E0'/E'(ω)項成了阻礙傳遞率下降（伴隨著頻率增大）的原因。

隔振支座在設備常用頻率范圍內可將傳遞率控制在1以下，這就是隔振的目的所在。眾所周知，如果E'(ω)=E0'，則隔振的頻率范圍為隔振支座固有頻率的倍以上的頻率范圍。通常，固有頻率ω0可設定為能絕緣振動頻率范圍的下限ωL的1/2.5～1/3。因此，可以設定隔振支座的固有頻率，如果能給出隔振橡膠的動態性能，那么可以用式（2）評價隔振效果。

1.1 橡膠的黏彈性模型和動態模量

橡膠的黏性和彈性可減小振動的傳遞率，所以可利用之。下文就橡膠（隔振橡膠）的力學模型及其彈性模量加以闡述。

比較簡單的2元、3元黏彈性體力學模型示于圖2。彈簧與減振器并聯的模型2（a）被稱為伏杰特（Voigt）模型。在討論隔振體系的傳遞率時，這種模型是最基本的一種，是產生彈性應力Eeε（彈簧與應變ε成正比）和粘性應力ηε3（減振器與應變速率成正比）的模型?？捎眠@些應力的總和表示總應力。因此，該模型的運動方程式可寫成下式：

圖2 黏彈性體的力學模型

如果如式（6）那樣，用復數變量表示諧波應變，則相對應的應力σ*可由式（5）給出下式：

通常，復數彈性模量E*可用式（8）定義，它是頻率的函數。如果使用的是伏杰特（Voigt）模型，則復數彈性模量E*可用式（9）和式（10）求得。

式中：τ=η/Ee被稱為延遲時間，是對步進式應力響應的應變延遲的量度；儲能彈性模量E'=Ee,為恒定值；損耗系數l≡tanδ=τω，與頻率成比例地增大。

圖2（b）為可定性表示未交聯或非交聯型黏彈性體的黏彈特性的力學模型，稱為麥克斯韋爾（Maxwell）模型。由于該模型是以串聯的形式連接彈簧和減振器的，所以模型的應力σ等于由彈簧的應變εe產生的應力Euεe，和由減振器的應變速率ε3u產生的應力ηε3u，可用彈簧的應變εe和減振器的應變εu總和來表示模型的應變ε。用應變速率項列出運動方程式：

式中：與伏杰特（Voigt）模型一樣，如果由式（6）求出諧波應變，則應力可假設為σ*(t)=，運動方程式（11）可改寫成下式（12）：

因此，根據式（8），復數彈性模量可用下式表示：

式中：τuη/Eu為相對于步進應變的應力松弛的量度，所以可稱為松弛時間。在麥克斯韋爾（Maxwell）模型中，頻率為0時的彈性模量也為0，所以它不能承載靜負荷。因此，將它作為隔振支座的力學模型是不合適的。如果將幾個麥克斯韋爾（Maxwell）模型并聯起來，則可表現出用作阻尼器工作流體的硅油等黏性液體的動態性能。然而，麥克斯韋爾（Maxwell）模型的損耗系數為l(ω)=l/(τuω)，所以它相對于頻率呈雙曲線狀減小，并逐漸接近于0。

圖2（c）與（a）一樣，是可定性表示交聯黏彈性體特性的三元模型。該力學模型是將麥克斯韋爾（Maxwell）模型與彈性元件彈簧并聯的模型，所以其復數彈性模量可用下式計算：

根據式（14），儲能彈性模量E'(ω)、損耗彈性模量E''(ω)和損耗系數l(ω)可分別用下式計算：

相對于各模型的無因次頻率ωτ或ωτu的無因次動態彈性模量E'(ω)/Ee、E''(ω)/Ee和損耗系數l(ω)=tanδ(ω)的頻率特性示于圖3。雖然伏杰特（Voigt）模型的儲能彈性模量不會隨著頻率的增加而增大，但損耗彈性模量卻呈線性增加。雖然三元模型可定性地表示硫化橡膠在3個區域（橡膠態、玻璃化轉移狀態和玻璃化態）的行為，但用作隔振橡膠的是橡膠態區域。在橡膠態下的儲能彈性模量不會隨著頻率的增加而增大，而損耗彈性模量卻呈線性增大。實際上，三元模型的動態性能的第一次近似為：

圖3 力學模型的動態特性

所以，它與伏杰特（Voigt）模型的行為是一致的。因而，作為表征橡膠態動態彈性模量頻率特性的力學模型，看來在表征伏杰特（Voigt）模型的動態彈性模量方面是非常完美的。然而，實際情況是在橡膠態下儲能彈性模量會隨著頻率的增加而表現出增大的趨勢。因此，如果用于模擬隔振支座的傳遞率，則需將伏杰特（Voigt）模型的動態性能作如下修正：

要定性分析對隔振材料的要求，采用上述公式已足夠了。為了表征實際聚合物從橡膠態過渡到玻璃化態的寬域頻率范圍內的特性，可采用下式分數等級的微分模型：

式中：Dα1，（i=1,2）用αi級微分計算。

分數等級微分模型的動態彈性模量為：

實際上，對于丙烯酸酯橡膠（ACM）、二烯類橡膠（IR、CR、BR）和β硅凝膠來說，如果適當選擇參數，則可以在寬域的頻率范圍內表征它們的動態模量。作為其中的一例，圖4中示出了ACM（Nipool AR31）的動態特性。圖4的橫軸表示換算頻率fàT、aT（移動因子）；圖4（a）、（b）的縱軸表示換算動態剪切模量G'/βT、G''/βT，βT為通過測溫獲得的熵彈性修正系數。

圖4 ACM的動態特性和采用分數級微分模型的表征

2 隔振支座的傳遞率

下文將研究動態性能的頻率特性對傳遞率的影響。

2.1 損耗系數特性的影響

在儲能彈性模量與頻率無關的情況下，由于式（21）中的α為0，所以傳遞率方程式（2）中的E'0/E'(ω)=1，式（23）中的損耗系數l(ω)變更為：

上式中，ω/ω0為無因次頻率；τω0為衰減系數。圖5（a）中用實線表示所求得的傳遞率。隔振支座固有頻率在以上的振動頻率范圍內，可以實現隔振，在其以下則為共振領域。當機器起動和停止工作時，在必須通過的共振領域，雖然可以控制衰減系數越大，傳遞率越低這一現象，但在隔振領域恰恰相反，衰減系數越小，隔振效果越大，而且在損耗系數與頻率的相關性小的隔振區域傳遞率受到了小小的抑制。通常，將抑制共振稱為減振，而對于隔振來說，減振和隔振這兩方面缺一不可，減振和隔振所需的衰減特性卻與之相反。因此，可以認為，把損耗系數l(ω)作為頻率（線性）的增大函數，將會增大隔振領域的傳遞率。實際上，損耗系數與頻率無關。例如l0=0.5，則如圖5（a）的虛線所示，共振領域的傳遞率，跟與頻率有關的衰減系數τω0=0.5時的傳遞率大體上相同，只不過將隔振領域的傳遞率被抑制得更小。

防振是兼具減振和隔振的體系，所以作為防振材料，最理想的是損耗系數要大，與頻率的相關性要極小。

圖5 隔振橡膠支座的傳遞率

2.2 損耗系數和儲能彈性模量的影響

在研究損耗系數特性l(ω)和儲能彈性模量特性E'(ω)對傳遞率的影響時，要考慮它們的組合因素：（1）E'(ω)=Ee，l(ω)=l0；（2）E'(ω)=Ee，l(ω)=τω；（3）E'(ω)=Ee+αω，l(ω)=l0；（4）E'(ω)=Ee+αω，l(ω)=τω。關于（1）和（2），由于前面的章節已有討論，所以可以此為基準，對（3）、（4）的情況進行對比后發現，儲能彈性模量對頻率特性會有所影響。如果選擇了各個參數，使固有頻率的傳遞率相同，則如圖5（b）所示那樣，隔振領域的下限頻率為隔振支座固有頻率的倍以上時，傳遞率增大，隔振效果下降。這是傳遞率方程式（2）中的E'/E'(ω)項減小，導致隔振效果下降的原因之一。

為了盡量減小作為目標值的頻率ωα≤ω區域里的傳遞率，選擇前項倒數E'(ωα)/E'小的聚合物和進行適當的配方設計是很重要的。如果考慮把共振頻率以下的情況也包括在內，則減小與靜態剪切彈性模量E's的比例，即動態放大率E'(ωα)/E's，也很重要。

選擇橡膠或進行配方設計的指導性意見之一是，加大在隔振支座固有頻率ω0條件下的損耗系數l0=l(ω0)，減小動態放大率E'(ωα)/E'。

加之，儲能彈性模量和由負載產生的靜撓度χst與固有頻率有關聯。如果忽略對頻率的依賴關系，那么，固有頻率確定后，靜撓度也必然固定下來。

式中：g為重力加速度。還有，假設固有頻率為15 Hz, 則靜撓度就固定在約1.1 mm左右。

以隔振支座作為實例，如果選用固有頻率為10 Hz的ACM，則其傳遞率如圖6的實線所示。與虛線所示的理想狀況（損耗系數和儲能彈性模量不變）相比，顯然ACM動態性能與頻率的相關性提高了傳遞率。

圖6 ACM隔振支座的傳遞率

3 減 振

橫梁和平板等部分結構件（以下稱為構件）由于外力作用，產生了表面外（彎曲）的共振往往會成為噪聲源。為抑制這種共振而采用的黏彈性材料通常稱為減振材料。減振材料隨著被彎曲而產生的基本變形，主要包括了伴隨著伸縮產生的彎曲變形和剪切變形。圖7為經減振處理后的構件承受彎曲變形時的顯微斷面圖。圖中的陰影部分為減振材料，其他為構件的顯微部分。圖7（a）為減振材料的自由表面受到拉伸，粘合面承受壓縮后產生的伸縮彎曲變形情況；圖7（b）所示為由于含有約束層，所以其表面的自由變形受到約束，主要產生剪切變形時的情況。前者為非約束式減振處理；后者則稱為約束式減振處理。對衰減的評價結果，因減振處理方法的不同而有很大的差異。這里，以較簡單的非約束式減振處理為例，說明減振材料的特性如何才能在被處理構件的特性上反映出來。

圖7 經減振處理的橫梁的彎曲變形

3.1 非約束式減振的機理

減振處理是將減振材料平行地粘貼在構件上，所以可直接計算出剛度。從整體上看減振處理，則如圖8所示，剛度為k1的構件與復數動態剛度為k*2=k2(1+iη2)的減振材料并聯結合，所以經減振處理的構件的動態剛度k*由下式給出：

由于儲能剛度為k1+k2, 損耗剛度為k2η2，所以損耗系數η(=l)由下式計算：

經減振處理的構件的損耗系數η跟減振材料的損耗系數η2和剛性比（k1/k2）有關聯。為了獲得大的η，要求減振材料要具有高的彈性模量和大損耗系數，因此，在設計時要使減振構件的共振頻率位于減振材料的轉移區域（損耗系數最大）內。

圖8 經減振處理的橫梁的彎曲剛度等效模型

如果設作用于橫梁或平板構件上的外力為F0eiωt，等效質量為m, 變位為x, 則其運動與表1的力學模型（a）相對應, 穩態振動的振幅X為：

考慮到減振材料復數動態剛度與頻率的相關性K*(ω)=k1+k2(ω)[1+iη2(ω)]，采用k'(ω)=k1+k2(ω)，則振幅方程式（32）可改寫成下式：

式中：

式中的ω0(ω)、xst(ω)和η(ω)分別由如下方程式給出：

減振支座的使用溫度為減振材料的玻璃化轉變溫度，希望把損耗系數設計在η(ω)最大時的頻率ωg（接近ω0）附近。為了使其效果在ωg的附近不降低，有必要增大減振材料的儲能剛度k2(ωg)，減小對頻率的依賴性。前者可以增大減振材料的形狀系數，這在理論上是可能的，但并不希望成倍增加減振支座的厚度，因此，如果減振材料的儲能彈性模量不大，則不適合用作減振材料。

3.2 Oberst橫梁

經過減振處理的非約束式橫梁（復合橫梁）稱為Oberst橫梁，是減振處理的原型。承受彎曲變形的Oberst橫梁如圖9（a）所示。圖中的影線部分為復數彈性模量E*、厚度為t的減振材料；影線部分以下為彈性模量E、厚度為h減振處理前的橫梁（減振對象）。如果橫梁產生變形，則上表面被伸長，下表面被壓縮，在其中間形成非伸縮面，在某處還有中性面，圖9中用點劃線表示。在具有矩形橫斷面的單件橫梁中，其中性面明顯處于h/2處，而在復合橫梁中，其中性面處于橫斷面的總應力為0的位置。假設中性面處于與橫梁上表面距離為mh的位置，如果像圖9（a）那樣繪制座標，則應力可用下式表示：

如果對其進行積分，則可用下式求取m：

式中：n=t/h；e=ξ(E*/E)；E*=Eu(1+iηu) 。

圖9 Oberst橫梁的彎曲變形

此處用彎曲剛度取代彈簧常數。復合橫梁的彎曲剛度（EI）*用橫梁的彎曲剛度與減振材料的彎曲剛度的總和表示。

如果通過積分，將式（37）代入m, 設I=bh3/12, 則：

式（38）的實部為單件的彎曲剛度與減振材料的彎曲剛度的總和，所以與式（30）相對應。另外，損耗系數是用式（38）的實部除以虛部所得的值，所以，它與式（31）相對應，最終得到下式：

減振材料的厚度比與彈性模量比的關系相當復雜。與Oberst橫梁厚度比（n=t/h）相對應的損耗系數比（η/ηu）和彎曲剛度比分別示于圖10。如果僅僅加大減振材料的損耗系數，則不能使非約束式減振型材料（Oberst橫梁）也具有大的損耗系數，必須同時加大與減振對象的楊氏模量相對應的儲能彈性模量比Eu/E。如果加大Eu/E，則既可提高彎曲剛度，又可提高固有頻率。

如果采用ACM作為減振材料，則在約1 kHz附近損耗系數的最大值約為2.2；假如減振對象的材質是鋼，由于彈性模量比e≈3×3.8 MPa/200 GPa約為5.7×10-4，假如ACM的厚度不到鋼板厚度的10倍以上，則根據圖10可以容易地推斷出不能獲得減振效果。ACM的tanδ雖然大，但由于儲能彈性模量低，所以如果是實用的厚度n≤1，則仍不能期望獲得減振效果。

圖10 與Oberst橫梁的損耗系數比和彎曲剛度比相對應的厚度的變化

4 材料設計指南

安裝隔振支座的主要目的是絕緣振動，因此，如果存在著可以盡可能支撐振動體的靜態模量，則損耗系數要盡量減小。由于安裝了隔振支座而必然要產生固有頻率，而且又必須通過它。所以在固有頻率附近的損耗系數盡可能大。這樣一來，似乎對隔振材料損耗系數的要求是相反的。實際上，從許多橡膠的黏彈特性來看，損耗系數與頻率的關系為增函數關系，所以，這一要求是相互矛盾的。為此，在隔振橡膠的設計中，要盡可能地減小動態性能與頻率的相關性。從力學模型的角度看隔振材料的設計目標，應該是降低儲能彈性模量和損耗系數與頻率的相關性。如果能把頻率減小函數的特性賦予損耗系數，則沒有必要采用具有復雜結構的液體密封裝置。另外，使用隔振材料的目的是抑制減振對象的共振，因此要求隔振材料要有大損耗系數，同時必須具有高的儲能彈性模量。僅損耗系數大的高分子材料不能說是良好的隔振材料。對于隔振材料來說，必須要具有接近隔振支座彈性模量值的儲能彈性模量。

5 結 語

談到“隔振和減振”問題，在如何對待它時有時會帶來誤解。文中用力學模型闡明了隔振與減振在本質上的不同，從力學的角度介紹了對隔振材料和減振材料所要求的頻率特性。雖然文中還沒有觸及到隔振材料和減振材料的溫度特性對隔振和減振特性的影響，但如果頻率溫度換算法則是成立的，則很容易就能推測出它的影響。

[1]佐藤美洋. 力學モデルを用いた防振·制振材料設計の指針[J]. 日本ゴム協會誌, 2016（08）: 241-248.