跳出題海 整合變式題目—初三數學備考的策略研究

廣東省佛山市南海區和順第一初級中學(528241) 陳綺媚

跳出題海 整合變式題目—初三數學備考的策略研究

廣東省佛山市南海區和順第一初級中學(528241) 陳綺媚

一、問題的提出

每每經歷完考試,老師們總會這樣說,這道題目已評講過,學生怎么還是做不出來?如此一來老師的責任已盡到,是學生沒學好.我們深思這樣的一個問題,為什么學生通過如此大量的訓練,做過如此多相似甚至相同的題目,應試時仍然無所適從呢?

現在的初三數學教學中,“題海戰術”仍然盛行,尤其是在第二輪復習中,教師要求學生做大量與中考題型一致的練習題,希望提高學生做題的自動化程度,從而提高解題的速度與技巧.題海戰術作為應試教育的產物備受批評,但是一線的老師在實際中感覺題海戰術是容易操作,并能見成效的.

筆者從題海中進行整合與變式,力求有所突破,嘗試把題目進行“整合與變式”的學習法是否可以成為初三數學復習教學的可操作性的方法之一.

二、實驗設計

(一)研究假設

本文作出以下假設: 題海戰術與“題目的整合與變式”在提高初三學生的解題能力是沒有區別的.

(二)概念的操作化定義和實驗材料

1.題海戰術

在本研究中,題海戰術指學生通過做大量的與中考相同的練習題來訓練數學的解題方法,練習內容為6冊的數學書里面的經典題,難題以及中考模擬套題.學生利用一到兩節課時間完成題目,老師利用相應的時間評講,針對學生出錯較多的題目講解如何解題.

2.題目的整合與變式

對于知識點相同或者相似的題目,可以進行整合,對于元素較多的好題、難題,具有一定的延伸性的,可以進行變式訓練.本研究主要集中在教材的內容進行討論.

1)立足基礎知識,回歸課本,整合題目

六冊課本中有大量的基礎題,但是那么多的題目如何回歸課本呢?筆者認為可以進行題目的整合.由于教材是按知識發展系統編排,根據學生的認知水平螺旋式上升,某個知識系統跨越了幾個年級的學習.在學習知識的過程中,由于學生認識水平所限,無法把類似或者相同的內容進行橫向整理,但在初三的復習階段,學生對整個初中的內容已經有初步的整體把握能力.這時,要揭示相同或相似知識之間的聯系需要進行整合,而不是流于形式的把書本的內容從頭到尾在回顧一遍.所以為了使學生形成完善的認知結構,需要老師與學生一起把同一個知識體系的分散問題集中起來,同時加以歸納并系統化.

i.同一知識點的題目整合

這里以“兩點間線段最短”這個知識點為例進行整合.

①(七年級)把彎曲的河道改成直的原理是___.

②(七年級上冊113頁4題)如圖(1),在一個四邊形各邊上任意取一點,并順次連接它們,想一想,你得到的圖形周長與原四邊形周長哪一個大?為什么?如果是一個五邊形呢?六邊形呢?

圖1

圖2

③(八年級下)證明: 三角形任意兩邊之和大于打第三邊.

④(七年級上128頁復習題10)如圖2,在任意四邊形ABCD內找一點O,使它到四邊形四個頂點的距離之和最小,并說說你的理由.

設計意圖: 題組訓練,由淺入深,圍繞著“兩點間線段最短”的知識點層層推進.第①題根據題意直接寫出公理,為后面的練習提供理論支撐,調動學生的知識結構.第②題直接運用公理.如果沒有第①題的鋪墊,學生雖然覺得本題簡單,但是不知如何入手去回答題中的“為什么”.至于第③題是命題的證明,有一定的難度,需要嚴格的證明,只要用上公理,題目也迎刃而解.第④題是一道實際應用的提升題.

縱觀這4道題目,第③④題學生不易解出題目,由于所需要的步驟不多,只需捉住最關鍵的公理即可.如果我們把這兩道題目分散在備考的練習題中,學生不容易入手,捉不住解題關鍵,最后兩題也無從下手.

這4道題目的整合,即回歸了課本,逐層加深對“兩點間線段最短”這個知識點的理解,明確這個考點的考查內容、形式,構建一個知識點的小體系,內化成自己的體系.

ii.同一解題性質、方法的題目整合

有些題目雖然不相同,但是在解題的方法上卻異曲同工之妙.如運用對角線進行判定(特殊的)平行四邊形這一類的題目,參數類型,數學思想方法等等.教師可以把解題方法相似的題目進行整合,更便于學生進行對照,從而掌握這一解題方法.這里以參數類型的整合為例

①已知關于x的方程3x+a=x-5的根是非負數,求實數a的取值范圍.

②已知關于x的不等式2x-a≤1的解集為x≤-1,求a的值

上述兩題的解題過程不盡相同,但是卻用到同一種的方法,用參數把解(解集)表示出來.把這兩道題目整合,在比較中掌握參數解題的方法,在對比中領悟兩道題目的不同之處.

運用整合題目的做法,讓學生通過題組進行反思,總結合適方法,從而通過題組訓練可有效減少同類型題目的訓練次數而達到“題海戰術”的相同效果.

2)創新拔高,變式訓練

中考的選拔性的考試,除了基礎題以外,存在部分中難度題目,有梯度性地拉開考生間的距離,為了使學生應對這一部分題目,筆者認為對于課本中所遇到的難題,好題可以進行變式訓練.

所謂數學變式訓練,即是指在教學過程中對概念、性質、定理、公式,以及問題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化,使其條件或結論的形式或內容發生變化,而本質特征卻不變.也就是所謂“萬變不離其宗”.數學教學改革專家顧泠沅創立的青浦四條經驗中,其中一條“組織好課堂層次序列,進行變式教學”,強調變式訓練在課堂教學中的地位.運用變式訓練可以提高數學題目的有效利用率,提高教學實效,能更好地綜合運用知識,有效培養學生綜合思維能力,充分理解數學本質屬性的作用.通過變式訓練,是要防止形式地、機械地背誦、套用公式和定理提高學生變通思考問題和靈活應用概念、公式以及定理的能力.由于本文主要討論的是初三復習策略,筆者下面討論的是題目的變式.

i.尋找本質特征,一題多變

變式訓練可以變換問題的條件和結論,變化問題的背景,但不變換問題的本質,使學生對問題的本質屬性更全面的理解.通過變式訓練使學生沖破事物的表象,引導學生注意到從本質看問題,全面地關注某一類題目的特征,注意從事物之間的聯系的矛盾來理解事物的本質,在一定程度上可克服和減少思維的僵化及惰性.

從小學開始就有自主編題的練習,使學生能夠根據已學的內容進行類比,創新題目.初中階段,繼續沿用這種題型,讓學生自主編題.下面以初一的打折銷售的應用題進行分析題目的變式.(參考《把學習的主動權還給學生》的教學案)

(北師大版七年級上冊)例題1小明同學在一次調查活動中發現,一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價,又以8折(即按標價的80%)優惠賣出,結果每件仍獲利15元,這種服裝每件的成本是多少元?

解: 設進價x元,得(1+40%)·x·80%=15+x把題目的整個過程以下面的流程圖表呈現,尋找本質.

圖3

圖4

觀察例題的圖表,共有6個量?至少需要多少個量才能確定余下的量呢?

例題中是知道了三個箭頭的信息(圖4),但不知道三個價格,反過來,如果知道了三個表格能確定三個箭頭的信息嗎?又或者知道了一個價格與兩個箭頭的信息(圖5),能確定余下的信息嗎?知道兩個價格與一個箭頭的信息呢?(圖6)

圖5

圖6

知道了六個量中的其中三個就能確定其余量.當然了,我們尋找到題目的本質屬性時可以不斷地變式.下面是其中的一道變式題.

自己嘗試設計好打折銷售問題的對應六個量,只留下三個已知量進行變式編題,如圖7所示:

變式題目: 林伯伯以每顆樹苗80元購進,培植一段時間后,提高一定價格售出,由于顧客購買量較多,以9折出售,最后林伯伯仍獲利26.4%,問題: 李伯伯的提價率是都少?

圖7

打折銷售的應用題所出現的量比較多,通過圖表形式尋找個量間的聯系,當理清各量間關系時,也就是找出了這一類題目的本質屬性.僅做一次例題的練習對于大部分學生而言還沒有找到這類題目的本質.但是從不斷地變式中,學生能夠逐步分析各量間的依存關系,也就是找到了本質.通過一題多變,學生從結構上理解具體情境的變式,體會情境的可變性與結構的不變性.

通過變式教學,不是解決一個問題,而是解決一類問題,遏制“題海戰術”,開拓學生解題思路,培養學生的探索意識,實現“以少勝多”.

ii.培養發散思維,一題多解

一題多解的實質是以不同的論證方式,反映條件和結論的必然本質聯系.在教學中老師要善于設置“一題多解”的變式訓練,引導學生能從不同的角度,不同的知識,不同的思想方法解決同一個問題,使學生從單一的思維模式中解放出來,達到以創新方式來解答問題,培養學生思維的開闊性、發散性和靈活性.

(九年級下冊)例題2如圖,已知△ABC、△DCE、△FEG是3個全等的等腰三角形,底邊BC、CE、 EG在同一直線上,且BC=1,連結BF分別交AC、DC、 DE于點P、Q、R．

圖8

(1)△BFG與△FEG相似嗎?請說明理由;

(2)求AP∶PC.

圖9

圖10

分析: 對于第一問,通過題目所給的線段長度,可運用兩邊成比例且夾角兩三角形相似.第二問可用兩種方法解答,培養學生的發散思維.

方法一: 根據問題中的線段,選擇證明△BCP與△ACB相似(圖9所示),這對三角形的的位置是典型的交叉性,再根據相似尋找線段成比例,從而求出PC的長度,進而求兩線段的比值.

方法二: 通過觀察圖形,存在好幾對平行線,可找平行型的相似三角形(圖10所示).根據二問中的線段以及三個全等的等腰三角形的條件,可證明△BPC與△BFG相似,可得根據合比性質得

本環節的兩種解法,分別從兩種構圖方式上(圖9、圖10)證明兩三角形相似,學生從復雜圖形中抽取基本圖形突破難點.一題多解,從題目條件出發,通過多個條件的不同整合,不同的方法卻最終相同的結論,培養學生多角度,多方向地思考問題,有利于學生在應考中嘗試不同路徑去尋找解題方法,加快解題的速度.

iii.加強知識模塊聯系,一題多變

伽利略曾說過“科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的”.對于課堂數學教學要常新、善變,通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題,深刻挖掘例習題的教育功能.

上述的幾何例題2是一道綜合性的好題,涉及到多個知識模塊(相似的性質與判定,全等的性質,平行線分線段成比例,等腰三角形的性質)的綜合運用.為了充分運用本題,使學生真正掌握本題的解題方法,下面的討論中以例題2進行一題多變(一題多問、條件與結論互換、推廣變式),加強多個知識模塊的聯系.

有效的數學基本功往往不是以單個概念(原理、法則)形式構成,而是以一種“模塊”的形式存在于學生的數學認知結構之中的,這個的“模塊”通過連結相關的基本概念、基本原理和法則所成,在具體的解決問題過程中,形成一些能夠解決問題的、具有可操作性的技能、方法.

總之,在數學課堂教學中,遵循學生的認知特點,根據教材的內容,題目的特點加強變式訓練,對鞏固基礎、培養思維、提高能力有著重要的作用.當然,課堂教學中的變式題很多都可以出自課本,體現出“源于課本,高于課本”,讓學生也學會“變題”,使學生自己去探索、分析、綜合,以提高學生的數學素質.

除此之外,在初三備考中還應該在學生的運算能力,審題能力等方面進行培養.如遇到難題時,我們可根據題目的條件猜想出題者的意圖,所考察的知識點是什么等.

(三)被試

本研究的被試是我校的兩個平行班,人數均為48人,兩個班的班主任具有相近的資歷,兩個班風和學風接近,一個班是筆者任教的,另一個班的數學科任老師的教學成績與筆者也相當.控制班進行“題海戰術”,實驗班進行題目的“整合與變式”.

(四)測量工具

實驗的前測與后測材料分別采用《中考易》的三份模擬題,讓學生進行了試驗,每個題目標有項目的難度.部分題目進行修改,力求三份測試題難度相當.第二,三份模擬卷在實驗的第8周,第12周進行.

三、試驗的結果

平均分 優分率控制班實驗班控制班實驗班前測88.2488.3342% 41%后測188.7188.4843% 44%后測290.1890.5245% 45%

從上述數據分析,控制班與實驗班在本次教學試驗中,題海戰術與“整合與變式”的學習法對被試的水平影響沒有顯著差異,試驗結果支持試驗假設.兩個班的平均分在兩次后測中相差都在0.2分左右,非常接近.因此,兩個班的成績差異是極小的.

為了了解學生對題海戰術和“整合與變式”的學習法的態度,筆者對兩個班的部分被試進行訪談.控制班的受訪被試反映: 對于平常的做題以及教師對一些偏難的題目進行講解感覺比較乏味.做過的題目容易忘掉,不知道自己掌握了多少知識.

實驗班的受訪被試者對所采用的教學方法較為認同,認為自己在學習過程中感到比較踏實,能夠知道自己每節課掌握了哪些基本知識,會做哪些難題.他們認為難題的障礙主要是自己不會類比已學過的題目,通過變式訓練很好地積累了數學活動經驗.

四、結論

做大量與中考題型相同的練習成為中考教學的主要手段之一.題海戰術的目的是試圖通過與考試內容和形式相同的訓練,讓學生做題過程自動化.多年來的備考中也證明,通過做大量與中考題型相同的模擬試題,是提高學生成績的途徑之一.

采用“整合與變式”的學習法,學生的輸入量減少了,做中考的模擬試題也少了,但是學生的考試成績并沒有受到影響.試驗結果顯示,題海戰術和“整合和與變式”的學習法在影響效果上沒有區別,但“整合和與變式”的學習法更有利于學生的可持續發展.

五、局限性

本研究是在初三復習階段,試驗時間為12周,時間是否充足有待考證.研究的對象僅僅是本校的兩個班,局限于某一地區的一所學校的個別班級的學生.因此,還需要進一步的研究,以便更加清晰地顯示題海戰術和“整合與變式”對考試的效應.

[1]梁惠燕.中小學教育科學研究的N個問題[M].廣東高等教育出版社,2014: 212-220

[2]章飛.把學習的主動權還給學生[M].北京師范大學出版社,2013: 158-163

[3]馬復.初中數學教學策略[M].北京師范大學出版社,2010: 305-308