試論問題表征在數學問題解決中的重要性

首都師范大學數學科學學院(100048) 覃淋

試論問題表征在數學問題解決中的重要性

首都師范大學數學科學學院(100048) 覃淋

問題解決是數學教育研究的熱點問題之一,數學問題解決主要表現為解題.數學問題解決的認知過程包括四個階段：問題表征、模式識別、解題遷移和解題監控.其中問題表征是中心環節,問題表征的正確與否直接影響問題的解決;同時,如果問題表征不當,也會極大地影響數學問題的解決.

一、引言

美國數學家哈爾莫斯(P.R.Halmos)認為,“問題是數學的心臟”[1].實際上,數學學習的過程實質上就是一個問題解決的過程.在數學里,問題解決(problem solving)主要表現為解題.問題解決是目前數學教育研究的一個熱點問題,也是數學教育研究的核心問題之一.所謂問題解決,就是指在具有明確目標卻不明確達到目標的途徑或方法的情況下,經過一系列具有目標指引性的認知操作,使問題得以解決的心理過程.

安德森(J.R.Anderson)認為,任何一個問題解決都具有以下3個特點[2]：(1)目標指引性,是指為問題找到一個答案或結論;(2)操作序列,是指任何一個問題解決活動必須包含一系列的認知活動;(3)認知性操作,是指問題解決活動必須具有重要的認知成分.問題解決作為一個活動,包含了若干個步驟.即為了完成這個活動,要經過一系列的步驟,稱之為問題解決過程.文獻[3]總結了從傳統問題解決模式到現代認知心理學派幾乎所有的問題解決模式的觀點.許多數學教育家也提出了一些數學問題解決模式,比較有影響的有以下3種：

1.波利亞在《怎樣解題》一書中提出了著名的“怎樣解題表”,把解題過程分為弄清問題、擬定計劃、實現計劃和解題回顧;

2.奧加涅相在其著作《中小學數學教學法》中將解題過程分為理解問題條件、制定解題計劃、實施解題計劃和研究所得;

3.舍費爾得(A.schoenfeld)把數學問題解決過程分為問題的理解與分析、解決方案的設計、困難問題解法的探索和結果驗證.

從以上這些問題解決模式理論中,不難看出,要解決一個數學問題,首先就是要對需要解決的問題進行表征(problem representation).所謂表征,就是指信息在頭腦中的呈現形式[4].美國認知心理學家西蒙(H.A.Simon)認為,“問題表征是問題解決的一個中心環節,它說明了問題在頭腦中是如何呈現、如何表現出來的”[4].在數學解題中,問題表征實際上就是理解并轉化問題,就是說對一個數學問題,要用自己的語言將它陳述出來,并通過對問題的陳述將問題進行適當的轉化.要想解決一個數學問題,就必須正確地恰當地表征問題.“如果一個問題得到了正確地表征,可以說它已解決了一半”[4].因此,很有必要對問題解決過程中問題表征的作用進行分析.

在數學問題表征中,我們認為存在著以下幾種情況：

(1)錯誤的表征問題,主要表現為未能正確的理解題意和理解了題意但進行了不等價的轉化;

(2)問題表征不當,是指在正確的理解了題意的情況下,對問題進行了不恰當的轉化,使得轉化后的問題變得更復雜.在此情形下可能導致以下2種情況,一是我們未能解決問題;二是問題解決過程繁雜、計算量大等;

(3)問題表征的多樣性,即對同一問題存在著多種表征形式,從而導致問題可能存在著不同的解決方法.

二、問題表征的重要性

一般而言,在數學問題解決的過程中,最受重視的是“制定解題計劃”階段.實際上,最重要的應該是“問題表征”階段,它是最終解決問題的前提和基礎.解決任何一個問題,第一步都是讀題并理解題意,理解題意的一個重要標準就是一個人能否用自己的語言將問題進行陳述,并通過對問題的陳述產生關于問題的一個表征.而如果對問題進行了錯誤或是不恰當的表征,就像在岔路口走錯了路,必然會離目標越來越遠.

表面上看,學生不會解題,是在“制定計劃”階段上出了問題,實質上是沒有正確理解題意,沒有在理解題意是下功夫[5].有數學家說過,善于解題的人用一半的時間來理解題意,另一半的時間來完成解答.

1.錯誤的表征問題

例1 已知a,b是任意實數,求方程|x|x+ax-b=0實根個數.

常見的錯誤解法分別考慮x≥0與x＜0情形,去掉絕對值符號.

1)當x≥0時,得到x2+ax-b=0,于是有,a2+4b＞0時,有兩個實根;a2+4b=0時,有一個實根;a2+4b＜0時,無實根.

2)當x＜0時,得到x2-ax+b=0,于是有,a2-4b＞0時,有兩個實根;a2-4b=0時,有一個實根;a2-4b＜0時,無實根.

分析上述解法雖然對問題進行了“表征”,即將一個含有絕對值符號的二次方程轉化為不含絕對值符號的方程.但是,這反而遠離了題意,并沒有通過參量a,b來討論方程的實根個數,反而是不正確的就x,a,b三者之間的關系來分別討論.實際上,方程x2+ax-b=0(x＞0)在a2+4b＞0時未必就有兩個實根.比如取a=0,b=1,此時方程變為x2-1=0,得到x=±1.但只有x=1滿足條件.所以該解法是錯誤的,主要就是由于對問題進行了錯誤的表征,從而導致問題無法解決.

正確的解法我們利用數形結合來解,令f(x)=|x|x+ax,g(x)=b,此時就已經將問題轉化為兩個函數的交點問題了.即二者交點的個數就是方程的實根個數,同時由于f(x)是奇函數,只要討論x≥0的情形即可,分a=0,a＞0,a＜0進行討論,如圖作出f(x)=|x|x+ax的函數圖像.

圖1

圖2

結合函數圖像進行分析,可以得到本題結果：

(1)當a≥0時,有1個交點,即有一個實根;

(2)當a＜0時,討論b的情況,當時,有1個交點;當時,有2個交點;當時,有3個交點.

圖3

2 問題表征不當

由于對同一問題不同個體可能會產生不同的表征,在這若干不同的表征中,可能某一種表征方式比其它表征方式更為有效.而不同的表征方式會激活長時記憶中不同的知識和程序[4],必然會影響到問題解決的結果.在問題表征不當的情況下,我們可能不能解決某個數學問題,或者解決該問題時,過程顯得十分的繁雜,沒有體現數學的簡潔美.

2.1 問題表征不當—無法解決問題

例2 已知a1,a2,···,an為實數,若它們之中任意兩數之和非負,對于滿足等式x1+x2+···+xn=1的任意非負實數x1,x2,···,xn有不等式a1x1+a2x2+···+anxn≥成立,請證明.

分析大多數學生一看到此題,首先想到的是利用數學歸納法.從數學歸納法可以證明關于自然數n的命題出發,試圖通過數學歸納法來證明,結果利用數學歸納法的解決此題的,幾乎無人得出正確結果.實際上,本題可以先考慮簡單的情況下問題的解決方法,然后再推廣到一般.當n=3時,即證明

再利用x1+x2+x3=1,上式變為

由此,可以得到問題的解決方法.由

可將原不等式變為

不等式得證.

2.2 問題表征不當—解題過程繁雜

例3 已知關于x的實系數二次方程x2+ax+b=0有兩個實根α,β.證明：若|α|＜2,|β|＜2,則2|a|＜4+b且|b|＜4.

解由根與系數的關系,得α+β=-a,αβ=b,那么

由于|α|＜2,|β|＜2,故|b|=|α||β|＜2×2=4.且α2＜4,β2＜4.因此,(4+b)2-4a2=(4-α2)(4-β2)＞0,此即(4+b)2＞4a2,再4+b＞0,故2|a|＜4+b.綜上所述,命題得證.

另解由根與系數的關系,得|b|=|α||β|＜2×2=4.令f(x)=x2+ax+b,由于方程的兩根絕對值都小于2,結合圖像可知f(±2)＞0,此即4±2a+b＞0,整理得2|a|＜4+b.

若此題不結合圖像來解決,而僅僅依靠根與系數的關系來解,是比較復雜的.后面的解法顯然比前一解法更易理解,直觀性更強,學生也更容易接受.

對一個問題的正確表征是解決該問題的前提.如果對問題進行了不恰當的表征,我們很可能不能解決問題.因此,在解題活動中,正確理解題意,然后進行適當的轉化,是非常重要的.

3 問題表征的多樣性

對于同一個數學問題,不同的人由于其不同的知識經驗.學習者在問題解決的過程中,必然會以已有的經驗為基礎.每一形式的表征依賴于個體不同的知識經驗,而且可以引出不同的知識和策略,導致產生不同的解法[5].從不同角度來思考同一問題,不僅能培養學生的發散思維,更可以激發學生對數學的興趣.

例4 計算sin72°cos42°-sin18°sin42°的值.

看到此題時,有學生想到的是兩角差的正弦公式,而有的學生想到的是兩角和的余弦公式.對問題的不同表征,決定了他們會采取不同的解決方案,但最后結果都是相同的.

此外,問題表征還有一種重要的情況就是“正難則反”,在具體的數學解題中,表現為反證法,逆向思維等.例如,

例設f(x)是一個整系數多項式.證明：若f(0)和f(1)都是奇數,那么f(x)沒有整數根.

這個問題若從正面出發,是很難解決的.假設f(x)有一個整數根,我們記為a,則f(x)=(x-a)g(x).則f(0)=(-a)g(0),f(1)=(1-a)g(1),這里-a和1-a中必有一個是偶數,而f(0)和f(1)都是奇數.這是一個矛盾,問題得到解決.

三、討論

可以看出,問題表征在問題解決中的重要性,問題表征的正確與否,會直接影響到我們能否順利的解決問題.“問題的解決往往取決于問題解決者在問題情境中問題表征的能力”[2],“我們能不能解決問題就在于我們大腦內部能否產生正確的表征”[4].著名的“國際象棋棋盤殘缺問題”同樣說明了正確而恰當地表征問題的重要性,可以說,正確的表征問題就意味著解決問題.這就要求我們教師在實際的解題教學過程中,要充分強調理解題意的重要性,很多時候,學生不能正確解決問題,很可能就是在“問題表征”環節時出現了錯誤.

總之,在整個的數學問題解決過程中,問題表征是最重要的一個環節.一個數學問題能否被解決,取決于該問題是否被正確的表征,對數學問題的表征決定著我們所選擇的問題解決方案,也就決定著解答結果的正確與否.

[1]哈爾莫斯.數學的心臟[J].數學通報,1982,(4)：27-31.

[2]J.R安德森著,楊清,張述祖等譯.認知心理學[M].長春：吉林教育出版社,1989.

[3]李伯黍,燕國材.教育心理學[M].上海：華東師范大學出版社,2010,第3版.

[4]司馬賀著,荊其誠,張厚粲譯.人類的認知—思維的信息加工理論[M].北京：科學出版社,1986.

[5]涂榮豹.數學解題的有意義學習[J].數學教育學報,2001,10(4)：15-20.