基于高考命題下的三視圖研究與教學應對策略

汪水勇

[摘 要] 三視圖是新課程中增加的內容之一，也是近年來數學高考命題的新熱點. 本文在分析高中教材對三視圖的定位的基礎上，闡述了基于高考命題下三視圖教學方法的原則，并結合自己的教學實踐提出了一些高中三視圖教學方法的策略.

[關鍵詞] 高考命題；三視圖；空間想象能力

《高中數學課程標準》中明確指出：要培養和發展學生的空間想象能力. 為了有效增強學生的空間想象能力、幾何直觀能力以及應用圖形語言交流的能力，人教版數學教材中增設了三視圖的相關內容. 縱觀近年來的高考題目，關于三視圖相關知識的考查頻頻出現，因此，研究基于高考命題下的三視圖教學具有重要的現實意義.

[?] 高中教材對三視圖的定位

1. 教材內容較為簡單

教材中對于三視圖的介紹共分為兩部分，其中一部分是圓柱、圓錐、圓臺、球體的三視圖，簡單介紹了正視圖、俯視圖、側視圖的概念，通過圓柱和圓錐兩個旋轉體分別列舉出了圓柱和圓錐的三視圖. 另一部分是簡單組合體的三視圖，通過畫出實物三視圖的方式，讓學生想象出三視圖的特征. 不難發現，教材中對于該部分知識的學習十分簡單，列舉的實例是長方體、圓柱、圓錐及圓臺等極其簡單的多面體或旋轉體圖形.

2. 三視圖知識靈活多樣

空間幾何體形式的復雜多變導致三視圖的形式復雜多變，對于每一種形式的空間幾何體，由于觀察角度的不同可能有多種不同形式的三視圖，加之兩種以上幾何體組成的組合體，無形中又增加了由三視圖還原空間幾何體的難度. 例如，三視圖既可以是圓柱和球體的組合，也可以是圓錐、球體去掉一部分后剩下的部分. 同時，雖然三視圖能夠具體地反映幾何圖形某一部位的詳細尺寸和角度關系，但根據三視圖還原空間幾何體時，需要兼顧正視圖、俯視圖以及側視圖，需要學生具備較強的整體意識和空間想象能力才能準確地描述出原來空間幾何體的真實結構，而整體意識和空間想象力需要學生在學習生活中勤于思考、細于觀察才能夠培養出來.

3. 圖形虛實結合，真假難辨

對于一個空間幾何體的三視圖而言，首先需要判斷該幾何體的總體形狀，判斷是柱、錐、臺、球體中的哪一類還是兩種或兩種以上的組合體. 其次，根據幾何體各面的長、寬、高、半徑等尺寸進行定量. 但在這一過程中常常遇到虛實結合、真假難辨的現象. 以2016年全國高考文科數學試卷（新課標）第7題為例（見圖1），題目中只是說出了某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓，但并沒有給出哪個是正視圖、俯視圖、側視圖，并且題目中的圖形極為相似，需要學生進行判斷. 這種虛實結合、真假難辨的圖形需要學生具有較強的空間想象能力和生活經驗.

[?] 基于高考命題下三視圖教學方法的原則

1. 多感官參與原則

空間想象能力是在缺乏空間立體圖形的前提條件下，依靠某些空間視角思考物體位置、現狀的能力，這種能力不是與生俱來的，需要在多種感官參與的基礎上反復強化而得到. 因此，教師在講解三視圖知識時，需要充分調動學生的多種感官參與，通過觀察、觸摸各種空間幾何體的形狀結構，把三視圖和空間幾何體在視覺和觸覺上形成的記憶結合起來，形成知識結構存儲于學生頭腦中. 例如，2011年全國高考理科數學試卷（新課標）第6題（見圖2），在已知三視圖中的俯視圖和正視圖的情況下，要求學生根據自己的空間想象能力猜想出該幾何體的側視圖. 在解答這類題目時，必須依靠頭腦中已經形成的記憶. 單純地從正視圖分析，該空間幾何體可能是三棱錐、四棱錐等，但從俯視圖分析，看到的是三角形的底面和半圓，我們調動頭腦中半圓錐以及三棱錐的記憶輕松得知該幾何體可能是三棱錐和半個圓錐的組合體. 其實，對于解決三視圖問題，需要教師充分調動學生的視覺以及觸覺，讓學生在自己的頭腦中形成常見立體幾何的三視圖.

2. 經驗與理論相結合原則

對于邏輯性不是很完整的三視圖而言，單純地依靠理論解答高考試題的方法并不是十分有效的. 在紛繁復雜的三視圖面前，需要將既成的事實總結成規律，將曾經見過事物留下的直觀印象作為依據迅速進行解答. 例如，在三視圖中，幾何體的寬可以由側視圖和俯視圖綜合得知，根據將學習中的經驗和事實總結成規律加以應用.

3. 求真原則

在解決三視圖問題時，常常遇到某些線條、區域的重疊，對于這一類型的三視圖時，應當按照求真的原則避開一些誤區，去發現由于某些線條、區域的重疊而被忽略的圖形，特別是對于幾種幾何體的組合體而言，應發現其真實的一面. 以2013年全國高考理科數學試卷（新課標Ⅰ）第8題為例（見圖3），從主視圖分析，該幾何體是簡單幾何體的組合體，只有認識到這一點后，才能為下一步的計算打下堅實的基礎.

[?] 高中三視圖教學方法的策略

1. 熟悉常見空間幾何體的三視圖

教師應組織學生多角度地觀察、交流，讓學生通過體驗的方式制作出圓柱、圓錐等常見的簡單的幾何體模型. 在具體制作過程中仔細觀察，畫出各類幾何體的三視圖，熟悉各種空間幾何體的結構特征，達到根據相應的三視圖畫出真實的空間幾何體，也能夠根據不同的空間幾何體能夠畫出相應的三視圖的效果. 同時，強調經驗和理論的結合，將在實踐中反復觀察和觸摸、發現和糾正錯誤過程中積累下的經驗進行提煉，對于常見幾何體的直觀圖、三視圖以及簡單組合體的三視圖、直觀圖在頭腦中形成深刻的記憶，面對空間幾何體或者空間幾何體的三視圖時能夠在第一時間內有所反應.

2. 掌握三視圖中的基本規律

對于應用三視圖推理空間單個幾何體的形狀時，要按照“兩三角則錐體、兩矩形則柱體、兩圓形則球體、兩梯形則臺體”的規律進行判斷，也就是對于一個簡單的空間幾何體而言，有兩個視圖的平面圖形是三角形，就可以判斷這個幾何體是錐體. 同理，則可以判斷柱體、球體和臺體. 對于其他幾何體的組合體而言，應將其分解后進行判斷. 例如，2014年全國高考文科數學試卷（新課標）第8題（見圖4），根據兩矩形則柱體的規律，迅速判斷出該三視圖的空間幾何圖形為柱體.

同時，在已知三視圖所對應幾何體的形狀后，按照“長對正、寬相等、高平齊”的原則進一步推斷原來幾何體長、寬、高，即幾何體的寬可以由側視圖和俯視圖綜合得知，幾何體的長可以由正視圖和俯視圖綜合得知，幾何體的高可以由正視圖和側視圖綜合得知. 如圖5所示，形象地說明了長方體對應三視圖的長、寬、高.

3. 強調三視圖問題解決中常見的誤區

針對一些高頻出現的三視圖錯誤，教師需要勤于思考，勇于研討，及時引導學生在常見的誤區中加深印象. 其中，三棱錐側高和物體的高混淆的現象是學生常見的一種誤區，三棱錐的正視圖、側視圖中三角形的高并不是原圖形的高，在計算表面積時要特別注意. 只有當俯視圖中外圍三角形對應原三棱錐的底面時才能說明三棱錐的正視圖、側視圖中三角形的高是原圖形的高，這是因為只有一個平面圖形垂直于視線時，它對應的視圖才和它本身全等. 在錐體側面形成的視圖中，三角形的高并不是側面三角形的高，而是原錐體的高.

綜上所述，三視圖是數學高考命題的新熱點，高中數學教師在講解三視圖知識時，應堅持多感官參與、理論與經驗相結合以及求真的原則，讓學生熟練記憶常見幾何體的三視圖，靈活應用三視圖中總結的規律，并警示學生三視圖中常見的誤區. 只有這樣，才能提高學生的空間想象能力，使學生在高考中取得優異成績.