電磁軌道發射狀態下的復合導軌動態響應研究

田振國, 孟曉永, 安雪云, 白象忠

(燕山大學 建筑工程與力學學院 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室， 河北 秦皇島 066004)

?

電磁軌道發射狀態下的復合導軌動態響應研究

田振國, 孟曉永, 安雪云, 白象忠

(燕山大學 建筑工程與力學學院 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室， 河北 秦皇島 066004)

電磁炮導軌中通入電流后，電樞受到電磁力作用沿軌道移動，由于導軌受到安培力和電樞壓力的作用，會引起軌道內表面的磨損、刨削現象，限制了電磁軌道炮的使用壽命。而銅基復合軌道可以同時具備有良好的導電性能、耐燒蝕能力以及較高的強度，在大功率多次發射的電磁軌道炮中具有較好的應用前景。將復合導軌簡化為彈性地基梁，并對其受力特點進行力學分析，應用二維Fourier積分變換，得到復合導軌在移動荷載作用下動態撓度的一般解，進而得到電磁軌道發射狀態下復合導軌的動態響應。分析了復合軌道的幾何尺寸、通入電壓等參量對復合導軌動態響應的影響。計算結果表明：電樞壓力對軌道變形的影響遠大于軌道間斥力的影響；合理的復合層厚度占比可以改善軌道的動態性能。

兵器科學與技術； 復合軌道； 動態響應； Fourier變換； 移動荷載； 彈性地基梁

0 引言

電磁炮采用電磁發射方式，理論上能比傳統發射方式獲得更高的速度，并且可以節約能源與減少反應時間，有較大的應用潛力。但是，一些難以克服的問題阻礙了其實際應用[1]。如導軌內側的燒蝕[2]，發射過程中的穩定性、導電性與剛度支撐等問題。目前國內外學者一方面在改善導軌或采用新的導電方式來避免導軌刨削與燒蝕[3]；另一方面，通過計算導軌的動態響應及應力分布，來分析其受力及變形規律，進而為導軌設計提供理論依據[4-5]。文獻[6]將導軌簡化為彈性地基梁，并假設電樞勻速通過導軌的情況下，討論了導軌長度等參量對共振速度的影響。文獻[7]用數值模擬的方法，分析了等離子體的黏滯阻力和惰性阻力對電樞運動的影響。文獻[8]分析了電磁軌道炮發射時后坐運動的特征，獲得了一定條件下的后坐運動曲線。但是，這些研究并沒有考慮電樞對導軌作用力和電樞的變加速運動的動態特征，也很少將軌道作為復合結構體進行動態力學分析，對復合型導軌動態響應的研究十分少見。當電流通入復合導軌后，電樞將受到強大的推力作用并沿導軌作變加速運動。由復合導軌間電磁場分布及通入電樞的電流強度，可得到電樞受到的推力，進而得到電樞的運動方程；通過計算復合導軌間相互作用的斥力與在焦耳熱作用下電樞的膨脹量，可得到復合導軌上的移動荷載值及其變化規律。本文考慮電磁炮發射裝置的實際結構，將簡化為彈性地基梁的復合導軌的控制方程進行Fourier變換，導出了在發射過程中復合導軌的動態響應方程及其精確解。并通過算例，分析了銅- 鋼復合導軌構成的材質比例及接入電壓等參量對復合導軌動態響應的影響，從而可為發射軌道的設計提供理論計算參考依據。

1 復合導軌的動力學控制方程的建立及其解

復合導軌橫截面尺寸如圖1所示，軌道內層、外層材質分別為鋼和銅，相應的參量符號分別用下角標Fe、Cu來區分。鋼的彈性模量為EFe，厚度為hFe，截面上的正應力為σFe；外層銅的彈性模量為ECu，厚度為hCu，截面上的正應力為σCu；軌道寬度為d，軌道間距離為b，復合軌道中性軸距頂層距離為c(見圖2)。

圖1 復合軌道截面圖Fig.1 Cross section of composite rail

圖2 復合軌道應力分布Fig.2 Stress distribution of composite rail

電磁導軌炮發射裝置如圖3所示。電流由一側導軌流入，經過電樞后由另一側導軌流出；電樞受到在兩導軌間產生強磁場作用的電場力后，沿導軌滑動。在此過程中，導軌主要受到導軌間相互作用的斥力、電樞對導軌的壓力和導軌固定裝置的彈性支撐力的作用，故可將導軌看作如圖4所示的彈性基礎梁，由彈性基礎梁理論可得到其動力學控制方程[9]為

圖3 復合梁導軌發射裝置簡圖Fig.3 Schematic diagram of composite rail launcher

(1)

式中：IFe、ICu分別為鋼、銅的慣性矩；w(x,t)為復合導軌的撓度；q(x,t)=qr(t)[1-H(x-l(t))]+qp(t)H?a2-(x-l(t))2」為作用在導軌上的移動荷載，qr(t)為導軌間相互作用的斥力集度，qp(t)為電樞作用在導軌上的壓力集度，a為電樞沿x軸方向的長度，l(t)為t時刻時電樞的移動距離，H(x-l(t))、H?a2-(x-l(t))2」為Heaviside階躍函數；k為地基彈性系數；λ為復合導軌的平均質量密度；h=hFe+hCu、d分別為導軌的厚度和寬度。

圖4 復合導軌的受力簡圖Fig.4 Force diagram of composite rail

對(1)式進行x、t的二維Fourier變換，得到[10]

(2)

(3)

對(3)式進行Fourier逆變換可得到

(4)

2 發射過程中導軌與電樞的受力分析

2.1 復合導軌發射過程的供電電壓

將導軌發射器看成是電源的負載，導軌為沿其長度分布的電阻和電感，因為是復合軌道，可將內層軌道和外層軌道看作并聯電路。在正常發射狀態下，發射時供電電壓[11]為

(5)

式中：L′r(x)為導軌電感梯度；i(t)為流經導軌的電流強度；v(x)為電樞速度。

導軌發射裝置的負載電阻[12]為

(6)

式中：R0為初始負載電阻；導軌發射裝置的電感為

Lr(x)=L0+L′r(x)x,

(7)

2.2 電樞推力的計算

如圖5所示，電流由一側導軌流入，穿越電樞，然后由另一側導軌流回，則根據通入內層、外層導軌的電流強度iFe(t)、iCu(t)可以得到導軌間任一點A(xA,yA,zA)的磁感應強度:

圖5 坐標系的建立Fig.5 Establishment of coordinate system

(8)

式中：μ0為真空磁導率。

考慮到復合軌道的性質及電流分布特點，對其沿整個電樞體積進行積分，便可得到電樞受到電磁驅動力沿軌道方向的合力。隨著電樞的移動，整個電流通路的電阻也將發生變化。如果外加的是恒定電源，則通入軌道的電流強度、導軌間的磁場、流經電樞的電流密度、電樞受到的推力都將是時間的變量。由電樞中的電流值，可計算出電樞上任一點受到的洛侖茲力[13]。按體電流計算，沿整個電樞體積進行積分便可得電樞受到電磁驅動力沿軌道方向推力的合力為

(9)

2.3 兩導軌間相互作用的斥力計算

由于導軌通入電流會在軌道之間產生磁感應強度為B的電磁場，所以導軌間會受到相互作用的斥力，由安培力計算公式結合導軌間任一點產生的磁感應強度可得電樞經過的導軌部分受到的斥力集度近似為

(10)

考慮到復合軌道是貼合在一起的，這里將軌道受到的斥力等效作用在整個復合軌道的表面。

2.4 電樞與軌道間接觸力計算

當電流流經電樞時，其內勢必產生熱量。因電磁軌道發射裝置通常采用電容單次放電的形式，可近似地認為電流在電樞內均勻分布。如果僅考慮電樞表面與外部的熱交換，即電樞所發出的熱量：一部分用于增加電樞的焓，另一部分則損失于外界，此時電樞溫度就會沿電樞y方向分布[14]：

(11)

假設兩側軌道限制了電樞的熱膨脹，且沿y方向取平均溫度作為電樞應變的計算依據，由于作用時間非常短暫，可忽略溫度隨時間的變化，則得電樞的熱應變[15]為

(12)

式中：αl為電樞材料的線膨脹系數。則電樞作用在復合軌道上的荷載集度[16]為

(13)

式中：Ea為電樞材料的彈性模量。

3 發射過程中的復合導軌動態響應

復合導軌通入強電流后，電樞將做變加速運動，滑動過程中導軌會部分受到相互作用的斥力和電樞作用力。將(1)式中的q(x,t)經Fourier變換后得

(14)

將(14)式代入(4)式積分，并考慮狄拉克函數(δ函數)的性質：

(15)

可得電樞沿復合軌道滑動時導軌撓度表達式為

(16)

再結合(10)式、(13)式可得導軌發射過程中的導軌動態響應，則可用Matlab得到復合軌道的數值解。

4 算例分析

如圖1所示，復合導軌內層、外層材質分別為鋼和銅，取導軌長度為2 m，內層鋼質復合層厚度hFe=5 mm，外層銅質基層厚度hCu=15 mm，兩導軌間距離b=20 mm. 鋼的質量密度ρFe=7 850 kg/m3，彈性模量EFe=200 GPa，電導率σFe=9.93×106S/m；銅質導軌的質量密度為ρCu=8 900 kg/m3，彈性模量ECu=115 GPa，電導率σCu=5.88×107S/m；系統初始負載電感L0=0，導軌電感梯度L′r=0.451 24 μH/m，初始電阻R0=0.1 Ω. 鋁質電樞沿導軌方向長度a=20 mm，電樞的厚度和高度都為20 mm，彈性模量Ea=70 GPa，電導率σa=3.6×107S/m，質量密度為ρa=2 700 kg/m3，熱傳導系數λa=237 W/(m·℃)，表面放熱系數αa=500 W/(m2·℃)，線膨脹系數αl= 2.35×10-5℃-1. 地基彈性系數k=10 GPa，真空磁導率μ0=1.256×10-6H/m，系統放電電壓U0=70 000 V，導軌兩端自由。

圖6為復合導軌在不同放電電壓作用下，電樞的移動情況，可見通入的電壓越高，發射時間越短。放電電壓U0=90 000 V比U0=70 000 V時發射時間少大約0.3 ms. 圖7為在不同放電電壓下電樞加速度aa隨時間t變化曲線，由于電容放電特性及電樞推力是由導軌間電流在電樞內產生的磁場與電樞電流作用產生的，可以看出，在開始放電瞬間，電樞加速度迅速增大，隨著時間的增加，由于系統電阻的增加及放電電壓的變化，導致電流密度強度下降，從而導致電磁推力減小，電樞加速度下降。

圖6 電樞移動距離隨時間變化曲線Fig.6 Armature moving distance vs. time

圖7 電樞加速度隨時間變化曲線Fig.7 Armature acceleration vs. time

圖8為導軌在不同放電電壓作用下導軌0.8 m處的撓度值變化，放電電壓越高，撓度峰值越大，放電電壓U0=90 000 V比U0=70 000 V時撓度峰值增大了1倍多，且當電樞移動到該位置處時，對應位置的撓度達到最大。圖9為外加電壓U0=80 000 V時，導軌的0.8 m處不同力作用下的撓度值隨電樞移動距離變化。由圖9可知，導軌發射前段該位置的撓度很小，當電樞到達0.8 m處時，撓度急劇增大，電樞經過后撓度又變小，可見電樞對軌道變形的影響遠大于軌道間斥力的影響。

圖8 放電電壓對導軌0.8 m處撓度的影響Fig.8 Effect of discharge voltage on deflection of rail at 0.8 m

圖9 導軌0.8 m處撓度隨電樞移動距離變化曲線Fig.9 Deflection of rail at 0.8 m vs. armature moving distance

相比較電樞對軌道撓度的貢獻，軌道間斥力對撓度貢獻值要小得多。圖10和圖11分別表示了外加電壓U0=80 000 V時，導軌間斥力與電樞作用力對撓度值貢獻。由圖10可知，僅考慮導軌間斥力作用時，發射前段撓度接近于0，隨著電樞的移動，影響增大，電樞到達0.8 m處后，撓度快速達到峰值w=3.57 μm，之后緩慢變小并趨于平穩，但影響程度小得多，撓度值變化小于4 μm；由圖11可見，當電樞到達0.8 m處時，此處撓度急劇增大，最大值約為w=2.148 mm，電樞經過后，該點撓度又快速變小。這也正反映了兩種載荷的不同性質，同時表明電樞力的作用是主要的。

圖10 導軌相互作用斥力對0.8 m處撓度影響Fig.10 Effect of repulsion on deflection of rail at 0.8 m

圖11 電樞作用力對0.8 m處撓度影響Fig.11 Effect of armature reaction on deflection of rail at 0.8 m

圖12為外加電壓U0=80 000 V，復合導軌內層、外層厚度比為1∶3時，導軌不同位置的撓度隨電樞移動距離的變化。圖12中不難看出，不同位置的撓度出現峰值的時間不同。當電樞滑動至相應位置時，撓度出現峰值，且各點撓度的最大值變化并沒有顯著的規律。圖13為外加電壓U0=80 000 V，厚度比分別為1∶3、1∶2和1∶1時，導軌0.8 m處的撓度值隨電樞移動距離的變化曲線。從圖13可以看出，厚度比為1∶3時撓度峰值最大，約為厚度比為1∶1時的2倍，一方面是因為銅的彈性模量比鋼的彈性模量小，導致復合梁整體的抗彎剛度降低，另一方面是因為銅質基層厚度的增加，減小了整體的電阻，提高了軌道內電流強度的值，在增加了發射速度的同時也增加了軌道的負載。

圖12 導軌不同位置撓度隨電樞移動距離變化曲線Fig.12 Deflection vs. armature moving distance at different positions

圖13 復合導軌0.8 m處撓度隨電樞移動距離變化曲線Fig.13 Deflection of rail at 0.8 m vs. armature moving distance

5 結論

由計算結果可見：復合導軌的動態響應與材料性質、接入電壓等參數有關，而導軌的撓度主要受電樞作用力影響；復合導軌一點處的撓度值隨電樞移動而變化，并在電樞移動到該點時達到最大；復合材料的屬性對軌道的影響是多方面的，鋼復合層的厚度增加會提高整體的剛度，但同時增加了系統的電阻，降低了發射效率，因此在進行復合軌道設計時需綜合考慮軌道變形和發射效率兩方面的影響，合理選擇設計參數。

References)

[1] 李軍，嚴萍，袁偉群. 電磁軌道炮發射技術的發展與現狀[J]. 高電壓技術. 2014,40(4):1052-1064. LI Jun, YAN Ping, YUAN Wei-qun. Electromagnetic gun technology and its development[J]. High Voltage Engineering, 2014,40(4):1052- 1064. (in Chinese)

[2] 林靈淑, 趙瑩, 袁偉群,等. 電磁軌道發射的瞬態溫度效應[J]. 高電壓技術, 2016,42(9):2864-2870. LIN Ling-shu, ZHAO Ying, YUAN Wei-qun, et al. Thermal effect analysis of railgun tests under transient conditions[J]. High Voltage Engineering, 2016,42(9):2864-2870. (in Chinese)

[3] 雷彬, 朱仁貴, 張倩 等. 電磁軌道發射器刨削產生特征與研究現狀[J]. 兵器材料科學與工程. 2011,34(3):76-80. LEI Bin, ZHU Ren-gui, ZHANG Qian, et al.Production features and research status of gouging in electromagnetic railgun [J]. Ordnance Material Science and Engineering, 2011,34(3):76-80. (in Chinese)

[4] 范長增, 王文魁. 發展中的電磁軌道炮[J]. 燕山大學學報， 2007,31(5):377-386. FAN Chang-zeng, WANG Wen-kui.Review on the electromagnetic railgun[J].Journal of Yanshan University, 2007, 31(5):377-386. (in Chinese)

[5] 田振國,白象忠,楊陽. 電磁軌道發射狀態下導軌的動態響應[J].振動與沖擊, 2012,31(2):10-14. TIAN Zhen-guo, BAI Xiang-zhong, YANG Yang. Dynamic response of rail during launch process of electromagnetic rail [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012,31(2):10-14. (in Chinese)

[6] Tzeng J T, Sun W. Dynamic response of cantilevered rail guns attributed to projectile/gun interaction-theory [J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2007, 43(1):207-213.

[7] 楊玉東, 王建新. 電磁炮發射原理數值建模與分析[J]. 火炮發射與控制學報, 2008,29(4):9-13. YANG Yu-dong, WANG Jian-xin. Numerical modeling and analysis on EM gun firing principle[J]. Journal of Gun Launch & Control, 2008,29(4):9-13. (in Chinese)

[8] 石江波，栗保明. 電磁軌道炮后坐過程研究[J]. 兵工學報, 2015,36(2):227-233. SHI Jiang-bo, LI Bao-ming. Research on recoil process of electromagnetic railgun[J]. Acta Armamentarii, 2015, 36(2):227-233. (in Chinese)

[9] 謝偉平, 王國波. 移動荷載作用下軌道系統的動力特性分析[J]. 鄭州大學學報,2003,24(1):24-27. XIE Wei-ping, WANG Guo-bo. Analysis of dynamic characteristics of rail system induced by moving load[J]. Journal of Zhengzhou University, 2003,24(1):24-27. (in Chinese)

[10] 華中理工大學數學系. 復變函數與積分變換[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002:180-206. Department of Mathematics, Huazhong University of Science and Technology. Function of complex variable and integral transform[M]. Beijing: Higher Education Press, 2002:180-206. (in Chinese)

[11] 王瑩, 肖峰. 電炮原理[M].北京: 國防工業出版社,1995: 17-88. WANG Ying, XIAO Feng. Theory of electrical gun[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 1995: 17-88.(in Chinese)

[12] 陳秉乾, 舒幼生, 胡望雨. 電磁學專題研究[M]. 北京: 高等教育出版社, 2001: 12-71. CHEN Bing-qian, SHU You-sheng, HU Wang-yu. Special research on electromagnetism[M]. Beijing: Higher Education Press, 2001: 12-71. (in Chinese)

[13] 俎棟林. 電動力學[M]. 北京: 清華大學出版社, 2006: 48-136. ZU Dong-lin. Electrodynamics[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2006: 48-136. (in Chinese)

[14] 米海耶夫M A. 傳熱學基礎[M]. 北京:高等教育出版社, 1958:338-378. Mihaeev M A. Basis of heat transfer[M]. Beijing: Higher Education Press, 1958:338-378. (in Chinese)

[15] 白象忠, 田振國. 板殼磁彈性力學基礎[M]. 北京: 科學出版社, 2006:51-84. BAI Xiang-zhong, TIAN Zhen-guo.Basis of magneto-elastic mechanics for plate and shell[M]. Beijing: Science Press, 2006:51-84. (in Chinese)

[16] 田振國, 白象忠, 楊陽. 電磁軌道發射狀態下導軌側面的局部接觸應力分析[J]. 固體力學學報, 2011,32(1):74-81. TIAN Zhen-guo, BAI Xiang-zhong, YANG Yang. The analysis of local contact stress on the side of rail when the electromagnetic rail is at a launching state [J]. Chinese Journal of Solid Mechanics, 2011,32(1):74-81.(in Chinese)

Dynamic Response of Composite Rail during Launch Process of Electromagnetic Railgun

TIAN Zhen-guo, MENG Xiao-yong, AN Xue-yun, BAI Xiang-zhong

(Key Laboratory of Mechanical Reliability for Heavy Equipment and Large Structures of Hebei Province, College of Civil Engineering and Mechanics, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, Hebei, China)

Armature is subjected to an electromagnetic force to move along the composite rail when electric current flows into the electromagnetic rail. The inner surface of the rail may be worn and planed due to ampere force and armature pressure, which limits the service life of the electromagnetic rail gun. Copper-based composite rail has good conductivity, corrosion resistance and higher strength. The composite rail is simplified as an elastic foundation beam, and its mechanical characteristics are analyzed. The general solution of the dynamic deflection of composite rail under moving load is obtained by using the two-dimensional Fourier transform. The dynamic response of the composite rail under the launching of electromagnetic railgun is obtained. The influences of the geometrical dimensions of composite rail and the input voltage on the dynamic response of composite rail are analyzed. The results show that the influence of armature pressure on the rail deformation is much larger than that of the repulsive force, and the dynamic property of rail can be improved by using the reasonable proportion of composite layer thickness.

ordnance science and technology; composite rail; dynamic response; Fourier transform; moving load; elastic foundation beam

2016-10-11

河北省自然科學基金項目(A2015203086)

田振國(1975—), 男，副教授。E-mail: tianzhenguo1@163.com

白象忠(1942—), 男，教授，博士生導師。E-mail: baixiangzhong@sina.com

TJ866； O343.3

A

1000-1093(2017)04-0651-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.04.004