基于對推理與證明的高考考點分析

安徽省利辛高級中學(236700) 陳國林●

贛南師范大學科技學院(341000) 寇桂晏●

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基于對推理與證明的高考考點分析

安徽省利辛高級中學(236700)
陳國林●

贛南師范大學科技學院(341000)
寇桂晏●

推理證明是教材內容的亮點之一，它需要的是一個思想過程，其中推理部分主要從合情推理和邏輯推理進行考查，證明部分主要從綜合法、分析法和反證法、放縮法、數學歸納法去考查學生的邏輯思維能力.

考點一 合情推理

例1 (2008全國卷2)平面內的一個四邊形為平行四邊形的充要條件有多個，如兩組對邊分別平行，類似地，寫出空間中的一個四棱柱為平行六面體的兩個充要條件：

充要條件①____；

充要條件②____．

解析 四棱柱為平行六面體的充要條件可以由四棱柱與平行六面體的定義加以條件強化即可，如下面可得一些充要條件：兩組相對側面分別平行；一組相對側面平行且全等；對角線交于一點且互相平分等．(答案不唯一)

評注 合情推理：歸納推理和類比推理都是根據已有事實，經過觀察、分析、比較、聯想在進行歸納.因此在求解此類問題時，需要與已經熟知的內容進行類比分析，得出結論.

考點二 邏輯推理

例2 (2016年新課標卷)有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數字不是 2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數字不是1”，丙說：“我的卡片上的數字之和不是5”，則甲的卡片上的數字是____．

考點三 反證法

例3 (2016屆湖北省武漢市武昌區高三5月調研)

(1)求a+b的值；

(2)證明：a2+a>2與b2+b>2不可能同時成立．

解析 (1)∵a>0,b>0，

∴ab≤1．

假設a2+a>2與b2+b>2同時成立，則由a2+a>2及a>0，得a>1．

同理b>1，∴ab>1，這與ab≤1矛盾．

故a2+a>2與b2+b>2不可能同時成立．

評注 利用反證法一般情況是推導過程中出現矛盾，或者和已知問題的條件矛盾，進而證明原結論成立.

考點四 綜合法

評注 綜合法的運用是根據由已知條件和某些定理及題目中的已知信息進行推理論證，最終得到需要證明的結論.

考點五 分析法

例5 (2016屆黑龍江省哈爾濱三中高三三模)已知函數f(x)=|2x-1|+|x+2|.

(1)求函數f(x)的最小值a；

評注 對于較復雜陌生式子的證明，我們可以先對它進行一些等價變形，直到化為簡單熟悉的形式，再證明這個變形后的式子成立.

題型六 數學歸納法

下面用數學歸納法證明②．

(1)當n=1時，左邊=右邊=2，②成立．

所以當n=k+1時，②也成立．

根據(1)(2)，可知②對一切正整數n都成立．

評注 數學歸納法有很多種，中學階段一般考查第一數學歸納法.數學歸納法的一般步驟為(1)證明當n取第一個值n0時命題成立；(2)假設當n=k(k≥n0，其中k是自然數)命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.

題型七 放縮法

解析 (1)略.

(2)當n=1時，結論顯然成立；當n≥2時，

Sn=b1+b2+…+bn

所以f(x)

G

B

1008-0333(2017)10-0016-02