敞亮經驗，建構數學“理解性教學”

陳昌萍

摘 要：從兒童、數學、教學和對話四個視角可以對數學“理解性教學”進行操作建構。兒童的“前數學經驗”是建構“理解性教學”的前提，數學的“活動性經驗”是建構“理解性教學”的基礎，教學的“生長性經驗”是建構“理解性教學”的關鍵，而對話的“生成性經驗”是建構“理解性教學”的源泉。

關鍵詞：理解性教學；前數學經驗；活動性經驗；生長性經驗；生成性經驗

“數學理解”是兒童數學學習的重要范疇，也是兒童數學學習的一種活動。人民教育出版社章建躍先生認為，“數學理解”是提升數學效率的重要途徑。英國著名數學教育心理學家斯根普認為，數學理解有三個層面：工具性理解、關系性理解（意義性理解）和創新性理解。這些關于“理解”的理論為研究和實施數學“理解性教學”提供了重要架構與支撐。在數學教學實踐中，筆者從兒童、數學、教學與對話四個視角出發，對數學“理解性教學”進行操作建構。

一、兒童的“前數學經驗”：“理解性教學”的前提

著名數學教育家奧蘇貝爾認為，影響數學教育最為重要的因素就是兒童已經掌握了什么。據此，在數學教學中，教師要洞察、豐富、運用兒童的數學前理解。兒童的數學前理解是數學教學的邏輯起點，主要包括兒童的原生經驗、雛形認知、原發思考、原初資源等。兒童的這些前經驗、前理解為兒童的數學學習活動走向深刻與豐盈提供了生長動力和現實路徑。

例如教學《認識小數》（蘇教版小學數學教材第6冊）的一個月前，筆者“預謀”，讓學生到商店了解各種商品的價格，并和“小數”親密接觸，豐富學生的數學前經驗、前理解。學生經過多次了解商品價格、買賣商品活動，與小數結下了深厚的友誼。在正式學習小數時，猶如“舊友重逢”，他們對小數不再陌生，一種熟悉的親近感油然而生。教學中，筆者“退居二線”，運用“問題導學單”對學生“友情提醒”，充分利用兒童的數學前經驗，讓兒童自主探究?！皩嵺`出真知”，通過數學活動，他們不僅認識了“一位小數”，而且對“兩位小數”“三位小數”等都有了較為深刻的認知。不僅如此，由于學生有了豐富的“買東西與找零”經驗，他們對“簡單的小數加減法”也有了相應的數學認識。豐富的活動經驗讓兒童的數學認知向后延伸，積累和孕育了兒童的“小數加減法”的后續活動經驗。這種豐富兒童前經驗的數學活動，對兒童的數學“前理解”來說是一種充實、一種激活、一種發現、一種打開……值得注意的是，由于兒童的數學前經驗、前理解是內隱的、粗糙的、感性的甚至是片面的、錯誤的，因此教師在教學中必須給予積極關注，適時激活與點撥，及時主動地跟進。

二、數學的“活動性經驗”：“理解性教學”的基礎

著名數學教育家張奠宙教授曾經這樣說，“教什么永遠比怎樣教更為重要?！痹跀祵W教學中，教師不僅要著眼于兒童，更要著眼于數學。要深刻地理解數學知識“是什么”，即要深刻領悟數學知識所蘊含的豐富的數學思想方法及其育人的科學價值。教學中，教師要對兒童的數學活動經驗進行提升，促進兒童的“數學理解”。

例如教學《認識方程》（蘇教版小學數學教材第10冊），教學中筆者引導兒童開展數學活動。首先是感性直觀，出示一架天平，讓學生在天平的兩邊放上砝碼，并用算式將天平的狀態描述出來，建立“等式”的概念，突破“等號”作為指示計算的作用，凸顯“等號”的關系性質。其次，讓學生將天平左邊或右邊的砝碼換成物體，天平不平衡，形成“不等式”的概念。再次，組織學生展開豐富有序的數學活動：一是在天平的左邊放上物體，讓天平保持平衡；二是在天平的右邊放上物體，讓天平保持平衡；三是在天平的左右兩邊同時放上物體，讓天平保持平衡，逐步分類、概括，建立“方程”的概念。在這個過程中，教師要依據學生的數學活動提升學生的數學活動經驗，促進學生的數學理解：由于物體既可以放在天平的左邊，也可以放在天平的右邊，所以方程中的未知數既可以在方程的左邊，也可以在方程的右邊，凸顯“含有未知數的等式是方程”這一數學知識本質。當兒童穩固地建立了“方程”的概念后，筆者引導學生通過具體的式子對方程、等式和不等式等展開辨析，讓學生對概念的本質屬性和非本質屬性有通透性的理解和認知。

三、教學的“生長性經驗”：“理解性教學”的關鍵

美國著名實用主義教育家杜威先生認為，“教育即生長?！痹诙磐抢?，“生長”是一種積極的、能動的力量，是內生而不是外鑠的。這啟示我們，在“理解性教學”中，當學生需要指引時，教師應給予學生思想、方法與力量，助推學生的學習；而當學生嘗試自主建構數學知識時，教師應當退到學生身后，即“以學定教”。在數學教學中所獲得的助推兒童生命成長的“生長性經驗”是“理解性教學”的關鍵。

例如教學《運用三角尺畫角》（蘇教版小學數學教材第7冊），筆者預設的環節是：①運用量角器量出一副三角尺上6個角的度數；②運用一副三角板中的任意兩個角進行拼角；③將得到的角按照從小到大的順序排列起來，你發現了什么？開始研究后，學生對于第一、第二個問題漸漸達成了共識：從30°，45°，60°，75°…一直到150°，180°。在對第三個問題展開交流時，許多學生都認為相鄰兩角相差15°，但是兩個角的空白讓另一些學生覺得“美中不足”。于是，筆者啟發學生“拼角的時候，我們除了可以運用加法如75°=30°+45°外，是否可以嘗試運用減法”，由此召喚孩子、“逼迫”孩子展開深度的數學思考。在孩子們的數學交流中，15°呼之欲出（即15°=45°-30°和15°=60°-45°）。當孩子們將三角尺中30°角與45°角的一條邊重合，將45°角與60°角的一條邊重合時，班上有一位學生卻將兩個90°的直角進行重合，他用量角器測量了三角尺兩條斜邊之間的夾角，竟然拼出了筆者都未曾拼過的165°的角，孩子們興奮無比。他們經歷了一種真正意義上的數學創造，將用“三角尺拼角”這一數學知識臻于完美。

四、對話的“生成性經驗”：“理解性教學”的源泉

兒童的數學理解建基于師生、生生、生本的平等對話?？梢哉f，沒有對話就沒有兒童思維的推進，沒有對話就沒有兒童思維的砥礪。對話仿佛是流淌在兒童、教師、教學媒介之間的意義溪流。在對話中，數學知識的原貌、本質將被凸顯出來，兒童在對話中能夠實現對數學知識意義和本質的理解。經過對話，兒童彼此間互相分享知識經驗、思想方法經驗，漸漸達成視界融合。

例如：教學《用方向和距離確定位置》（蘇教版小學數學教材第12冊），教學中，筆者放棄了教材中簡單呈現的教學路徑，從知識的發生視角展開教學。首先筆者運用多媒體課件在平面圖上顯示兩艘輪船分別從正北方向略偏東、正東方向略偏北兩個位置行駛過來，學生發現兩艘輪船都在同一個區域——東北區域內，但是位置不同，由此激發了學生創造“數學規定”的熱情。有學生認為，我們不能再用傳統的東北方向來刻畫船只的位置了；有學生認為，應該加上角度來精確刻畫位置；有學生認為，還要加上距離；有學生認為，方向的科學厘定比什么都重要；還有學生認為，一艘是正北方向略偏東，另一艘是正東方向略偏北；……這時，筆者運用多媒體課件展示了第三艘輪船，其位居“北偏東45度方向”，由此激發兒童認知沖突——“這個方向既是北偏東45°，也是東偏北45°，怎么辦呢？”這時，筆者出示指南針，經交流，孩子們普遍認為應當以南北方向作為基本方向。至此，孩子們深刻體驗到“北偏東”“南偏西”規定的合理性。在對話中，孩子們既關注了距離又關注了方向和角度。

基于兒童、數學、教學與對話的“前經驗”“活動經驗”以及“生長性經驗”“生成性經驗”是兒童數學素養、數學生命可持續性發展的重要資源。教學中，教師要適時點撥、啟發引領，助推兒童的數學發現、數學創造。要放大蘊含于數學知識中的數學思想與方法雛形，將數學知識融入兒童數學思想生長的脈絡中，不斷豐盈、敞亮、提升兒童的“數學之思”。