丟番圖平方和恒等式的探索之旅
——體現數形結合思想的一則教學案例

浙江師范大學教師教育學院 (321004) 王 安 師曉莉 朱 哲

丟番圖平方和恒等式的探索之旅
——體現數形結合思想的一則教學案例

浙江師范大學教師教育學院 (321004)
王 安 師曉莉 朱 哲

在中學數學教學中挖掘和滲透數學思想方法有非常重要的意義.近年來的高考越來越重視對數學思想方法的考察.經歷過數學競賽培訓的考生，大都掌握了一些高中課本所不曾接觸過的知識和數學思想方法，在高考應對某些難度很大的問題時往往輕車熟路，應對自如.例如在高中數學競賽中經常會出現恒等式的證明，求代數式的最值等問題，此時應用丟番圖平方和恒等式可以在解決問題時迅速挖掘出題目中的隱含條件，從而為解決難題提供捷徑.數學競賽的思想方法可以滲透到高考題中，使問題解決更巧妙.本文借助一道高中競賽題設計了一個滲透“數形結合”思想的教學案例，從一般到特殊，在高三復習課時以專題形式展開，在代數中融入幾何，培養學生數形結合的思想，將抽象思維變為形象思維，有助于把握數學問題的本質[1]，對解決高考難題有所啟發和幫助.

1.呈現問題情境

通過一個較簡單的高中競賽題引出丟番圖平方和恒等式，讓學生先獨立思考再相互討論.然后給出歷史上丟番圖的做法，通過呈現丟番圖平方和恒等式產生的數學史背景，簡單介紹“代數之父”丟番圖的著作《算術》以及其生平，引導學生了解其發展的過程，追根溯源，讓學生回到歷史之中，激發探索挑戰的興趣.

問題 若兩個不相等的自然數a、b使得等式(42+62)(32+52)=a2+b2成立，且a>b，則符合條件的數對有(a,b)= .(1991年廣西省高中數學競賽題)

歷史上也曾對類似的問題進行過討論，斐波那契在《平方數之書》中明確指出丟番圖曾在其著作《算術》第三卷的第19個問題中寫過一個算式：65=13×5=(32+22)×(22+12)=82+12=72+42.

據此，世人推測丟番圖很早就已經掌握了這個平方和恒等式所揭示的實數運算規律，因此，這個平方和恒等式被命名為丟番圖平方和恒等式，也成為后世阿拉伯人證明其他數學理論的強大工具.

引發學生思考：我們能把發現的規律用數學語言表示出來嗎？

若a、b、c、d是實數，則(a2+b2)(c2+d2)=(ad+bc)2+(bd-ac)2.

根據這個公式，我們可以得出上述問題的答案：滿足上述條件的數對是(38,18)或(42,2).通過解決高中數學競賽題，了解相關數學史實，讓學生經歷知識形成的過程，從中獲得成功的體驗.

2.證明丟番圖平方和恒等式

應用丟番圖平方和恒等式可以在解決高中數學難題時讓解法更加巧妙簡便.但在學習過程中，學生對于抽象冗長的數學公式還是很難理解和記憶.因此，我們將對其進行推導證明，從一般到特殊，逐步加深學生對丟番圖平方和恒等式的理解，為之后的應用打下良好的基礎.

在初中階段學生就已經學習了整式的乘法和相關的乘法法則，引導學生回憶學過的乘法法則和乘法公式.

①單項式與多項式相乘：a·(b+c)=ab+ac.

②兩數和的平方：(a+b)2=a2+b2+2ab.

③平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2等.

引導學生思考：我們可以用直觀的幾何圖形形象地表現這些代數恒等式嗎？讓大家動手畫一畫，然后教師通過幾何畫板向學生進行展示，具體見圖1，圖2，圖3.

圖1 圖2

圖3

通過幾何畫板演示圖形，在學生頭腦中初步構建了數形轉化的模型，重點關注平方差公式.與前面兩個公式不同的是平方差公式在代數式轉變成面積的基礎上，還要通過剪切拼接才能得到最后的結果，讓學生好好體會其中蘊含的數學思想方法，從一般到特殊，為下面丟番圖平方和恒等式的證明做好鋪墊.

接下來，教師提出更有挑戰性的問題.呈現丟番圖平方和恒等式：(a2+b2)(c2+d2)=(ad+bc)2+(bd-ac)2.

引導學生思考：古希臘的幾何成就斐然，在丟番圖之前已經涌現出了許多幾何大師，那么丟番圖平方和恒等式是否也蘊含了幾何背景呢？你能給出這個復雜的代數恒等式合理的幾何解釋嗎？

教師提出問題后，學生先獨立思考，然后小組交流相互補充，每個小組派代表來展示一下證明過程，鼓勵學生用多種方法進行證明.如果學生感到有困難，教師可以引導學生回憶用面積法證明平方差公式時，關鍵是用a,b表示出圖中相關正方形和長方形的面積，再找到它們之間的等量關系，由此遷移到丟番圖平方和恒等式的證明.

圖4

(1)幾何證法一

如圖1所示，在RtΔABC中，設AB=c,BC=d,AD=b,BE=a.則DB=c-b，CE=d-a.過點D、E分別作直角邊AB、BC的垂線，使它們交于點F，于是四邊形DBEF是矩形.

因此(a2+b2)(c2+d2)=(bc+ad)2+(a2+b2)(c2+d2)sin2θ.

又因為SΔACF=SΔABC-SΔADF-SΔCEF-S1(其中SΔACF、SΔABC、SΔACF、SΔCEF、S1分別表示各個三角形的面積以及矩形DBEF的面積.)因此

這個證明過程涉及的幾何知識并不難，只是運算稍微繁瑣一些，通過數形結合，揭示了丟番圖平方和恒等式的幾何背景.

(2)幾何證法二

引導學生思考：幾何證法一中丟番圖平方和恒等式的證明推導過程雖然思路簡單，但是需要進行大量運算，能否只通過直觀的形來揭示抽象的數的本質，達到“不證自明”？

丟番圖平方和恒等式其實有著非常直觀的幾何背景，觀察如圖5-圖10所示的一系列圖形就可以“不證自明”[2].

首先引導學生觀察恒等式的左右兩邊各有什么特點，左端很容易讓人聯想到矩形的面積公式.因此，圖5把丟番圖平方和恒等式的左式轉化成了一個長為(a2+b2)，寬為(c2+d2)的矩形面積表達式，十分巧妙地將抽象的代數式轉化成了直觀的圖形，與學生熟知的矩形面積聯系在一起，增加了親切感；圖6在圖5的基礎上將各個矩形面積轉化成了相對應的4個邊長分別為ac、bc、ad、bd的正方形的面積；圖7在圖6的基礎上，將正方形進行了重新拼接；圖8把圖7右側的圖形進行新的剪拼，為圖9的轉換做好準備；圖9將面積為abcd的矩形的長和寬進行了重新的轉換，恰好與圖8左側的圖形拼接組成了一個邊長為(ab+dc)的正方形；圖10則展示了最后拼接的結果，我們可以很直觀的看到通過一系列巧妙的剪割拼接，最后得到了一個面積為(ab+dc)2的正方形，和一個面積為(bd-ac)2的矩形.

通過數形完美的結合，用直觀的形來揭示數的本質，與幾何證法一相比更直觀，且避免了代數運算的繁瑣，達到“不證自明”的效果.另外，這種證法與導入平方差公式時給出的證明思想方法基本一致，讓學生學會遷移，舉一反三，加深對丟番圖平方和恒等式的理解，學會數形結合的思想方法.

通過提供多種證明方法，由學生進行選擇，培養學生學習的主動性，開闊學生的思路，同時滲透數形結合思想，也是分散，分步突破本節的重難點，引導學生學習時知識的正遷移，讓學生驚嘆于數形轉化之妙的同時，巧妙解決問題，增強探索數學的興趣.

3.丟番圖平方和恒等式在高中數學中的應用

在經歷了丟番圖平方和恒等式證明的探究之后，學生對其有了更深刻的理解，對數形結合也有了進一步的認識.因此，通過一些練習來進行應用鞏固，讓學生感受其在數學解題中發揮的巨大價值.

3.1 用丟番圖平方和恒等式證明二維柯西不等式

思考：你能用丟番圖平方和恒等式證明二維柯西不等式嗎？

二維柯西不等式：若a,b,c,d∈R,則(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

出示問題后，先讓學生獨立思考，然后小組之間交流討論，請一位同學上臺來展示一下他的做法，教師給予及時的點播和糾正，并給予鼓勵.

證明：∵a,b,c,d∈R,∴(ad-bc)2≥0,∵(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

通過丟番圖平方和恒等式的簡單應用來證明二維柯西不等式，由于思路清晰，一步到位，大部分學生都能在解決問題的過程中體會到成功的喜悅.

3.2 用丟番圖平方和恒等式解決高中數學競賽題

對于優秀的學生，用丟番圖平方和恒等式解決高中數學競賽題來開發他們的數學潛能.

由于個體存在差異性，對于班級里優秀的學生，通過此題能進一步強化對丟番圖平方和恒等式的理解，提高學生的思維能力和計算能力.利用丟番圖平方和恒等式解決高中數學競賽題，不僅可以讓學生領會數形結合的思想方法，而且讓學生面對高考難題時也會進行遷移，充滿挑戰的信心.

[1]葛益平.數形結合在高中數學中的妙用[J].中學數學.2016,(9):65-68.

[2]RogerB.Nelsen.數學寫真集(第一季)——無需語言的證明[M].機械工業出版社，2016：22.

[3](美)G·波利亞著.涂泓，馮承天等譯.怎樣解題——數學教學法的新面貌[M].上?？萍冀逃霭嫔?2002.

[4]朱哲.余弦定理：一則體現數學聯系與歷史的教學案例[J].數學通訊, 2005(17):1-3.

[5]歐陽絳.數學方法溯源[M].大連理工大學出版社,2008.