中國和新加坡的小學數學教科書中“統計與概率”內容編排的比較研究

周彥池+熊妍茜

摘 要：“統計和概率”是小學數學中的一個重要版塊，在生活中具有重要的地位。參照Charalambos Y.Charalambous等（2010）對教科書比較的研究框架，從橫向和縱向兩個維度對中國西師版和新加坡MCE版兩套小學數學教科書中“統計與概率”內容編排進行比較，發現：兩套教科書在統計內容上大同小異，其中西師版中有復式條形圖與復式折線圖的呈現，MCE版教科書沒有概率章節；兩套教科書在一到三年級的章節分布相同，四到六年級差異較大；兩套教科書都注重與生活、小學數學其他領域知識的聯系。建議：在內容設置上應注重家長與教師的參與；注意欄目中標點符號的多樣化使用，增強內容的情感和對學生的心理暗示；內容設置應該進一步貼近生活。

關鍵詞：小學數學教科書；統計與概率；內容編排；比較

一、研究背景

從20 世紀末開始，世界各國都將“統計與概率”的初步知識作為數學素養的一部分引入小學至高中的課程中。學生應該了解數據分析和有關概率方面的知識，并能做出統計判斷——成為見識廣博的公民和明智的消費者所必備的技能。我國《義務教育階段數學課程標準（實驗稿）》（2001版）和《義務教育階段數學課程標準》（2011版）均在每個學段安排“數與代數”“空間與圖形”（“圖形與幾何”）“統計與概率”“實踐與綜合運用”四個領域的知識，體現了“統計與概率”已經成為義務教育階段甚至是小學數學的一個重要版塊。

近年來，新加坡中小學數學教育連續三次在“國際數學與科學研究”（TIMSS）國際評估中名列前茅，標志著新加坡已經形成了具有自身特色的數學課程體系。此外，從文化背景看，新加坡和中國都深受儒家文化的影響，文化背景有很多相似之處。從新加坡小學數學教科書發展歷史來看，新加坡的數學教育發展史與我國的數學教育發展史類似，最開始從國外引進數學教科書，經過多次改革形成了符合國情的教科書。兩國都是在2001年新的數學標準頒布以后，將教科書的編訂權利放開，出現了各具特色的多套數學教科書。其中由新加坡Marshall Cavendish Education出版的《MY PALS ARE HERE！Maths》（2nd） （以下簡稱“MCE版”）是新加坡最成功、使用率最高的小學數學教科書。由中國西南師范大學出版社出版的《義務教育教科書數學》（以下簡稱“西師版”）已在多個省市使用，反映情況良好。

比較中國和新加坡的小學數學教科書，可以為我國小學數學教科書的編寫提供借鑒和參考。新加坡的小學數學對“統計與概率”這一領域非常重視。已有文獻中不乏關于中新兩國小學數學教科書、數學課標的比較研究，其中也有涉及“統計與概率”這一領域的比較，但是并沒有對小學數學中的“統計與概率”這一領域進行特定研究。因此，比較研究中國與新加坡小學數學教科書中的“統計與概率”領域是具有一定的意義及價值的。

二、研究設計

（一）概念界定

《義務教育階段數學課程標準（實驗稿）》（2001版）中對“統計與概率”領域的內容要求為：主要研究現實生活中的數據和客觀世界中的隨機現象，它通過對數據收集、整理、描述和分析以及對事件發生可能性的刻畫來幫助人們做出合理的推斷和預測?！读x務教育階段數學課程標準》（2011版）中對“統計與概率”領域的內容要求是收集、整理和描述數據，包括簡單抽樣、整理調查數據、繪制統計圖表等；處理數據，包括計算平均數、中位數、眾數、極差、方差等；從數據中提取信息并進行簡單的推斷；簡單隨機事件及其發生的概率。新加坡2007年啟用的數學課程標準中在“統計與概率”這一領域主要是數據分析，沒有涉及概率。綜合兩國課標，界定本研究中的“統計與概率”主要包含收集、整理和描述數據，用平均數處理數據，從數據中提取信息并進行簡單推斷，簡單隨機事件及其發生的概率。

（二）研究對象

本研究是對MCE版與西師版兩套教科書中“統計與概率”領域內容的編排進行比較研究。

MCE版教科書基于2001年新加坡教育部出臺的新的針對學生學習的教學大綱進行編寫，對于不同學生的學習需求都能滿足。這本教科書在新加坡很成功，小學每個年級都可以使用，且每個年級有兩本（A本與B本，和我國上、下冊的概念一樣）。西師版教科書是在2001年《義務教育階段數學課程標準（實驗稿）》頒布之后產生的，在教科書的編寫上有很多需要改進的地方，尤其是“統計與概率”這個相對新穎的領域。

（三）研究方法

本研究采用文本分析法、比較分析法。參照Charalambos Y.Charalambous等（2010）總結的教科書比較的研究框架，從橫向和縱向兩個維度對MCE版和西師版進行比較。橫向分析維度是指教科書的整體結構；縱向分析維度是指教科書的內容與其他方面的聯系。

三、研究結果與分析

（一）“統計與概率”領域內容編排的橫向比較

根據Charalambos Y.Charalambous等（2010）關于教科書比較的研究框架，橫向比較包含單元數、單元結構編排、所含內容的編排順序。

1. “統計與概率”領域單元數比較

西師版在“統計與概率”領域共設有10章，分布于9個學期，共有73頁，其中概率內容涉及3個學期、3個單元，有12頁；MCE版在“統計與概率”領域共設有6章，分布于6個學期，共有74頁。

從表1中可以看出MCE版并沒有專門設置概率章節。MCE版的知識分布更均勻。西師版在四年級占最大比例的統計知識，占總體的35.6%，MCE版每一章節都在15%左右，知識分布比較均勻；西師版從一到三年級分別只有一學期涉及“統計與概率”的知識，四到六年級每學期都涉及，MCE版從一到六年級都分別只有一學期涉及。

2. “統計與概率”領域單元結構編排比較

每個單元都是由很多個小欄目組合構成，要比較單元結構的編排，可以通過比較單元的欄目設置及其順序達到目的。

豐富的欄目設置增加學生了解數學的機會，符合小學生身心發展規律，促進教學活動多樣化和學生的自主學習，另一方面也打破了教師傳統的“滿堂灌”的單一教法。

通過表2可以發現，兩套教科書在欄目設置上存在的主要差異具體如下：

①欄目針對的對象范圍不同。MCE版的欄目設置針對的對象有學生、教師和家長，西師版則以學生參與為主，注重學生之間的交流互助，并未涉及與教師的交流，更缺少家長的參與。

②欄目設計意圖的具體要求和具體目的存在區別。MCE版的“Lets Learn！”中創設情境，引入新知識，與西師版章首的情景導入作用相同，只是西師版沒有設置特定的欄目；“課堂活動、練習題”與“Carry out this activity、Play This Game、Put On Your Thinking Caps！、Lets Practice！”所起的作用大同小異，但后者在名稱和內容上都更加突出數學的趣味性（如圖1），“Carry out this activity、Play This Game”中通過與朋友們共同做游戲鞏固知識，“Put On Your Thinking Caps！”中運用這一節所學習的知識解決一些非常規問題，“Lets Practice！”中給出一些練習題；“試一試”與“Try IT！”部分相同，不過后者明確要求要借助計算機等工具完成練習；“思考題”與“Maths Journal”都強調主動思考解決問題，但是后者還提到要與教師分享自己所學到的知識，自己找一個數學問題，還強調要了解其中的數學思維過程，注重語言表達和數學思維的養成。

③MCE版教科書的“特色欄目”?！癓ets Explore！”用于概念學習的一些活動，“Lets Wrap It Up！、Lets Revise！”是對這一節所學的知識的總結和復習，“Home Math”里的建議是為家長有意義參與活動做準備，使數學概念運用在家里或是周圍常見的場景中，讓數學變得鮮活，另一方面，通過家長和學生一起完成內容，可以讓學生發現數學概念常被運用于生活中，這樣可以提高學生學習數學的興趣和用數學解決現實問題的能力。這四個內容在西師版的欄目設置中沒有。

④西師版教科書的“特色欄目”?！澳阒绬帷边@一欄目中編排了一些數學史知識，使學生在學習中了解知識的歷史過程，學習數學家的精神，“綜合與實踐”欄目是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動，學生將綜合運用“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”等知識和方法解決問題?！罢f一說、議一議、你知道嗎、綜合與實踐”在MCE版的欄目設置中沒有。

⑤MCE版教科書利用標點符號“！”的潛在作用。MCE版一共出現11種欄目，其中就有6個欄目標題使用了“！”，給學生一種心理暗示“你一定行！”，相比之下，西師版的表達方式就略顯溫柔和平淡，缺少激情。感嘆號與逗號相比有強調某個內容、突出重點的作用，感嘆號還可以表示內容的突出、強烈和緊迫。感嘆號一般用于感情比較強烈的句子，使用感嘆號的句子有兩種：一種是表示意義和語句有所感嘆的， 另一種是表示強烈請求、熱烈祝愿、堅決命令和大聲召喚等。

總結得到，西師版與MCE版都注重新知識的情景導入、在活動和具體情景中學習與運用。MCE版在欄目的標題選取和內容設置上更注重體現數學的趣味性，發展學生的數學思維和對知識的整體把握，強調工具的應用以及重視家長在學生學習過程中的參與?！缎录悠聰祵W課程標準》（2007）的教育目標談到要發展學生的數學思維和問題解決能力，認識并運用數學思想間的聯系，培養學生對數學的積極態度，在數學學習和應用中有效使用各種數學工具。西師版在欄目內容設置上注重數學交流?！澳阒绬帷边@一欄目為學生提供關于相應知識點的數學文化知識，在教學中適時介紹一些相關背景知識，激發學生學習數學的興趣，逐步感受數學家治學的嚴謹，更能體現數學的美?！熬C合與實踐”部分在學習活動中，學生將綜合運用“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”等知識和方法解決問題?！熬C合與實踐”的教學活動應當保證每學期至少一次。

3. “統計與概率”領域內容編排順序比較

MCE版與西師版兩套教材中“統計與概率”領域的章節順序如表3所示。

從表3可以看出，西師版與MCE版的“統計與概率”領域都涉及數據收集、整理和描述，用平均數處理數據，從數據中提取信息并進行簡單推斷，但是MCE版并沒有專門設置概率章節。兩套教科書在內容選取及順序安排上差別比較明顯。在結構上，兩者的前面兩單元都是以實例或圖片構造一些具有簡單統計思想的情景介紹數學知識，然后再把條形統計圖、折線統計圖、扇形統計圖和平均數分別安排成一章，貫穿整個小學階段。兩者的不同之處有四：其一，就“統計”部分而言，西師版中“統計”內容的編排梯度較MCE版更小，西師版相比之下在三年級下冊多設置了“簡單的統計活動”這一章，讓學生“體驗”一些簡單的統計活動，了解統計的基本知識，為接下來的學習做準備，因為四年級上冊馬上就要學習“條形統計圖”；其二是平均數被安排的年級不一樣，西師版是安排在四年級下冊，在講折線統計圖之前，而MCE版安排在五年級下冊，在折線統計圖之后；其三是西師版在統計中交叉、螺旋安排了概率內容；其四是MCE版中把“表格”作為章節標題與折線統計圖安排在一章，且在正式介紹表格之前并沒有用過規范表格，而西師版沒有對“表格”做一個特別安排，而是從一年級就自然出現，潛移默化地參與、影響學生的學習，作為統計中最基本、應用非常廣泛的統計表，其定義非常簡單直觀，學生理解起來不是問題。

（二）“統計與概率”領域內容編排的縱向比較

根據Charalambos Y.Charalambous等（2010）總結的教科書比較的研究框架，縱向分析維度是指教科書的內容與其他方面的聯系。數學教科書的內容與其他方面的聯系可以從數學教科書中的背景素材情況進行分析。PISA（2012，2015）測試題目中都把題目的現實背景分為個人、社會、職業和科學?！皞€人”現實背景特指以家庭和非學校內的與學生直接相關的生活為背景?！吧鐣爆F實背景是指與學生沒有直接關系，但確實是現實生活中的背景。由于研究對象均是小學數學教科書，所以“職業”特指學生，相對應的現實背景即為學校生活?！翱茖W”現實背景指小學數學教科書中除數學以外的其他學科的知識。綜上分析得到：教科書內容與其他方面的聯系主要分為與生活的聯系（按照與學生是否有直接關系，又分為與個人生活聯系和與社會生活聯系）、與小學其他學科的聯系、與小學數學其他知識領域的聯系。在《義務教育階段數學課程標準》（2001）與《義務教育階段數學課程標準》（2011）中，數學知識都包括四大類：數與代數、空間與圖形或圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐；在《新加坡數學課程標準》（2007）版中小學一到四年級數學知識包括數、測量、幾何、數據分析，五年級增加了分數、小數、百分數、比例，六年級增加了比率、速度和代數，總的來說可以歸結為數、代數、測量與幾何。根據兩國課標把小學數學其他知識領域界定為數與代數、圖形與幾何兩類知識。

兩套小學數學教科書都是以題為最小單位構成每個單元，因此欲比較兩套教科書內容與其他方面的聯系，可以通過比較兩套教科書在“統計與概率”領域的所有題目的背景素材來得到。所以對兩套教科書在“統計與概率”領域的所有題目（MCE版92道題，西師版147道題）按其現實背景（與生活的聯系、與其他學科知識的聯系、與小學數學其他知識領域的聯系）進行統計（不對純數學題目進行歸類），得到結果：西師版中與生活有聯系的題目有134道，與小學其他學科知識有聯系的有28道，與小學數學其他知識領域有聯系的有62道；MCE版中與生活有聯系的題目有80道，與小學其他學科知識有聯系的有9道，與小學數學其他知識領域有聯系的有76道。具體如表4所示。

西師版和MCE版都注重數學與生活的聯系、數學與小學數學中其他知識領域的聯系。In addition，it can be argued that for almost all students，the motivation to learn mathematics increases when they see the relevance of what they are learning to the world outside the classroom and to other subjects. （學生所學內容與課堂之外的世界以及與其他學科之間有關聯時能提高學生學習的動機。）弗萊登塔爾在《作為教育任務的數學》一書中寫道：“我完全同意恩格爾的主意，即在學生剛剛學過分數以后，就可以把概率滲透到所有的數學中去。這樣做不僅可為以后的概率教學帶來方便，而且能使學生所學的數學更加接近現實。這樣安排的概率，不是一門充斥著定理和公式的枯燥的學問，它充滿著大量的具體的問題，這時的概率被學生當作生活的一部分來體驗?！?這說明概率不是一個孤立的知識，而應與數學中的其他知識相聯系。其實不僅限于概率，任何一個數學知識都不是孤立存在的。

考慮到學生的不同來源（農村和城市的學生都有），西師版教科書的素材在選取時既有源于農村情景的素材，又有源于城市情景的素材，還有源于工廠的情景素材等。

研究還發現，在對學生的要求方面，西師版比MCE版更高；西師版更樂于讓學生在“游戲”中學，MCE版偏向于設置現實背景幫助學生學習的。西師版在平均數這一章繼續涉及條形統計圖和復式條形圖，折線統計圖里涉及復式折線圖；MCE版并沒有涉及復式統計圖，在平均數這一章也沒有涉及其他統計知識。西師版在平均數這一章繼續深入條形統計圖的學習是為了讓學生體會平均數的作用，既能計算平均數，又能用自己的語言解釋其實際意義。

MCE版中與生活相聯系的部分有接近90%的內容都與個人生活有聯系，比如設置的情景有學生個人生活、超市、野炊等，也有少量游戲；西師版中與生活相聯系的部分有77%左右的內容與個人生活有聯系，剩下的部分多與社會生活相聯系，比如工廠生產、某店的銷售額等。西師版較多是以小組形式做游戲，在游戲過程中學習、強化。兩版教材都注重知識的形象具體化，符合學生的身心發展特點，從“做中學”到“做中用”。

四、研究建議與思考

截至2011年7月，新加坡人口將近507萬，其中華人占了76.8%。新加坡與中國有著相似的東方傳統教育思想，除引進西方的教學理論之外，也力求改善和更新其數學課程、教材和教學法。但是，兩者之間仍然存在差異，新加坡中小學數學教育連續三次在“國際數學與科學研究”（TIMSS）國際評估中名列前茅，這標志著新加坡已經形成了具有自身特色的數學課程體系。比較兩國的教材，可以為統計與概率的教科書編寫提供借鑒和參考，根據比較結果，為西師版“統計與概率”領域的編寫提出以下幾點建議，以供思考。

（一）提供更多教師與學生交流、家長參與的機會

在內容設置上應該滿足讓家長與教師都能夠參與進來。在現代教育理念中，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者，既要注重學生之間的交流合作，也要注重學生與教師的交流，更要注重家長的參與。1998年5月，全國家長教師協會（National Parent Teacher Association，即NPTA）制定了《家長、家庭參與教育計劃國家標準》（National Standards for Parent/Family Involvement Program），提出了六條家長、家庭參與教育的標準，其中第三條是學生的學習（Student Learning），指家長在幫助孩子學習方面起著不可或缺的作用；《2000年的目標：美國教育法案》（Goals 2000 ：Educate America Act）和新修訂的《初中等教育法案》（Elementary and Secondary Education Act）中，都將家長參與教育放到了優先的地位。美國學者安妮·漢得森（Anne Henderson）和南茜·波拉（Nancy Berla）在大量而廣泛的調查研究的基礎上編寫了一套叢書，得到關于家長參與教育的研究結果為：不論家長的貧富、種族背景以及受教育程度如何，只要他們參與到孩子的學習中，孩子的學業成績就能提高；家長參與的范圍越廣，學生就越容易取得較好的成績；家長參與到孩子的教育中，孩子考試就能得高分，課堂出勤率就高，就能正常地完成家庭作業；家長的參與能使學生用積極的態度對待學習；有家長參與的孩子的畢業率高，進入高一級學校學習的入學率也高等。日本采用PTA（Parent Teacher Association）運作模式，即父母與教師聯合會。PTA致力于溝通學校與家庭、社區的聯系，為的是創造一個有利于青少年成長的環境，這成為中小學教育中不容忽視的教育力量。

（二）用詞趣味化，標點符號運用多樣化，潛在激發學生信心

“思考題、試一試、說一說、議一議”這些用詞簡明扼要，若能再在里面增加一些趣味性詞語，便能增加學生對教科書的喜愛程度，引起學生學習數學的興趣，使學生在使用數學書時有一種探索奧秘、徜徉在游戲世界中的感覺?！八伎碱}”可以考慮“你行你來做！”，“試一試”可以考慮“不試不知道，一試嚇一跳！”，“說一說”可以考慮“掀起你的思緒來”，“議一議”可以考慮“你一言我一語”等。注意欄目中標點符號的多樣化使用，增強內容的情感和對學生的心理暗示。在“你知道嗎”這一欄目中完全可以加上“？”。季建萍（2005）從心理學角度闡述了標點符號的修辭作用。標點符號作為刺激物，可引起人們的注意，產生新異性。標點符號具有表示停頓、語氣以及詞語的性質和作用，它還是建筑文章大廈必不可缺的材料；標點可以渲染特定的環境氣氛，突出表達重點，借以體現語言層次；有的標點符號能體現出作者思維的跳躍，有的標點符號能引導讀者思索探究進程。

（三）內容設置更加生活化、親近化

內容設置應該進一步貼近生活?！读x務教育階段數學課程標準》（2011）的課程理念中這樣提到：“課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索?！苯y計與概率本就注重應用，由于又是小學教科書，重點應該在小學生的應用，因此應用的背景也應該與小學生的生活很接近。在西師版中，“統計與概率”有超過80%的內容都與生活有關，但其中沒有多少內容是與學生個人及家庭生活相關，很多都是以工廠的產量為背景，雖然也是實際生活，但不免離學生較遠，平時學生根本沒有機會實際接觸。西師版教科書雖然考慮到有農村學生使用的情況，設置了農村素材，但是這些素材同樣也與學生的距離較遠。此外，《義務教育階段數學課程標準（實驗版）》（2001）在基本理念中這樣談道：“學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流等數學活動?！捎趯W生所處的文化環境、家庭背景和自身思維方式的不同，學生的數學學習活動應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程?！币虼?，更多地以學生個人及家庭生活為背景，可以更好地貫徹課標理念，也可以更好地激發學生學習的主動性。

（四）更多地與其他學科知識相融合

In addition，it can be argued that for almost all students，the motivation to learn mathematics increases when they see the relevance of what they are learning to the world outside the classroom and to other subjects.（學生所學內容與課堂之外的世界和與其他學科之間有關聯時能提高學生學習的動機。）數學知識是學習所有學科的基礎。M.克萊因曾說：“音樂能激起或平靜人的心靈，繪畫能愉悅人的視覺，詩歌能激發人的感情，哲學能使思想得到滿足，工程技術能改善人的物質生活，而數學則能夠做到所有這一切?！睌祵W與很多學科都有很大聯系。亞歷山大洛夫說：“歸根到底，數學的生命力的源泉在于它的概念和結論，盡管抽象，但卻如我們所堅信的那樣，它們是從現實中來的，并且在其他科學中，在技術中，在全部生活實踐中都有廣泛的應用。這一點，對于了解數學是最重要的?！鳖欍鲢?、邵光華（2009）在《作為教育任務的數學思想和方法》中說道：“幾乎每個人都知道，數學在工程設計中具有極其重要的實用價值，但是卻很少有人懂得數學在科學推理中的重要性，以及它在重要的物理科學理論中所起的核心作用?！盡.克萊因在《古今數學思想》中系統論述了各個不同歷史時期數學與文學、繪畫、哲學、宗教、美學、音樂、人文科學、自然科學等文化領域的內在聯系。在與其他學科相融合的時候，要考慮到學生的接受能力和心理發展特點，要盡可能符合學生平時能夠接觸的范圍。