強迫Lorenz系統的可預報性研究?

李保生1)2) 丁瑞強1)3)? 李建平4)5) 鐘權加1)2)

1)(中國科學院大氣物理研究所,大氣科學和地球流體力學數值模擬國家重點實驗室,北京 100029)

2)(中國科學院大學地球科學學院,北京 100049)

3)(成都信息工程大學,高原大氣與環境四川省重點實驗室,成都 610225)

4)(北京師范大學全球變化與地球系統科學研究院,北京 100875)

5)(全球變化研究協同創新中心,北京 100875)

(2016年11月11日收到;2016年12月15日收到修改稿)

強迫Lorenz系統的可預報性研究?

李保生1)2) 丁瑞強1)3)? 李建平4)5) 鐘權加1)2)

1)(中國科學院大氣物理研究所,大氣科學和地球流體力學數值模擬國家重點實驗室,北京 100029)

2)(中國科學院大學地球科學學院,北京 100049)

3)(成都信息工程大學,高原大氣與環境四川省重點實驗室,成都 610225)

4)(北京師范大學全球變化與地球系統科學研究院,北京 100875)

5)(全球變化研究協同創新中心,北京 100875)

(2016年11月11日收到;2016年12月15日收到修改稿)

根據非線性局部Lyapunov指數方法,分別以常數強迫Lorenz系統和準周期強迫Lorenz系統為例,研究了在外強迫存在的條件下混沌系統可預報性的改變.結果表明:外強迫會影響混沌系統的可預報性,兩種不同類型的強迫Lorenz系統的可預報期限都隨著外強迫的增強而增加,但是大小相等方向相反的外強迫對系統可預報性的影響不同,其中正值強迫比負值強迫作用下的可預報期限更長,并且這種差異隨著強度的增加而增大;不同形式的外強迫對可預報性的影響也不同,常數強迫的影響主要體現在誤差增長的線性階段,準周期強迫的影響除了線性階段還必須考慮到非線性階段;當強度相等的常數強迫和準周期強迫驅動Lorenz系統時,常數強迫作用下的系統可預報性更高.本文基于混沌理論模型的研究,對于實際大氣的可預報性研究具有一定的啟示意義.

非線性局部Lyapunov指數,可預報性,外強迫,Lorenz系統

1 引 言

大氣是一個復雜的非線性系統,具有內在隨機性[1,2],因此其可預報時效有一定的范圍,超出范圍,預報將失去技巧.雖然混沌系統對初值十分敏感,但是系統的短期行為仍是可預測的[3?7].大氣系統存在可預報性是其固有屬性,確定和估計這種預報時效的長短,研究誤差增長和傳播規律等是可預報性理論研究的主要內容,其中定量的估計可預報時效也是一個重要課題.當前關于可預報性的研究工作中,丁瑞強和李建平[8?10]提出的非線性局部Lyapunov指數(NLLE)的方法,克服了傳統Lyapunov指數的局限,不做任何線性近似,考慮到非線性項對誤差增長的貢獻,而且能夠定量地估計混沌系統的可預報期限,該方法已經被應用到實際天氣和氣候的可預報性研究中,并取得了很好的效果[11?18].

在可預報性問題的研究中,除了要考慮初值的不確定性,外強迫的影響也很重要[19].大量的研究結果表明,強迫項在真實大氣中是不可忽視的,例如在氣候研究中常關注海表溫度或海冰對環流的強迫作用[20?22],尤其是準周期為3—7年的ENSO循環對全球氣候變化的貢獻[23?25].外強迫條件的變化和異常會影響大氣內部的動力過程,從而影響天氣和氣候的可預報性.但在以往有關強迫項的研究中,較少的工作涉及外強迫影響混沌系統可預報性的問題.外強迫的改變會使得混沌系統的可預報期限產生怎樣的變化,尚需進一步的研究.同時,大氣作為非線性動力系統,常用非線性理論模型來體現大氣系統運動的非周期性和運動軌跡對初值的敏感性,但以往的研究主要集中探討其動力結構和動力學統計性質等內容[26,27],涉及可預報性方面的研究工作還較少.

本文借助于Lorenz理論模型,并利用NLLE的方法,給出了定常強迫Lorenz模型[28]和準周期強迫Lorenz模型[29]在外強迫強度改變的條件下混沌系統誤差增長規律和可預報期限的變化,以及外強迫對Lorenz系統混沌性質的影響.

2 方 法

本文采用NLLE方法定量地估計混沌系統的可預報期限.由于傳統的Lyapunov方法[30?32]都假設初始誤差無限小,誤差發展滿足切線性近似,因而忽略了非線性項對誤差增長的貢獻,使得傳統方法無法描述有限尺度大小的初始誤差對可預報性的貢獻,因此存在很大的缺陷和不足.NLLE方法不做任何線性近似,保留所有的非線性項,直接對誤差演化的非線性方程進行積分求解.

對于一個n維非線性動力系統,其原始誤差演化方程表示如下:

其中x是t時刻系統的狀態向量,δ是狀態x上疊加的誤差,J(x)δ是切線性項,G(x,δ)是關于誤差的高階非線性項.將誤差演化方程(1)的解從t=t0到t0+τ進行數值積分,得到

其中δ1= δ(t0+τ),x0=x(t0),δ0= δ(t0), η(x0,δ0,τ)為非線性誤差傳播算子. NLLE被定義為

這里λ(x0,δ0,τ)不僅依賴于相空間中參考軌道的初始狀態x0和演化時間τ,還與初始誤差δ0有關.系統全局吸引子上的整體集合平均的非線性局部Lyapunov指數可表示為

這里?代表系統全局吸引子的區域范圍,〈·〉N表示N(N→∞)個樣本的集合平均.在此基礎上可以獲得初始誤差的平均相對增長,

由(3),(4)和(5)式可得

對于一個混沌系統,隨著τ→ ∞,δ1(t0+τ), δ2(t0+τ),···,δN(t0+τ)相互獨立,并且收斂到同一分布,根據Ding和Li[8]證明的飽和定理,誤差的平均相對增長以概率意義收斂到一個常數,即

3 試驗設計

本文選取兩個簡單的強迫Lorenz系統來研究不同類型的強迫以及外強迫強度的改變對其可預報性的影響.

3.1 常數強迫Lorenz系統

在經典Lorenz模型基礎上,Palmer[28]引入常數強迫的Lorenz模型,其方程為

其中σ=10,r=28,b=8/3,分別為Prandtl數、Rayleigh數以及表示與對流尺度相聯系的參數.強迫參量的選取,利用M ittal等[33]研究的情形,其中Fx=σF,Fy=?F,Fz=0.當強迫項存在時, Lorenz系統出現混沌現象除了與自身參數σ,r,b有關,還受到F的限制.這種條件下,強迫項存在臨界值Fc=1.61,僅當|F|＜Fc時,系統表現出混沌.本文在保證系統混沌性的前提下,通過變化強迫項F的大小來研究系統可預報性的改變.

3.2 準周期強迫Lorenz系統

本文選取的準周期外力強迫的Lorenz方程如下:

方程中的參數σ,r,b與常數強迫情形下相同,A為準周期外強迫的振幅;v為常數,v=2π;w為無理數,取值為,計算中采用有理數來近似表示,w=0.618.本文通過變化外強迫振幅A的大小來研究Lorenz系統的可預報期限對外力強迫的響應.

由于強迫Lorenz系統的控制方程已知,我們采用直接積分誤差演化方程的方法來計算NLLE,從而定量地確定不同強迫條件與系統可預報性的關系.

4 結果分析

4.1 常數強迫Lorenz系統

圖1給出了常數強迫Lorenz系統分別在有強迫和無強迫的條件下,初始誤差(δ0=10?6,下文同)的增長規律和可預報期限的變化情況.從圖1(a)可以看出:無論是否存在強迫,Lorenz系統的ˉλ都在最初階段表現出突然增加為較大的正值,這段時間可以認為是初始誤差隨時間調整到誤差最快增長方向的適應階段;隨后ˉλ逐漸趨于常數,該階段為誤差增長的線性階段,誤差增長率在此階段表現出明顯的分離現象,其中有常數強迫條件下的ˉλ相比無強迫時的情形下要小;當進一步發展到非線性階段后,有強迫和無強迫系統的誤差增長率逐漸趨于一致.與之對應的有強迫存在的情形下,lnˉE的增長也更為緩慢;盡管進入到非線性階段后,最終達到的飽和值相等,但是有強迫存在時的lnˉE達到飽和需要的時間更長,即可預報期限增加(圖1(b)).以上結果表明,當常數強迫存在時, Lorenz系統的誤差增長規律和可預報期限會發生改變.常數強迫的驅動使得系統的誤差增長更加緩慢,造成可預報性的增加,同時外強迫對誤差增長的影響主要體現在線性階段.

圖1 (網刊彩色)常數強迫Lorenz系統的(a)NLLE和(b)誤差的自然對數lnˉE隨t的變化(黑色實線,F=0;紅色實線,F=1.5;黑色水平虛線,飽和值的98%)Fig.1.(color on line)Tem poral evolution of(a)the NLLE and(b)the error grow th of the Lorenz system w ith constant forcing(b lack solid cu rves,F=0;red solid curves,F=1.5;b lack dashed horizontal cu rve m eans the value correspond ing to the 98%satu rated bias).

為了進一步分析不同大小和方向的常數強迫對Lorenz系統的影響規律,圖2給出了Lorenz系統的誤差增長率和誤差增長曲線隨著不同常數強迫的變化.從圖2(a)可以看出:ˉλ在最開始經過短時的調整之后,進入到線性階段,在該階段表現出明顯的分離現象,隨著|F|的增大,線性階段的ˉλ隨之減小;當發展到非線性階段之后,不同強迫條件下的誤差增長率趨于一致.誤差增長曲線(圖2(b))也顯示了相應的發展情況,雖然混沌系統的初值誤差在各強迫條件下達到的飽和值相等,但是lnˉE的增長速度并不相同,|F|越大,增長曲線的曲率越大,意味著最終達到飽和所需的時間越長.此外,我們還可以注意到,大小相等方向相反的外強迫對可預報期限影響不同.當F=±0.5時,誤差增長曲線比較接近;隨著F增加到±1.0時,兩條誤差增長曲線在線性增長階段有較為明顯的分離,并且F=1.0的誤差增長速度更為緩慢;當F進一步擴大到±1.5時,誤差增長曲線的分離表現更為明顯,其中F=1.5的增長速度更慢.可見,大小相同方向相反的常數強迫并不都對誤差增長產生相同的影響,正值強迫對于可預報性增加的影響更為顯著.

圖2 (網刊彩色)不同強迫條件下,常數強迫Lorenz系統的(a)NLLE和(b)誤差的自然對數lnˉE隨t的變化(黑色水平虛線:飽和值的98%)Fig.2.(color on line)Tem poral evolution of(a)the NLLE and(b)the error grow th of the Lorenz system w ith d iff erent constant forcings(b lack dashed horizontal curve m eans the value corresponding to the 98% satu rated bias).

為了更加直觀地分析不同強迫對Lorenz系統可預報期限的影響,圖3給出了可預報性期限TP隨不同強度的常數強迫的變化曲線.首先,從圖3可以看出,隨著外強迫強度的增強,可預報性也隨之增加;其次,曲線的非對稱性更明顯地表述出大小相等、方向不同的|F|對混沌系統產生著不同的影響,也說明了Lorenz系統對正負強迫的響應不同. Lorenz系統可預報性的增加對正值強迫的響應要比負值強迫更加明顯,隨著強迫強度的增加,這種差異越為顯著.

傳統Lyapunov指數常用來表示混沌系統的改變,Ding和Li[18]在研究中曾指出線性階段的NLLE與傳統Lyapunov指數大致相等,因此本文利用誤差增長率在其線性平穩階段的平均值ˉλL來估計系統的內部變化.從圖4給出的誤差增長線性階段的平均值ˉλL隨外強迫的變化曲線可以看出,不存在常數強迫時的ˉλL最大.隨著正強迫值的增加,ˉλL隨之減小,負值亦然.但不同的是,強迫為正值時,ˉλL曲線的下降趨勢比強迫為負值時更加明顯,意味著正值強迫下ˉλL減小速度更快,與圖3中的結論相符合.由此可見,外強迫的存在改變了系統的誤差增長規律,強迫越強,誤差增長越慢,可預報期限越長;同時,對于強度相等的外強迫,正值強迫比負值強迫下的可預報期限更長.

圖3 常數強迫Lorenz系統的可預報期限TP隨強迫F的變化Fig.3.The p redictability lim it TPof the Lorenz system w ith constant forcing variesw ith the ex ternal forcing strength F.

圖4 常數強迫Lorenz系統的ˉλL隨強迫F的變化Fig.4.The average NLLE of the linear phaseˉλLof the Lorenz system w ith constant forcing varies w ith the ex ternal forcing strength F.

4.2 準周期強迫Lorenz系統

圖5給出了Lorenz系統在準周期強迫條件下的誤差增長率與誤差增長曲線.同常數強迫Lorenz系統一樣,系統誤差增長率在經過短時間的調整后進入到線性階段,此時系統受到準周期強迫驅動的相比無強迫情形下的小,隨著時間發展,由于非線性作用的增強,增長率最終趨于一致(圖5(a)).圖5(b)的誤差發展曲線也顯示出,系統存在準周期外強迫時,初始誤差的增長速度要更加緩慢,達到飽和的時間更加長,可預報期限增加.由此可見,準周期強迫增加了Lorenz系統的可預報性.

圖5 (網刊彩色)準周期強迫Lorenz系統的(a)NLLE和(b)誤差的自然對數lnˉE隨t的變化(黑色實線,A=0;紅色實線,A=15;黑色水平虛線,飽和值的98%)Fig.5.(color on line)Tem poral evolution of(a)the NLLE and(b)the error grow th of the Lorenz system w ith quasi-periodic forcing(b lack solid cu rves,A=0;red solid cu rves,A=15;b lack dashed horizontal curvem eans the value correspond ing to the 98%satu rated bias).

圖6 (網刊彩色)不同強迫條件下準周期強迫Lorenz系統的誤差自然對數lnˉE隨t的變化(黑色水平虛線:飽和值的98%) (a)準周期強迫振幅A為負值;(b)準周期強迫振幅A為正值Fig.6.(color on line)Tem poral evolution of the error grow th of the Lorenz system w ith diff erent quasiperiodic forcings(b lack dashed horizontal cu rvesm ean the value corresponding to the 98%saturated bias): (a)The quasi-period ic forcings are negative;(b)the quasi-periodic forcings are positive.

圖6給出的準周期強迫Lorenz系統在不同強迫振幅A作用下的誤差增長曲線,可以從中進一步分析系統可預報期限隨強迫振幅的變化情況.外強迫振幅為負值的變化過程中(圖6(a)),當A在?9內變動時,誤差增長達到飽和需要的時間有增加的趨勢,但是尚不明顯,比較接近無強迫條件下的情形;但當A從?10開始增加,隨著|A|的增加,誤差增長速度減小趨勢顯著,達到飽和所需要的時間也明顯增加;外強迫為較小的正值時(圖6(b)),誤差增長同樣比較接近無強迫的情形;當A從7開始增加,可以看出誤差增長曲線的曲率依此增大,即誤差增長速度依此減小,達到飽和的時間增加.以上結果表明,在不考慮外強迫方向的前提下,初始誤差的增長速度在整體上表現出隨著外強迫振幅的增加而減小,從而使得可預報期限增加.

圖7給出了準周期強迫Lorenz系統的可預報期限在不同的振幅作用下的變化曲線.從圖7可以更明顯地看出,在A=0時的可預報期限最短,隨著|A|的增加,可預報期限增加,這一趨勢隨著外強迫的增強變的明顯;在|A|較小時,TP的增長過程存在一定的波動,這與圖6分析的誤差增長曲線分離不明顯結果對應;可預報期限變化曲線的非對稱性表明,大小相等方向不同的外強迫對系統可預報性的影響效果不同,當外強迫的振幅較小時,外強迫方向的影響尚不顯著,但是當振幅較大時,外強迫方向的作用使得正值強迫驅動下的系統可預報期限更長.

圖7 準周期強迫Lorenz系統的可預報期限TP隨強迫振幅A的變化Fig.7.The p redictability lim it TPof the Lorenz system w ith quasi-periodic forcing varies w ith the ex ternal forcing m agnitude A.

圖8給出了準周期強迫Lorenz系統的NLLE在線性平穩階段的平均值ˉλL隨強迫振幅A的變化曲線.首先,隨著|A|的增加,ˉλL呈現減小趨勢,即系統誤差增長速度依此減緩,圖7得出的可預報性增加的結論與之對應;其次,ˉλL在減小的過程中存在波動,尤其當|A|較小時表現明顯,解釋了可預報期限的波動增加趨勢;圖8中大小相等的外強迫,負值時的ˉλL比正值時的小,這時負值下的可預報期限應該更大,但圖7中的結果顯示正值時較大.這可能是因為隨著外強迫的增強,準周期強迫對于非線性階段的影響開始顯著,不再局限于誤差增長的線性階段,這是與常數強迫不同的地方,即不同形式的外強迫對系統誤差增長的影響階段是不同的.

為進一步說明不同形式的外強迫對系統誤差增長的影響不同,圖9給出了外強迫的強度相等(外強迫強度都選取為?1)時,常數強迫Lorenz系統和準周期外強迫Lorenz系統的誤差增長率和誤差增長曲線.從圖9可以看出,常數強迫情形下的誤差增長在其線性階段更加緩慢,最終達到飽和的時間更久,可預報期限更長.這種結果顯示出,強度相等形式不同的外強迫對系統的影響是不同的,系統受到常數強迫影響的可預報期限更長,因此當我們考慮外強迫對可預報性的影響時,也應該考慮到外強迫的不同形式.

圖8 準周期強迫Lorenz系統的ˉλL隨強迫振幅A的變化Fig.8.The average NLLE of the linear phaseˉλLof the Lorenz system w ith quasi-periodic forcing variesw ith the external forcing m agnitude A.

圖9 (網刊彩色)不同強迫Lorenz系統的(a)NLLE和(b)誤差的自然對數隨t的變化(黑色實線,準周期強迫Lorenz系統;紅色實線,常數強迫Lorenz系統;黑色水平虛線,飽和值的98%)Fig.9.(color on line)Tem poral evolution of(a)the NLLE and(b)the error grow th of the d iff erent forced Lorenz system(b lack solid cu rves,the Lorenz system w ith constant forcing;red solid curves,the Lorenz system w ith quasi-period ic forcing;b lack dashed horizontal curve m eans the value corresponding to the 98% satu rated bias).

5 討論與結論

本文基于兩個不同類型的強迫Lorenz理論模型,利用NLLE方法考察了在外強迫改變的情況下混沌系統的可預報性問題,主要研究結論如下.

1)外強迫會對系統的可預報性產生影響.兩種不同強迫類型的系統可預報期限都隨著外強迫的增強而增加;大小相同方向不同的外強迫作用不同,系統可預報性對正值強迫的響應要比負值強迫更加明顯,系統在正值強迫作用下的誤差增長率更小,可預報期限更長,并且這種差異隨著強迫的增強而增加.

2)不同類型的外強迫對于系統誤差增長的影響不同.常數強迫的影響主要體現在誤差增長的線性階段;準周期強迫作用下,隨著強迫的增加,誤差增長的非線性階段同樣受到影響;在外強迫強度相等時,混沌系統在常數強迫驅動下的可預報期限比準周期強迫時更長.

本文雖然基于簡單的理論模型進行研究,但是其結果對于實際天氣具有一定的啟示意義.首先,大氣可預報性的研究中,選取外強迫的強度對大氣可預報性有重要影響,外強迫增強會使得大氣可預報性增加,因此外強迫大小的選取在實際研究中要合理.其次,強迫的類型不同對于可預報性的影響不同,比如在大氣可預報性的研究工作中,經常將海溫作為外強迫驅動大氣,但是選擇海溫作為常數外強迫或準周期外強迫的不同情形下,大氣可預報性是不同的;此外,強度相等方向不同的強迫對于可預報性的作用效果不一致,這種非對稱性隨著外強迫的增強變得更加明顯,可能是由于非線性的作用使得正負強迫條件下的信號強度表現不同,但是關于系統內部的動力行為仍有待深入研究.這對于實際研究同樣重要,過去研究中我們常將強迫項作為一個整體去考慮,然而大氣和海洋中存在著許多正負相反的氣象要素和位相不同的模態,如海溫的正負異常、ENSO的正負位相等,由于方向不同的外力對于實際大氣或海洋的動力過程影響是不同的,所以應該分別考慮不同位相驅動下的可預報性問題.總之,大氣和海洋的研究中存在著多種不同的準周期強迫項和常數強迫項,探索實際可預報性仍需要進一步的努力.

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PACS:05.45.–a,92.60.WcDOI:10.7498/aps.66.060503

P red ictab ility of forced Lorenz system?

Li Bao-Sheng1)2)Ding Rui-Qiang1)3)?Li Jian-Ping4)5)Zhong Quan-Jia1)2)

1)(State Key Laboratory of Num erical M odeling for A tm ospheric Sciences and Geophysical F luid Dynam ics(LASG),Institu te of
A tm ospheric Physics,Chinese Academ y of Sciences,Beijing 100029,China)
2)(College of Earth Sciences,University of Chinese Academ y of Sciences,Beijing 100049,China)
3)(Plateau Atm osphere and Environm ent K ey Laboratory of Sichuan Province,Chengdu University of Inform ation Technology, Chengdu 610225,China)
4)(College ofG lobal Change and Earth System Science(GCESS),Beijing Norm al University,Beijing 100875,China)
5)(Joint Center for G lobal Change Studies,Beijing 100875,China)
(Received 11 Novem ber 2016;revised m anuscrip t received 15 Decem ber 2016)

In recent years,the actual atm ospheric p redictability has attracted w idespread attention.Im proving our understanding of weather p redictability is vital to developing num ericalm odels and im p roving our forecast skill in weather and climate events.Given that the atmosphere is a com p lex and non linear system,taking the Lorenz system as an exam p le is a better way to understand the actual atm osphere predictability.Up to now,som e p redictability p roblem s of the Lorenz system have been investigated,such as the relative eff ects of the initial error and themodel error.Previous advances in the research of predictability m ainly focus on the relationship between the predictability lim it and the initial error.As iswell known,the external forcing can also resu lt in the change of the predictability.Therefore,it is significant to investigate the predictability changing w ith the external forcing.The nonlinear local Lyapunov exponent(NLLE)is introduced to m easure the average grow th rate of the initial error of non linear dynam icalm odel,which has been used for quantitatively determ ining the predictability lim it of chaos system.Based on the NLLE app roach,the infl uences of external forcing on the p redictability are studied in the Lorenz system w ith constant forcing and Lorenz system w ith quasi-periodic forcing in this paper.The results indicate that for the Lorenz system s w ith constant and quasi-periodic forcings respectively,their predictability lim its increase w ith forcing strength increasing.In the case of the sam e m agnitude but diff erent directions,the constant and quasi-periodic forcing both show diff erent eff ects on the predictability lim it in the Lorenz system,and these eff ects becom e significant w ith the increase of forcing strength.Generally speaking, the positive forcing leads to a higher predictability lim it than the negative forcing.Therefore,when we consider the eff ects of positive and negative elem ents and phases in the atm osphere and ocean research,the p redictability problem s driven by diff erent phases should be considered separately.In addition,the infl uences of constant and quasi-periodic forcings on the p redictability are diff erent in the Lorenz system.The eff ect of the constant forcing on the predictability ism ainly refl ected in the linear phase of error grow th,while the non linear phase should also be considered additionally for the case of the quasi-periodic forcing.The p redictability of the system under constant forcing is higher than that of the system under quasi-periodic forcing.These resu lts based on sim p le chaoticmodel could provide an insight into the predictability studies of com p lex system s.

nonlinear local Lyapunov exponent,predictability,external forcing,Lorenz system

10.7498/aps.66.060503

?國家自然科學基金優秀青年科學基金(批準號:41522502)、“全球變化與海氣相互作用”專項(批準號:GASI-IPOVA I-06)和國家重點研發計劃(批準號:2016YFA 0601801)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:d rq@m ail.iap.ac.cn

*Pro ject supported by the National Natural Science Foundation of China for Excellent Young Scholars(G rant No.41522502), the National Programm e on G lobalChange and A ir-Sea Interaction,China(G rant No.GASI-IPOVA I-06),and the National Key Research and Developm ent P lan of China(G rant No.2016YFA 0601801).

?Corresponding au thor.E-m ail:d rq@m ail.iap.ac.cn