彈性需求下的網絡交通流逐日動態演化?

劉詩序陳文思 池其源 嚴海

1)(福州大學土木工程學院,福州 350116)

2)(北京工業大學北京城市交通協同創新中心,北京 100124)

(2016年12月7日收到;2016年12月28日收到修改稿)

彈性需求下的網絡交通流逐日動態演化?

劉詩序1)?陳文思1)池其源1)嚴海2)

1)(福州大學土木工程學院,福州 350116)

2)(北京工業大學北京城市交通協同創新中心,北京 100124)

(2016年12月7日收到;2016年12月28日收到修改稿)

在現實交通系統中,網絡的交通需求是可變的,隨交通運行狀態而改變.針對需求可變情形,以含兩條路徑的簡單路網為例,建立了彈性需求下的網絡交通流逐日動態演化模型,基于非線性動力學理論,證明了動態演化模型的不動點存在且唯一,并且推導出了彈性需求下網絡交通流動態演化的穩定性條件.通過數值實驗,分析了網絡交通流演化特征.研究發現:在一定條件下流量演化會出現分岔和混沌現象,并且出行者的出行需求對費用越敏感,系統演化越可能穩定;出行者路徑選擇的隨機性越小,系統演化越不可能穩定;出行者對前一天實際費用的依賴程度越小,系統演化越可能穩定.

網絡交通流,彈性需求,動態演化,混沌

1 引 言

交通網絡平衡分配問題的提出已有幾十年的歷史,學者們提出了很多擴展的靜態模型,如用戶平衡分配(user equilibrium,UE)模型[1,2]、隨機用戶平衡分配(stochastic user equilibrium,SUE)模型[1,2],它是研究網絡交通流的主要手段,交通網絡平衡分配模型隱含著網絡交通流的平衡是可以達到的假設.然而,網絡交通流是巨量的出行者路徑選擇博弈的集聚結果,受到出行者選擇行為的影響,現實中出行者的理性程度、出行者獲取的信息、出行者個體的差異性等都會影響出行者的路徑選擇[3].有研究指出,出行者第n天的行為受到第n?1天和之前的行為以及網絡狀態的影響[1],因此每天的網絡交通流不是一成不變的重復,呈現復雜曲折的逐日動態演化過程.研究網絡交通流逐日動態演化規律,不僅可以了解交通網絡平衡是否能達到以及如何達到的過程,而且還可以認識如果平衡達不到網絡交通流演化會出現什么現象.

學者們通過兩個途徑探索網絡交通流逐日動態演化規律.第一個途徑以出行者個體選擇行為為著眼點,使用計算機微觀仿真與行為實驗模擬方法,以出行者個體為單元,研究網絡交通流的動態演化過程.學者Nakayama等[4]、K lügl和Bazzan[5]、K im等[3]、Wei等[6]、Kusakabe和Nakano[7]、劉天亮和黃海軍[8]、劉詩序和關宏志[9]、Iida等[10]、Selten等[11]、Rapoport等[12]做了一些代表性的研究.另一個途徑則是從集計角度出發,基于出行者逐日路徑選擇機理,建立逐日動態分配模型,并以非線性動力學理論為基礎,研究網絡平衡的存在性及其穩定性,建立的模型分為連續型動態系統(假設出行者出行的天數是連續變量)和離散型動態系統(假設出行者出行的天數是離散變量)兩類.學者Sm ith[13,14]、Nagurney和Zhang[15]、Watling[16]、Cho和Hwang[17]、Kumar和Peeta[18]、Tan等[19]、Di等[20]、He和Peeta[21]、Iryo[22]、Xiao等[23]、 郭仁擁和黃海軍[24,25]、張波等[26]在連續型動態系統方面做了一些工作.離散型動態系統建模方法最早由Horow itz提出[27],隨后,Cantarella和Cascetta[28?30]、Watling和Hazelton[31]、Bie和Lo[32]、He和Liu[33]、Han和Du[34]、Zhao和Orosz[35]、Di和Liu[36]、劉詩序和關宏志等[1,37]、郭仁擁和黃海軍等[38?40]、徐紅利等[41]學者進一步做了大量的深入研究.最近, Cantarella和Watling[42]將連續模型和離散模型做了統一.

運用非線性動力學方法研究網絡交通流逐日動態演化規律,不僅可以推導出網絡交通流演化的穩定性條件,而且還可以探索網絡交通流不穩定時呈現出的非線性特征.文獻[1]對含兩條路徑的簡單路網研究發現了在一定條件下網絡交通流量的周期振蕩和混沌現象,完善了網絡交通流演化研究中不穩定時的規律,文獻[37]拓展到有限理性情形.研究表明:網絡中出行者理性程度適中時,流量演化容易出現分岔和混沌現象.

然而,上述研究都是針對固定需求的情形,即交通網絡的出行需求已知且固定,而在現實中,起訖點(OD)需求可能會受到交通網絡運行狀態的影響,如當網絡中某一對OD之間的擁擠程度增加時,有些出行者可能會改變出行計劃(例如放棄自駕選擇乘坐地鐵出行)或者放棄本次出行,因此出行需求會減小.國內外學者對彈性需求情形下的網絡交通流靜態分配問題極為關注,提出了很多模型及其求解算法[43?46],但是對彈性需求下網絡交通流演化問題還未做深入研究.如果網絡的OD需求是可變的,以日為單位,每天的OD需求與交通網絡運行狀態有關,出行者每天的路徑選擇受到前一天的行為和網絡狀態的影響,那么網絡交通流的演化是否會穩定？如果不穩定,什么情況出現分岔和混沌？其演化特征和固定需求情形有何不同？

本文以兩條路徑的簡單網絡為對象,建立彈性需求下的網絡交通流逐日動態演化模型,研究網絡交通流動態演化系統平衡點的存在性、唯一性和穩定性,分析彈性需求下網絡交通流逐日動態演化規律,探討系統演化不穩定時出現分岔和出現混沌的條件.

2 模 型

如圖1所示,交通網絡中OD間有兩條平行路徑.設第n天的OD需求為d(n),第n天路徑1和路徑2的流量分別為和,第n天路徑1和路徑2的實際出行費用為和,假設各路徑的出行費用僅與本路徑的流量有關,出行費用函數為

圖1 路網示意圖Fig.1.Road network.

根據隨機用戶平衡原則的假設[2],出行者獲取的信息不完全,設第n天路徑r(r=1,2)上的理解出行費用為為可觀測部分,為隨機誤差項.

由假設1可知,第n天路徑1和路徑2的選擇概率為logit型,分別為

式中,θ是與出行者特性有關的參數,且θ＞0,描述出行者路徑選擇時對路徑的費用的敏感程度,θ越大,對路徑的費用越敏感,出行者路徑選擇的隨機程度越小,反之,θ越小,對路徑的費用越不敏感,出行者路徑選擇的隨機程度越大.根據SUE原則,流量分配為[2,46]

第n天的期望出行費用根據第n?1天期望出行費用和實際出行費用更新,可以表示成二者的加權和[1,44]

式中,?是與出行者特性有關的參數,且0≤?＜1,其大小反映出行者對前一天實際費用的依賴程度, 0≤?＜1越大,依賴程度越小,反之,?越小,依賴程度越大.

由此得到逐日動態交通流演化模型為

路徑流量分配

在彈性需求靜態平衡分配問題中,OD需求可表示為期望最小感知成本的單調下降函數[2],因此,第n天的OD需求d(n)可表示為第n天的期望最小感知成本S(n)的單調下降函數,這里設[2,45,46]

式中,d0＞0,表示最大潛在OD需求;β≥0,表示需求量對最小期望感知成本的靈敏度,反映出行者的出行需求對出行費用的敏感性,β越大,出行者的出行需求對費用越敏感,出行者越不愿意出行,反之,β越小,出行者的出行需求對費用越不敏感,出行者出行的愿望越強.

由前面假設出行費用隨機誤差項服從Gumbel分布,有[2,45,46]

因此

3 穩定性分析和演化狀態劃分

3.1 不動點的存在性、唯一性和穩定性

設x為一向量,V(x)為一向量值函數,K為一閉凸集.需說明的是,本文所用到的向量均為有限維空間的向量.

定義1 如果[V(x1)?V(x2)]T(x1?x2)≥0,?x1,x2∈K,則稱向量值函數V(x)在K上是單調的[47].

定義2 如果[V(x1)?V(x2)]T(x1?x2)＞0,?x1,x2∈K,x1?=x2,則稱向量值函數V(x)在K上是嚴格單調的[47].

引理1 設向量值函數V(x)在K上一階連續可微,且其Jacobian矩陣?V(x)是半正定的(正定的),則V(x)是單調的(嚴格單調的)[47].

假設2 路徑的出行費用關于路徑流量的函數連續可微,且嚴格單調增加.

定理1 動態系統(11)和(12)存在唯一的不動點.

由(19)和(20)式,令

向量值函數H(C)在不動點處的Jacobian矩陣

注意到d?＞0,θ＞0,β≥ 0,p＞0,不難判斷出:當β=0時,H(C)的Jacobian矩陣?H(C)是半正定的,當β＞0時,H(C)的Jacobian矩陣?H(C)是正定的.根據定義1和定義2得到

由(23)和(24)式知:

代入(31)式得

顯然,(33)和(28)式矛盾.因此,動態系統(11)和(12)不動點唯一.證畢.

動態系統(11)和(12)的Jacobian矩陣為

在平衡點處

由(25)和(29)式得

易知:矩陣A有兩個正的特征值λ1＞0,λ2＞0,J?的特征值λJ=??(1??)d?λ1,2.由于0≤ ?＜ 1, d?＞0,所以λJ＜1恒成立,根據非線性動力學穩定性理論[48],當離散型動力系統平衡點Jacobian矩陣的所有特征值的模小于1時平衡點漸近穩定,不難得到定理2.

定理2 彈性需求下兩條路徑的簡單路網逐日動態分配系統平衡點漸近穩定的條件是

不難驗證(39)式和文獻[1]的穩定性條件一致.判定條件(38)式更具有一般性.

注意到λ1,2,d?與?無關.因此,不難得到推論1.

推論1 若d?λ1,2＜1,不論參數?取[0,1)內任何值,彈性需求下兩條路徑的簡單路網交通流逐日動態演化系統平衡點漸近穩定.

推論1表明只要交通系統滿足一定條件,不論出行者對信息的依賴程度多大,路網交通流逐日動態演化系統的平衡點漸近穩定.

3.2 演化狀態劃分

由定理2可知,當(38)式不滿足時,網絡交通流逐日動態演化出現不穩定情況,根據非線性動力學理論,演化結果將出現周期運動(分岔)或者混沌.

根據混沌理論,當動態系統的Lyapunov指數大于0時,系統才出現混沌.動態系統(11)和(12)有2個Lyapunov指數[48]:

式中,eig(Jn?1Jn?2···J0)表示Jn?1Jn?2···J0的特征值.

由此得到動態系統(11)和(12)的最大Lyapunov指數為

因此,動態系統(11)和(12)演化到穩定的平衡點、周期運動(分岔)和混沌3種狀態的條件如表1.

表1 系統逐日動態演化的狀態劃分Tab le 1.The state of day-to-day dynam ical evolu tion.

通過以上分析可知,彈性需求下網絡交通流動態演化系統的平衡點即為彈性需求下的SUE解,但是平衡點在一定條件才穩定(定理2),否則會發生周期運動或混沌運動(表1).下面通過數值實驗,來討論參數θ(表征出行者路徑選擇時對路徑費用的敏感程度)、?(表征出行者對前一天實際費用的依賴程度)、β(表征出行者的出行需求對費用的敏感性)對網絡交通流動態演化的影響.注意到θ∈(0,+∞),?∈[0,1),β∈[0,+∞).

4 數值實驗

如圖1,路網的參數設定同文獻[1].路徑的行程時間關于流量的函數采用BPR(US Bureau of Public Roads)函數

式中t為路徑的行程時間,t0為路徑的自由流行程時間,f為路徑流量,Q為通行能力.設路徑1和路徑2的自由流行程時間分別為t10=22 m in和t20=25 m in,通行能力分別為Q1=1500輛/h和Q2=2000輛/h;潛在的最大OD需求d0= 1500輛/h;出行費用只考慮出行時間.

4.1 穩定的臨界曲線

根據推論1,當θ=0.923時,β=0是穩定臨界點,通過不同參數組合的數值實驗繪制出系統穩定時β-θ的臨界曲線,如圖2所示.由圖2可知,β的臨界值隨θ的變化分4個階段:1)當θ≤0.923時, β的臨界值不變(等于0),也即無論β取[0,+∞)的任何值、?取[0,1)的任何值,系統演化都穩定且收斂到平衡點;2)當0.923＜θ≤2.293時,穩定臨界點β隨θ增大而增大,當θ=2.293時,β達到極大值0.00384;如當θ=1.500時,β=0.0032是穩定臨界點,說明,當θ=1.500時,不論β取[0.0032,+∞)的任何值、?取[0,1)的任何值,系統演化都穩定且收斂到平衡點;3)當2.293＜θ≤28.564時,穩定臨界點β隨θ的增大而減小,當θ=28.564時,β達到極小值0.00154;4)當θ＞28.564時,穩定臨界點β隨θ的增大而增大.

圖2 系統穩定時β-θ的臨界曲線Fig.2.The critical curve ofβ-θwhen the system is stab le.

總之,參數β和θ取曲線上方的點時,不論?取[0,1)的任何值,系統演化都穩定且收斂到平衡點,參數β和θ取曲線下方的點時,系統的演化狀態與?的取值有關,可能出現分岔或混沌.

4.2 固定β,討論θ和?不同時系統的演化

情況1 0≤β＜0.00155

以β=0.0002為例,由圖2的臨界曲線可知,當θ＜0.940時,系統穩定.根據表1的判別條件,經過多次數值實驗發現:當θ＞0.940時,系統出現分岔;當θ＞7.295時,系統出現混沌.圖3是β=0.0002,θ取不同值時路徑1的流量關于參數?的分岔圖.

由圖2可見,當β=0.0002,θ=0.5時,系統演化是穩定的.由圖3(b)和圖3(c)可見,當β=0.0002,θ=6或7時,隨著?從大到小變化,系統演化出現穩定-倍周期分岔-半周期逆分岔的過程,最后?=0是2周期運動,在文獻[1]和其他非線性動力學模型中也可以看到類似的現象[1,49?51].由圖3(d)–(h)可見:隨著?從大到小變化,系統演化出現穩定-倍周期分岔-混沌-半周期逆分岔的變化過程,最后?=0是2周期運動;從縱軸方向看,在混沌區域中,中間有一些周期3、周期5等奇數周期窗口;從橫軸方向看,奇數周期窗口越來越寬,將混沌區域分割成多個帶,當θ=8.5時,混沌帶可以近似看成1片區域(奇數周期窗口很窄),當θ=16時,周期3窗口變得很寬,混沌區域分成了兩個帶,當θ=22時,混沌區域分成了3個帶,當θ=33時,混沌區域分成了4個帶,當θ=40時,混沌區域分成了5個帶(最左邊的混沌帶很窄).

當β=0時,第n天的需求d(n)=d0,彈性需求退化成固定需求情形,文獻[1]的研究表明,固定需求下,當θ＜0.923時,系統穩定,當θ＞0.923時,系統出現周期運動,當θ＞6.983時,系統出現混沌現象(更詳細的討論見文獻[1]).對比發現, β=0.0002時,隨θ的增大,流量演化關于?的分岔圖的規律與β=0相似.

根據表1系統逐日動態演化狀態劃分方法,通過數值實驗,繪制出β=0.0002時系統關于參數θ和?的狀態劃分圖,如圖4所示.

從圖4和圖5可以發現,隨著β的增大,穩定區域面積越來越大,不穩定區域面積越來越小,特別是混沌區域面積越來越小,這說明β對系統演化的穩定性有“正”作用,從圖2的穩定臨界曲線也可以看到,當β＞0.00384時,不論參數θ取(0,+∞),?取[0,1)內任何值,系統演化都是穩定的.

圖3 (網刊彩色)β=0.0002,θ取不同值時流量關于?變化的分岔圖 (a)θ=0.5;(b)θ=6;(c)θ=7; (d)θ=8.5;(e)θ=16;(f)θ=22;(g)θ=34;(h)θ=40Fig.3.(color on line)Flow bifu rcation diagram s w ith?whenβ=0.0002 andθis d iff erent:(a)θ=0.5; (b)θ=6;(c)θ=7;(d)θ=8.5;(e)θ=16;(f)θ=22;(g)θ=34;(h)θ=40.

圖4 (網刊彩色)β=0.0002時系統關于θ和?的狀態劃分圖Fig.4.(color on line)The system’s state w ithθand? whenβ=0.0002.

圖5 (網刊彩色)β=0.0007和0.0012時系統關于θ和?的狀態劃分圖 (a)β=0.0007;(b)β=0.0012Fig.5.(color on line)The system’s state w ithθand?w henβ=0.0007 and 0.0012:(a)β=0.0007;(b)β=0.0012.

圖6 (網刊彩色)β=0.00155和0.0018時系統關于θ和?的狀態劃分圖 (a)β=0.00155;(b)β=0.0018Fig.6.(color on line)The system’s state w ithθand?whenβ=0.00155 and 0.0018:(a)β=0.00155; (b)β=0.0018.

情況2 0.00155≤β＜0.00233

圖6是β=0.00155,0.0018時系統關于參數θ和?的狀態劃分圖.

從圖6可見,當β≥0.00155時,不穩定區域分開為兩部分,以圖6(a)為例,左邊部分(θ＜28.352)是周期運動區域,右邊部分(θ＞28.352)周期運動和混沌并存.同時,還可以看到,隨著β的增大,穩定區域的面積越來越大,不穩定區域面積越來越小.以β=0.00155為例,由圖2的臨界曲線可知,當θ＜1.096時,系統穩定.根據表1的判別條件,經過多次數值實驗發現:當θ＞1.096時,系統出現分岔,當θ＞38.494系統出現混沌.取θ=0.5,8.5, 16,35,38,42,45,50繪制出路徑1的流量關于參數?的分岔圖,如圖7所示.

由圖7(b)和圖7(c)可以看到,當β=0.00155時,在圖6(a)中θ＜28.352的左半不穩定區域,對于固定的θ,流量隨?變化的分岔圖是相似的,流量演化隨?從大到小變化,呈現穩定-2周期分岔過程,也即,系統只有兩種狀態:穩定狀態和2周期運動狀態.由圖7(d)–(h)可以看到:當β=0.00155時,在θ＞28.352的右半不穩定區域,流量演化關于?的分岔圖的規律和β=0.0002的情況類似;當28.352＜θ＜38.494時,流量演化隨著?從大到小變化,呈現出現穩定-倍周期分岔-半周期逆分岔的變化過程,最后?=0是2周期運動;當θ＞38.494時,流量演化隨著?從大到小變化,呈現出穩定-倍周期分岔-混沌-半周期逆分岔的變化過程,最后?=0是2周期運動.

圖7 (網刊彩色)β=0.00155,θ取不同值時流量關于?的變化分岔圖 (a)θ=0.5;(b)θ=8.5;(c)θ=16; (d)θ=35;(e)θ=38;(f)θ=42;(g)θ=45;(h)θ=50Fig.7.(color on line)Flow bifu rcation diagram w ith?w henβ=0.00155 andθis d iff erent:(a)θ=0.5; (b)θ=8.5;(c)θ=16;(d)θ=35;(e)θ=38;(f)θ=42;(g)θ=45;(h)θ=50.

圖8 (網刊彩色)β=0.00233,0.0032和0.004時系統關于θ和?的狀態劃分圖 (a)β=0.00233;(b)β=0.0032; (c)β=0.004Fig.8.(color online)The system’s state w ithθand?whenβ=0.00233,0.0032,0.004:(a)β=0.00233; (b)β=0.0032;(c)β=0.004.

圖9 β=0.00233,θ=3時流量關于?的變化分岔圖Fig.9.(color on line)Flow bifu rcation d iagram w ith? whenβ=0.00233 andθ=3.

情況3 β≥0.00233

圖8是β=0.00233,0.0032,0.004時系統關于參數θ和?的狀態劃分圖.圖9是β=0.00233, θ=3時,流量關于?的變化分岔圖.

對比圖6(a)和圖6(b)以及圖8(a)和圖8(b),可以發現,當β≥0.00233時,系統不穩定的右半部分區域消失,此時混沌現象也消失,從圖9還可以看到,系統不穩定的狀態是2周期運動.從圖8(a)–(c)可以看到,隨著β的增大,周期運動區域面積逐漸減小,最后完全是穩定狀態,通過多次數值實驗得到,當β≥0.00384時,系統完全是穩定狀態,也即,當β≥0.00384時,不論θ取(0,+∞)內任何值、?取[0,1)內任何值,系統演化都穩定,這一結論也可以從圖2的系統穩定時β-θ的臨界曲線得出.

4.3 固定θ,討論β和?不同時系統的演化

圖10是θ=0.5,3,9,25時系統關于參數β和?的狀態劃分圖.

從圖10可見,當θ較小時,系統都是穩定的,隨著θ的增大,先出現周期運動,后出現混沌現象.經過多次數值實驗發現:當θ≤0.923時,系統演化穩定,即當θ≤0.923時,無論β取[0,+∞)的任何值、?取[0,1)的任何值,系統演化都穩定且收斂到平衡點;當0.923＜θ≤6.983時,系統出現周期運動;當θ＞6.983時,系統出現混沌.注意到,系統出現分岔和混沌的θ的臨界值和β=0時是一致的[1].

圖10 (網刊彩色)θ取不同值時系統關于β和?的狀態劃分圖 (a)θ=0.5;(b)θ=3;(c)θ=9;(d)θ=25Fig.10.(color on line)The system’s state w ithβand?whenθis d iff erent:(a)θ=0.5;(b)θ=3;(c)θ=9; (d)θ=25.

4.4 固定?,討論β和θ不同時系統的演化

圖11是?=0,0.05,0.3,0.8,0.86,0.9時系統關于參數β和θ的狀態劃分圖.

從圖11可以看出,當?較小時,系統演化穩定或者周期運動;當?比較大時,系統演化穩定;當?取中間值時,系統演化有穩定、周期運動和混沌狀態.經過多次數值實驗發現:當?≤0.036時,系統是穩定的或周期運動的;當0.036＜ ?＜ 0.85時,系統是穩定、周期運動或者混沌狀態;當0.85≤ ?＜ 0.89時,系統演化是穩定的或周期運動的;當0.89≤?＜1時,系統演化是穩定的.同時,從圖11還可以發現,隨著?的增大,穩定區域的面積越來越大,不穩定區域的面積越來越小,直到?=0.89時整個區域都是穩定的.

4.5 系統演化規律

根據以上的分析可知,參數θ(表征出行者路徑選擇時對路徑的費用敏感程度),?(表征出行者對前一天實際費用的依賴程度),β(表征出行者的出行需求對費用的敏感程度)對網絡交通流的逐日動態演化都有影響.

1)臨界曲線特征

若對任意的?∈[0,1)動態系統演化都穩定,那么臨界曲線β隨θ的變化為:當θ≤0.923時,β的臨界值不變(等于0);當θ＞0.923時,β先增大后減小,然后又增大,β出現極大值點0.00384(當θ=2.293時)和極小值點0.00154(當θ=28.564時).

2)參數β對系統演化的影響

①當0≤β＜0.00155時,對于固定的β,隨θ的增大,系統演化關于?的分岔圖的規律與β=0相似.即θ較小時,系統穩定;θ取中間值時,系統隨著?從大到小變化出現穩定-倍周期分岔-半周期逆分岔的過程,最后?=0是2周期運動;θ較大時,系統隨著?從大到小變化出現穩定-倍周期分岔-混沌-半周期逆分岔的變化過程,最后?=0是2周期運動.

②當0.00155≤β＜0.00233時,對于固定的β,系統關于參數θ和?的狀態的劃分圖的不穩定區域分開為左右兩部分:左邊是2周期運動區域,右邊周期運動和混沌并存.

圖11 (網刊彩色)?取不同值時系統關于β和θ的狀態劃分圖 (a)?=0;(b)?=0.05;(c)?=0.3;(d)?=0.8; (e)?=0.86;(f)?=0.9Fig.11.(color on line)The system’s state w ithβandθwhen?is d iff erent:(a)?=0;(b)?=0.05; (c)?=0.3;(d)?=0.8;(e)?=0.86;(f)?=0.9

③當0.00233≤β＜0.00384時,對于固定的β,系統關于參數θ和?的狀態的劃分圖的不穩定區域只有一個區域,并且不穩定狀態是2周期運動狀態.

④當β≥0.00384時,系統完全是穩定狀態(與參數θ和?無關).

⑤隨著β的增大,系統關于參數θ和?的狀態的劃分圖的穩定區域面積越來越大,最后當β≥0.00384時,系統完全是穩定狀態.

3)參數θ對系統演化的影響

當θ≤0.923時,系統演化穩定(與參數β和?無關);當0.923＜θ≤6.983時,系統出現周期運動;當θ＞6.983時,系統出現混沌.

4)參數?對系統演化的影響

①當0.89≤?＜1時,系統演化是穩定的;當?≤0.036或0.85≤?＜0.89時,系統是穩定的或周期運動的,當0.036＜?＜0.85時,系統是穩定、周期運動或者混沌狀態.

②隨著?的增大,系統關于參數β和θ的狀態劃分圖的穩定區域的面積越來越大,直到?=0.89時整個區域都是穩定的.

5 結 論

本文假設交通需求是彈性的,以兩條平行路徑的簡單路網為例,建立了逐日動態交通流演化模型(固定需求是β=0時的特殊情形),在數值實驗中,通過改變與出行者特性有關的參數β,θ和?的取值,分析系統的演化規律.研究結論如下.

1)彈性需求動態系統的不動點存在且唯一(定理1),平衡點漸近穩定需要滿足一定的條件(定理2).

2)若對任意的?∈[0,1)動態系統演化都穩定,那么臨界曲線β隨θ的變化為:當θ≤0.923時,β的臨界值等于0;當θ＞0.923時,β先增大后減小,然后又增大.

3)系統演化隨參數β,θ和?的變化呈現復雜的特征,有穩定、分岔和混沌現象.總體上,參數β對系統的穩定性有“正”作用,即出行者的出行需求對費用越敏感,系統演化反而越可能穩定,當β≥0.00384時,系統完全是穩定狀態;參數θ對系統的穩定性有“負”作用,即出行者路徑選擇時對路徑的費用越敏感,系統演化越不可能穩定,換言之,出行者路徑選擇的隨機性越小,系統演化越不可能穩定;參數?對系統的穩定性有“正”作用,即出行者對前一天實際費用的依賴程度越小,系統演化越可能穩定.

注意到參數β反映的是出行者的出行意愿(是否出行),β越大,出行者的出行需求對費用越敏感,出行者越不愿意出行,總的出行者數量就越小,系統越有可能穩定.參數θ反映的是出行者一旦出行了,他在選擇路徑時路徑的費用的影響程度(如何出行),θ越大,出行者路徑選擇時對路徑的費用越敏感,出行者路徑選擇的隨機性越小,出行者越傾向于選擇最短路徑,而不是分散地選擇所有路徑,系統越不可能穩定.因此,微觀個體出行者在做是否出行和如何選擇路徑決策時,路徑的費用的敏感性對網絡交通流演化的影響效果不同.

需要說明的是,本文的結論只在兩條路徑的簡單網絡中才成立,對于現實中的復雜網絡,可以參考本文的研究方法,分析網絡交通流逐日動態演化規律.對于更復雜的交通網絡,其網絡交通流動態演化模型是高維的非線性動力學模型,但是分岔和混沌現象也應該存在,只不過這時的非線性現象可能更加復雜,如可能會出現多個分岔和混沌的臨界點,甚至在一定條件下還可能出現超混沌現象.

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PACS:05.45.–a,05.45.Gg,05.45.Pq,01.75.+mDOI:10.7498/aps.66.060501

Day-to-day dynam ical evo lu tion of netw ork traffi c fl ow w ith elastic dem and?

Liu Shi-Xu1)?Chen Wen-Si1)ChiQi-Yuan1)Yan Hai2)

1)(School of Civil Engineering,Fuzhou University,Fuzhou 350116,China)
2)(Beijing Collaborative Innovation Center for M etropolitan Transportation,Beijing University of Technology, Beijing 100124,China)
(Received 7 Decem ber 2016;revised m anuscrip t received 28 Decem ber 2016)

Network traffi c fl ow is an aggregated result of a huge number of travelers’route choices,which is in fluenced by the travelers’choice behaviors.So day-to-day traffi c fl ow is not static,but presents a com p lex and tortuous day-to-day dynam ic evolution p rocess.Studying day-to-day dynam ic evolution ofnetwork traffi c flow,we can not only know whether the traffi c network equilibrium can be reached and how the p rocess is achieved,but also can know what phenomenon w ill occur in the evolution of network traffi c flow if the equilibrium is not reached.In a real traffi c system,taking day as scale unit,the day-to-day network traffi c dem and is variable and changes w ith everyday’s traffi c network state.The travelers’route choices are also influenced by the previous day’s behaviors and network state.Then,w ill the day-to-day network traffi c flow evolution be stable?If it is unstable,when w ill bifurcation and chaos occur?In this paper we discuss the day-to-day dynam ic evolution of network traffi c fl ow w ith elastic dem and in a sim p le two-route network. The dynam ic evolution model of network traffi c fl ow w ith elastic demand is formulated.Based on a non linear dynam ic theory,the existence and uniqueness of the fixed point of dynam ic evolution m odel are proved,and an equilibrium stability condition for the dynam ic evolution of network traffi c flow w ith elastic demand is derived.Then,the evolution of network traffi c flow is investigated through num erical experim ents by changing the three param eters associated w ith travelers,which are the sensitivity of travelers’travel dem and to travel cost,the random ness of travelers’route choices, and travelers’reliance on the previous day’s actual cost.Our findings are as follows.Firstly,there are three kinds of final states in the evolution of network traffi c flow:stability and convergence to equilibrium,periodicm otion and chaos. The final state of the network traffi c flow evolution is related to the above three param eters.It is found that under certain conditions the bifurcation diagram of the network traffi c flow evolution reveals a com p licated phenomenon of period doubling bifurcation to chaos,and then period-halving bifurcation.M eanwhile,the chaotic region is interspersed w ith odd periodic w indows.M oreover,them ore sensitive to cost the travelers’travel dem and them ore likely the system evolution is to be stable.The smaller the randomness of travelers’route choices,the less likely the system evolution is to be stable.The lower the degree of travelers’reliance on the previous day’s actual cost,the m ore likely the system evolution is to be stable.

network traffi c flow,elastic demand,dynam ical evolution,chaos

10.7498/aps.66.060501

?國家自然科學基金(批準號:51308126,51378036,51308018)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:liushixu@fzu.edu.cn

*Pro ject supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant Nos.51308126,51378036,51308018).

?Corresponding author.E-m ail:liushixu@fzu.edu.cn