復雜網絡譜粗?；椒ǖ母倪M算法?

周建 賈貞?李科贊

1)(桂林理工大學理學院,桂林 541004)

2)(桂林電子科技大學數學與計算科學學院,桂林 541004)

(2016年10月2日收到;2016年11月21日收到修改稿)

復雜網絡譜粗?；椒ǖ母倪M算法?

周建1)賈貞1)?李科贊2)

1)(桂林理工大學理學院,桂林 541004)

2)(桂林電子科技大學數學與計算科學學院,桂林 541004)

(2016年10月2日收到;2016年11月21日收到修改稿)

大規模網絡的同步問題是網絡科學的重要研究課題之一.粗?；椒ㄌ峁┝艘环N將大規模網絡轉化為小規模網絡,同時又能較好地保持原始網絡的拓撲性質或動態特性的研究途徑,其中比較有代表性的譜粗?；椒茌^好地保持初始網絡的同步能力.然而,譜粗?；椒ㄔ趯嶋H計算中計算量大、對實際大規模網絡可執行性差.本文提出一種改進的譜粗?；惴?能大幅減少計算量,同時獲得更好的譜粗?；Ч?通過理論分析和大量的數值仿真實驗驗證了所提改進算法的粗?；Ч陀嬎懔慷济黠@優于原譜粗?；椒?

復雜網絡,同步,譜粗?；?改進算法

1 引 言

同步是自然界、人類社會和工程技術領域中一種常見的集合運動現象,如蛙聲齊鳴、有節律的鼓掌等.近二十多年來,研究人員對復雜動態網絡的同步進行了大量研究,特別是對于中尺度網絡的同步研究取得了豐富的研究成果[1?11].然而,許多實際網絡是擁有成千上萬甚至上億節點的大規模網絡,研究大規模耦合復雜動態網絡同步常常會產生大量的耦合微分方程,給計算和仿真實驗都帶來巨大困難,許多中尺度網絡同步算法在大規模網絡研究中難以實現,因此人們提出了一些粗?；椒ㄔ噲D將大規模網絡轉化為中尺度網絡來研究[12?17].粗?；椒ㄍㄟ^合并相似節點將大規模網絡縮減為中尺度網絡,同時盡量保持原始網絡的某些重要性質,如拓撲特性或動力學性質等.近年來,在粗?；难芯糠矫嬉踩〉昧艘恍┲匾M展.例如, K im[18]提出了一種粗?；椒鼙３衷季W絡的度分布、聚類系數、同配系數等性質;Chen等[19]提出了一種基于網絡度的粗?；椒?能保持原始網絡平衡態統計分布的一致性.在這些粗?；椒ㄖ?比較典型的是由G feller和Rios[20,21]在2008年提出的譜粗?；?spectral coarse graining,SCG)方法,通過分析網絡結構矩陣的特征值譜,合并網絡中結構相同和相似的節點,從而有效地將大規模網絡縮減為小規模網絡同時又能較好地保持初始網絡的同步能力.Chen等[15]進一步研究了SCG方法在聚類網絡中的應用效果,Zeng和Lü[16]進一步提出了基于有向網絡的SCG方法,能很好地保持粗?；W絡的同步能力.

SCG方法在保持網絡同步能力方面獨占優勢,然而在確定網絡中的哪些節點被合并時需要反復判斷,這樣會產生非常巨大的計算量,其計算復雜度為O(N3)[16].對于現實中少則成千上萬節點的網絡,多則上百萬甚至上億節點的大規模網絡,其巨大的計算量致使SCG方法在實際中難以執行.為了克服SCG方法計算量大的缺陷,本文提出了一種改進的SCG方法,記為ISCG(improved spectral coarse graining)算法,將計算復雜度從O(N3)降到O(N2),同時還改善了粗?；Ч?所得粗?；W絡能夠更好地保持初始網絡的同步能力.

2 網絡同步能力的刻畫

考慮N個節點的復雜網絡,其動力學方程為

其中xi∈Rm表示第i個節點的m維狀態變量;是第i個節點的動態方程;δ＞0為耦合強度;H(·):Rm→Rm是節點內部耦合函數; Laplacian矩陣L=(Lij)N×N∈RN×N為外部耦合矩陣,刻畫了網絡的耦合拓撲結構.若網絡節點j和i(i=j)相連,則Lij=1,否則Lij=0;Laplacian矩陣L的對角線元素滿足,即矩陣L滿足耗散耦合條件:.當網絡是無向無權的連通網絡時,對應的矩陣L是對稱不可約的正半定矩陣,具有非負特征值且滿足0=λ1＜ λ2≤ ···≤ λN.網絡(1)同步狀態x1(t)=x2(t)=···=xN(t)=s(t)的同步流形s(t)滿足=F(s(t)),它可以是孤立節點的平衡點、周期軌道或混沌軌道.將方程(1)線性化,令ξi為第i個節點狀態的變分,得到變分方程

其中D F(s)和D H(s)分別是F(s)和H(s)關于s(t)的Jacobi矩陣.將方程(2)對角化可得到

ηk是矩陣L關于特征值λk的特征模式.將方程(3)一般化,得到主穩定方程:

該方程的最大Lyapunov指數Lmax是實變量α的函數,稱之為網絡(1)的主穩定函數,記為Lmax(α).網絡(1)的同步化區域是指使Lmax(α)＜ 0的實數α的取值范圍,記為SR,它是由孤立節點動力學函數F(xi(t))和內連函數確定的,只要網絡的耦合強度δ與耦合矩陣L的特征值之積全部落入同步區域即δλk∈SR(k=2,3,···,N),網絡(1)就能達到完全同步[22].網絡的同步區域主要分為以下4種類型:1)有界區域(α1,α2); 2)無界區域(α1,+∞);3)若干個有界區域的并集∪(α1i,α2i);4)空集.一般地,3)和4)的情形下網絡很難或完全無法達到同步,幸運的是大多數網絡都是1)和2)兩種情形,此時只有當L的特征值滿足λN/λ2＜ α2/α1或者λ2＞ α1/δ時網絡才能達到同步穩定狀態(其中λ2和λN分別為Lap lacian矩陣的最小非零特征值和最大特征值).這意味著當λN/λ2越小或者λ2越大時網絡更容易達到同步,因此在同步研究中,常常用特征值比λN/λ2和最小非零特征值λ2兩個指標來刻畫網絡的同步能力[23].

3 基于網絡同步的SCG方法

3.1 SCG方法

由于網絡的同步能力可用λ2或λN/λ2來刻畫,因此要使粗?；蟮木W絡仍保持原始網絡的同步能力,就應使粗?；昂缶W絡的λ2或λN/λ2盡可能接近或不變.2008年,Gfeller和Rios[20,21]提出的SCG方法就是依此設計的,在縮減網絡規模的同時,盡可能地保持網絡的同步能力.該方法主要解決了兩個關鍵問題:一是如何合并節點和更新邊;二是確定哪些節點可以被合并.

首先,對于如何合并節點和更新邊,SCG方法將初始網絡的N個節點標記為i=1,2,···,N,粗?；缶W絡節點標記為C=1,2,···,?N,?N為粗?；蟮木W絡規模,C也表示初始網絡中的 ?N個團,每個團的節點將被合并為粗?；W絡中的一個節點.粗?；缶W絡的邊(對應新的Lap lacian矩陣可通過下面的矩陣乘積進行更新:

這里,|C|是團C中包含節點的個數;Ci是節點i所在團C的標號,ψ是常用的K ronecker函數.

其次,對于哪些節點被合并,分別考慮λ2和λN/λ2兩個指標.若考慮指標λ2(網絡(1)的Lap lacian矩陣L的最小非零特征值),記λ2對應的特征向量為p2,將p2中相同或相近的分量對應的節點進行合并,此時?L的最小非零特征值與λ2相同或相近. 理論上,特征向量p2的兩個分量和相同或相近,可表示為,其中和分別為p2的N個分量中的最大值和最小值.實際計算時,把區間劃分為I個等分區間,對落入同一等分區間的p2分量對應的節點進行合并.一般地,I越小對應的 ?N越小,因此可通過控制I值的大小來大致控制粗?；W絡的規模.相同或相似節點的合并過程及λ2的保持情況如圖1所示.

同理,當考慮指標λN/λ2(網絡(1)的Laplacian矩陣L中最大與最小非零特征值之比)時,合并節點需同時滿足條件和.實際計算時分別把區間,劃分為I個等分區間(其中pN為最大特征值λN對應的特征向量),找出p2和pN中同時落入等分區間內的分量,將其對應的節點進行合并.此時?L的特征值比與λN/λ2相同或相近,即能保持粗?；W絡的同步能力.

圖1顯示,把結構相同或相似的節點進行合并,網絡的最小非零特征值λ2變化不大,即網絡的同步能力能夠很好地被保持.

圖1 (網刊彩色)合并節點過程[21]Fig.1.(color on line)Processing ofm erging nodes[21].

3.2 SCG方法的局限

我們通過大量仿真實驗發現,很多網絡的特征向量分量分布極不均勻,大多數分量分布相對集中、間距較小,極少數分量分布特別分散且間距很大.以節點N=100的NW小世界網絡為例,根據特征值λ2對應的特征向量p2,將區間劃分為I=15的等分區間,p2的分量落入等分區間內的分布情況如圖2所示,圖2中菱形對應p2的所有分量,16條豎線將區間劃分為15個等分區間.從圖2可看出,p2的分量分布極不均勻.因此等區間劃分節點時可能造成有些距離特別近的兩個分量(對應極相似的節點,如圖2中藍色菱形對應分量和錳紫色菱形對應分量)被分割到兩個相鄰區間中,而與間距更大的分量(對應不太相似的節點)劃分到同一區間而合并相應節點,這會影響粗?；Ч?另一方面,計算中需要將每一個p2分量與等分區間所有的端點值進行比較,依此判斷落在哪個等分區間內,這會造成較大的計算量,特別是對規模巨大的網絡更為明顯,其計算復雜度為O(N3)[16].例如,當網絡節點N=1000時,SCG方法的計算量達到10億次.此外,由于p2的分量分布極不均勻,一些等分區間內沒有分量落入,導致合并后的網絡規模隨I變化不大.例如,節點N=1000的NW小世界網絡,當劃分等區間數I為102,103,104,105,106時,分別為14,69, 381,871,991,因此I值對網絡規模的控制效果并不理想,也在一定程度上會影響粗?；Ч?綜上所述,SCG化方法存在兩方面的缺陷.一是計算量過大,對于大規模網絡實際計算難以實現;二是對某些網絡粗?；Ч⒉皇掷硐?

圖2 (網刊彩色)特征向量p2的分量分布情況Fig.2.(color on line)Distribution of com ponentsof eigenvector p2.

4 改進的SCG算法

本節我們在原方法的基礎上提出一種改進的SCG算法,不僅降低了計算復雜度,還改善了粗?；Ч?使粗?；蟮木W絡更好地保持初始網絡的同步能力.

與SCG方法采取等分區間確定合并節點的做法不同,ISCG算法依特征向量分量的分布情況采取分裂聚類方法來確定合并節點.具體做法是:先將特征向量分量由小到大排序,計算兩兩相鄰分量間的距離,根據相鄰分量之間的間距大小將分量分裂成若干個聚類,然后將每個聚類中對應的節點合并為一個節點.選擇間距的大小將決定同一聚類中節點的相似程度和粗?；W絡的規模.例如,選擇較大的前?1個間距將所有分量分裂成個聚類,這個聚類對應節點合并為個節點,從而可以精確控制網絡的規模,越大,相鄰分量的間距越小,合并節點的相似度越高,粗?；Ч胶?

下面我們以保持λ2為例進一步說明ISCG算法的步驟. 首先假設λ2的特征向量p2的分量由小到大排序為相鄰分量之間的間距為i=1,···,N?1),假設選擇最大的前3個間距,分別記為這3個間距將分裂成4個聚類,分別為,其中間距分裂區間時對應的左右端點分別為和和和,再將這4個聚類中對應的節點進行合并,即得到 ?N=4的粗?；W絡.由此可見,ISCG算法可以根據需要,選擇一定的間距將原始網絡N個節點合并到任何指定規模 ?N的粗?；W絡,并且合理區分不同節點間的相似程度,從而能確保被合并節點之間的相似程度高于不同聚類之間節點的相似程度,因此粗?；Ч^SCG方法更好.在計算量方面,由于ISCG算法只需計算分量之間的間距,而不需判斷比較每一個特征向量分量落入等區間的情況,只要確定了粗?；W絡模型,便可一次完成所有節點的合并,因此大幅減少了計算量,其計算復雜度為O(N2).此外,ISCG算法能精確控制粗?；W絡規模,這點優于SCG算法對粗?；W絡規模的控制.

類似地,對于保持特征值比λN/λ2的情況,可根據λ2和λN的特征向量p2和pN的分量之間的間距將各分量分裂成不同的聚類,將同時分裂在同一聚類中對應節點合并為一個節點,計算過程與上述保持λ2的情形類似,這里不再贅述.

5 數值仿真

本節將分別對連續時間動態網絡和耦合相振子網絡模型進行數值仿真,分別應用ISCG算法和SCG方法對網絡進行粗?；?比較兩種不同粗?；惴▽追N典型網絡同步能力的保持效果.

5.1 連續時間動態網絡的同步效果

下面對連續時間動態網絡模型(1)進行數值仿真.分別選取四種典型的復雜網絡,即NW小世界網絡、ER隨機網絡、BA無標度網絡和一類復雜聚類網絡[15],分別應用ISCG和SCG算法粗?；W絡,觀察并比較粗?；Ч?原始網絡規模均為N=1000.

圖3和圖4展示了分別采用ISCG和SCG兩種算法對四種典型網絡進行粗?；慕Y果和網絡同步能力的保持情況.無論對哪種網絡,采取ISCG算法獲得的粗?；W絡與原始網絡的λ2和λN/λ2的近似程度都明顯優于SCG方法獲得的粗?；W絡,說明ISCG算法的粗?；Ч屯侥芰Ρ３智闆r優于SCG方法.從運算時間上看,在實驗中獲得相同規模的粗?；W絡,ISCG算法比SCG方法所用的時間大大減少.以上述N=1000的NW小世界網絡為例,在保持λ2的情形,獲得 ?N=600的粗?；W絡,采用ISCG算法和SCG方法在MATLAB軟件試驗中的運行時間分別是2.94 s和18.4 s.實際上,由于后者需要經過多次反復實驗才能獲得規模 ?N=600的粗?；W絡,故實際獲得結果時間遠不止18.4 s,而ISCG算法可以精確控制粗?；W絡規模,一次完成實驗,故運行時間只需要2.94 s,可見ISCG算法的運算速度大幅提高.此外, ISCG算法可以精確獲得任意規模的粗?；W絡,從而能夠更精細地展示網絡的粗?；葑冞^程,而SCG方法卻做不到這點.當然,粗?；W絡規模越小,合并的節點就越多,對原始網絡同步能力的保持效果越差,但對于同等規模的粗?；W絡,顯然ISCG算法的同步能力的保持效果更好.

圖3 (網刊彩色)分別采用ISCG和SCG算法獲得粗?；W絡對λ2的保持情況 (a)NW小世界網絡;(b)ER隨機網絡;(c)BA無標度網絡;(d)聚類網絡Fig.3.(color on line)Them aintaining ofλ2obtained by using ISCG and SCG algorithm s in coarse graining network:(a)NW network;(b)ER network;(c)BA network;(d)clustered network.

圖4 (網刊彩色)分別采用ISCG和SCG算法獲得粗?；W絡對λN/λ2的保持情況 (a)NW 小世界網絡; (b)ER隨機網絡;(c)BA無標度網絡;(d)聚類網絡Fig.4.(color on line)The m aintaining ofλN/λ2obtained by using ISCG and SCG algorithm s in coarse graining network:(a)NW network;(b)ER network;(c)BA network;(d)clustered network.

5.2 耦合K u ram oto相振子網絡的同步效果

下面對耦合Kuramoto網絡[24,25]模型進行數值仿真,進一步比較ISCG和SCG算法對保持相振子同步的效果.耦合Kuramoto網絡模型方程為

其中,ωi表示第i個振子的固有頻率,σ表示全局振子耦合強度,Aij為鄰接矩陣,θi表示第i個振子的相位,N表示振子的個數.全局振子的相同步程度可用序參量r(t)刻畫:

其中序參量r(t)(∈[0,1])為0時表示全局振子以各自的固有頻率運動,即完全不同步狀態,為1時表示全局振子以相同頻率運動,即達到完全同步狀態;?(t)表示全局振子的平均相位.因此可通過序參量r(t)來研究粗?；W絡的同步保持情況.

以上文N=1000的NW小世界網絡、ER隨機網絡、BA無標度網絡、聚類網絡為例,采用ISCG和SCG算法粗?；W絡,得到網絡規模 ?N均為200的ISCG網絡和SCG網絡,ωi在(?0.5,0.5)中隨機選擇,初始相位θi在(?π,π)中隨機選擇,σ分別為0.2,0.2,1.5,0.5.其序參量r(t)保持情況如圖5所示.

圖5展示了分別采用ISCG和SCG兩種算法對振子相同步的保持情況,可見ISCG獲得網絡的序參量r(t)收斂性與原始網絡基本一致,且ISCG算法獲得的粗?；W絡同步能力保持情況優于SCG方法.

圖5 (網刊彩色)分別采用ISCG和SCG算法保持序參量r(t)的情況 (a)NW小世界網絡;(b)ER隨機網絡; (c)BA無標度網絡;(d)聚類網絡Fig.5.(color on line)The m aintaining of the order param eter r(t)obtained by using ISCG and SCG algorithm s in coarse graining network:(a)NW network;(b)ER network;(c)BA network;(d)clustered network.

6 結 論

復雜動態網絡的耦合拓撲結構直接影響網絡的動力學性質.一般來說,兩個節點的外部連接相同或相近,意味著它們接收外部的信息和作用也相同或相近,因而具有相近的動力學性質,SCG方法的基本思想正是基于這一點,把網絡中外部鏈接相同或相近似的節點進行合并,從而把大規模網絡縮減為中尺度網絡,這是研究大規模網絡的重要途徑之一.本文提出的ISCG算法,以特征向量分量之間的間距大小來劃分相似節點,從而自適應地對聚類節點進行分組,能夠確保網絡中越相近的節點越被優先合并,避免了SCG方法對節點進行硬性分組而導致某些情況下相似節點被拆分而與不相近節點合并的缺陷.仿真實驗也驗證了ISCG算法既能很好地改善粗?；Ч?又大幅降低了運算的時間復雜度.

從算法分析和仿真結果看,在粗?；^程中應該存在一個最優的聚類個數,即存在一個既能很好地保持原始網絡同步能力又能最大程度地縮減原始網絡規模的聚類個數,例如,用λ2來刻畫網絡的同步能力,可以滿足(ε比較小,可設定)的對應的最小 ?N即為最優聚類個數.以上文中所列舉的四種典型即NW小世界網絡、ER隨機網絡、BA無標度網絡和聚類網絡為例,可求得最優聚類個數 ?N分別為915,805,795,768.然而,對于最優的聚類個數問題,還有更多的未知需要我們去探索,例如衡量最優粗?；垲悅€數的指標函數如何確定?各種不同結構的網絡的最優指標有何差異?且有待我們進行更深入的探索研究,也是我們今后的努力方向.

本文提出的ISCG算法具有誤差更小、效果更優、運算量大幅降低等諸多優點,能極大地改善原粗?；Ч?提高了網絡同步能力的保持狀況,同時為實現大規模網絡的同步研究提供了一種更簡單、高效和可操作的有效方法.

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PACS:05.45.–a,05.45.X tDOI:10.7498/aps.66.060502

Im p roved algorithm of spectral coarse grain ing m ethod of com p lex netw ork?

Zhou Jian1)Jia Zhen1)?Li Ke-Zan2)

1)(College of Science,Guilin University of Technology,Guilin 541004,China)
2)(School ofM athem atics and Com puting Science,Guilin University of E lectronic Technology,Guilin 541004,China)
(Received 2 O ctober 2016;revised m anuscrip t received 21 Novem ber 2016)

Com p lex network as a key app roach to understandingmany com p lex system s,such as biological,chem ical,physical, technological and social system s,is ubiquitous in nature and society.Synchronization of large-scale com p lex networks is one of the m ost im portant issues in network science.In the last two decades,much attention has been paid to the synchronization of com p lex dynam ic networks,especially themeso-scale networks.However,many real networks consist of even hundreds ofm illions of nodes.Analyzing the synchronization of such large-scale coup led com p lex dynam ic networks often generate a large number of coup led diff erentialequations,which m ay m akem any synchronization algorithm s inapp licable formeso-scale networks due to the com p lexities of simu lation experiments.Coarse grainingmethod canmap the large-scale networks into m eso-scale networks while preserving som e of topological p roperties or dynam ic characteristics of the original network.Especially,the spectral coarse-graining scheme,as a typical coarse grainingmethod,is proposed to reduce the network size while preserving the synchronization capacity of the initial network.Nevertheless, p lenty of studies dem onstrate that the com ponents of eigenvectors for the eigenvalue of the coup ling m atrix,which can depict the ability to synchronizing networks,distribute uneven ly.Most of the com ponents distribute concentrically and the intervals are sm all,while som e other com ponents distribute dispersed ly and the intervals are large,which renders the app lications of original spectral coarse graining m ethod unsatisfactory.Inspired by the adap tive clustering,we p ropose an im proved spectral coarse graining algorithm,which clusters the same or the sim ilar nodes in the network according to the distance between the com ponents of eigenvectors for the eigenvalue of network coup ling m atrices,so that the nodesw ith the sam e or the sim ilar dynam ic properties can be eff ectively clustered together.Com pared w ith the original spectral coarse graining algorithm,thismethod can im p rove the accuracy of the result of clustering.M eanwhile,our m ethod can greatly reduce algorithm com p lexity,and obtain better spectral coarse graining resu lt.Finally,num erical simulation experim ents are im p lem ented in four typical com p lex networks:NW network,ER network,BA scale-free network and clustering network.The com parison of results demonstrate that ourmethod outperform s the original spectral coarse graining approach under various criteria,and im proves the eff ect of coarse graining and the ability to synchronize networks.

comp lex network,synchronization,spectral coarse graining,im proved algorithm

10.7498/aps.66.060502

?國家自然科學基金(批準號:61563013,61663006)資助的課題.

?通信作者.E-m ail:jjjzzz0@163.com

*Pro ject supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant Nos.61563013,61663006).

?Corresponding author.E-m ail:jjjzzz0@163.com