時間測度鏈上三點邊值問題兩個正解的存在性

魏 嘉, 王 靜

(蘭州文理學院師范學院，蘭州 730000)

時間測度鏈上三點邊值問題兩個正解的存在性

魏 嘉*, 王 靜

(蘭州文理學院師范學院，蘭州 730000)

運用錐上的Avery-Henderson不動點定理，研究了時間測度鏈上一類非線性三點邊值問題

至少2個正解的存在性,其中,T表示時間測度鏈,0≤a0,β>1. 并給出了與之相對應的線性三點邊值問題解的一些性質,舉例證明了所得結論的正確性.

時間測度鏈； 邊值問題； 不動點定理； 正解

HILGER[1]首次提出了時間測度鏈上的分析理論,將看起來不相關聯的連續分析和離散分析進行了高度統一. 在這之后,時間測度鏈上的動力方程在自然科學和社會科學的許多領域得到了廣泛應用,也解決了許多領域里微分方程、差分方程不能單獨解決的實際問題. 與此同時,關于時間測度鏈上的動力方程邊值問題的研究也引起了學術界的高度關注,如研究了時間測度鏈上幾類典型的多點邊值問題[2-8]及多點邊值問題正解的存在性[9-13]. 然而,利用錐上的Avery-Henderson不動點定理研究時間測度鏈T上非線性方程

u(t)+h(t)f(t,u(t))=0 (tT)

在一定條件下正解存在性的文獻卻相對較少.

本文考慮時間測度鏈上三點邊值問題

(1)

其中,T表示時間測度鏈,0≤a0,β>1. 為了討論問題(1)的2個正解的存在性,做如下假設：

(H1)hCld([a,c],[0,+))且存在t0[a,c],使得h(t0)>0；

(H2)fC([a,c]×[0,+)→[0,+)),且在T的任意子區間上f(t,·)>0.

1 預備知識

本文所用工具為Avery-Henderson不動點定理:

定理A[14]設P是實Banach空間E上的錐,P(ψ,r)={uP∶ψ(u)0,使得

φ(u)≤φ(u),0≤≤1,?u?P(φ,q),

(i)ψ(Tu)>r,u?P(ψ,r);

(ii)φ(Tu)

(iii)P(ω,p)≠?,且ω(Tu)>p，u?P(ω,p),

為了得到本文的主要結果，需要以下幾個重要引理.

引理1 若α≠0且yCld[a,c],則邊值問題

(2)

證明 由u(t)+y(t)=0,可令u(t)為

引理2 若α>0,β≥1且yCld([a,c],[0,)),則邊值問題(2)的唯一解滿足：

P={uE:u(t)≥0,u是凸函數且uΔ(a)=0}.

(3)

(4)

(5)

從而,由式(4)、(5),可得

2 主要結果

為了后面推理的需要，做記號

本文的主要結果為：

定理1 設α>0,β>1且假設(H1)、(H2)成立. 若存在p、q、r,使得0

則時間測度鏈上三點邊值問題(1)至少存在2個正解u1和u2,且滿足：u1(a)>p,u1(b)q,u2(b)

證明 定義算子

在P上定義非負連續增函數ψ、φ和ω,使得ψ(u)=u(b),φ(u)=u(b),ω(u)=u(a). 對于任意的uP,有ψ(u)=φ(u)≤ω(u). 另外,對于任意的uP,由式(3)有

(6)

此外,φ(0)=0,則

φ(u)=φ(u) (uP,).

為了證明定理A的條件成立,下面分3步加以說明.

再由定理1的(i),可得

可知,定理A的(i)成立.

再由定理1的(ii),可得

第3步,設u?P(ω,p),由0P,P(ω,p)≠?及式(3),可得

再由定理1的(iii),可得

可知,定理A的(iii)成立.

綜上,定理A的條件全都滿足,由定理A可知,時間測度鏈上非線性三點邊值問題(1)至少存在2個正解u1和u2,且滿足：

u1(a)>p,u1(b)q,u2(b)

3 應用舉例

(7)

設r=100,q=60,p=24,則

f(r)=f(100)≈2.67,f(4q)=f(240)≈2.70,

可以得到

[1] HILGER S. Analysis on measure chains:a unified approach to continuous and discrete calculus[J]. Results Mathematics,1990,18(1):18-56.

[2] BOHNER M,PETERSON A. Dynamic equations on time scales:an introduction with applications[M]. Boston:Birkhauser,2001.

[3] AGARWAL R P,BOHNER M,SAKER S H. Oscillation of second order delay dynamic equations[J]. Canadian Applied Mathematics Quarterly,2005,13(1):1-18.

[4] ANDERSON D R,CABADA A. Third order right-focal multipoint problems on time scales[J]. Journal of Difference Equations and Applications,2006,12(9):919-935.

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[10]DENK A,TOPAL S. Existence of positive solutions for the second order semipositone m-point boundary value problem on the time scales[J]. Differential Equations & Dynamical Systems,2014,22(3):265-280.

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[12]ZHANG C,WANG L,FAN Y. Existence of positive solutions for a dynamic equation on measure chains[J]. Applied Mathematics Letters,2014,35(1):24-28.

[13]ZHAO J F,LIAN H R,GE W G. Existence of positive solutions for nonlinear m-point boundary problems on time scales[J]. Boundary Value Problems,2012,2012(1):1-15.

[14]AVERY M A,HENDERSON J. Two positive fixed points of nonlinear operators on ordered Banach spaces[J]. Communications on Applied Nonlinear Analysis,2001,8(1):27-36.

【中文責編：莊曉瓊 英文審校:肖菁】

TheExistenceofTwoPositiveSolutionstoThree-PointBoundaryValueProblemonTimeScales

WEIJia*,WANGJing

(SchoolofNormal,LanzhouUniversityofArtsandScience,Lanzhou730000,China)

Existence of at least two positive solutions to a nonlinear three-point boundary value problemon time scales is considered, and the main tool is well-known Avery-Henderson fixed-point theorem in cones. The solution and some of its properties of the linear three-point boundary value problem related to the nonlinear boundary value problem are provided. At last, an example is given to demonstrate the result of this study.

time scales; boundary value problem; fixed point theorem; positive solution

2016-01-14 《華南師范大學學報(自然科學版)》網址：http://journal.scnu.edu.cn/n

甘肅省自然科學基金項目(3ZS042-B26-021)；甘肅省高等學?？蒲许椖?2015A-172，2016A-112)；蘭州文理學院高水平科研項目(2015GSP07)

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1000-5463(2017)04-0102-04

*通訊作者:魏嘉，副教授，Email:weijia_vick@163.com.