基于“邊界層”理論的紙張干燥動力學模型及其數值仿真

陳曉彬 董云淵 鄭啟富 余建剛 李繼庚 劉煥彬

(1.衢州學院化學與材料工程學院，浙江衢州，324000；2.華南理工大學制漿造紙工程國家重點實驗室，廣東廣州，510640)

基于“邊界層”理論的紙張干燥動力學模型及其數值仿真

陳曉彬1董云淵1鄭啟富1余建剛1李繼庚2劉煥彬2

(1.衢州學院化學與材料工程學院，浙江衢州，324000；2.華南理工大學制漿造紙工程國家重點實驗室，廣東廣州，510640)

利用“邊界層”理論推導出紙張表面水分蒸發動力學模型，建立了紙張干燥過程物料與能量衡算模型，并采用數值分析方法，模擬某一瓦楞紙機的干燥過程，得到紙張在干燥過程中的溫濕度變化曲線以及水分蒸發速率變化曲線，并定量分析了該干燥過程紙張干燥的3個階段：升溫干燥階段(1#～4#烘缸)、恒速干燥階段(5#～39#烘缸)、減速干燥階段(40#～48#烘缸)。當紙張濕含量下降到0.22 kg/kg時，進入減速干燥階段。在線測量結果與模型仿真結果的對比分析表明，模擬結果和實際在線測量結果非常接近，驗證了基于“邊界層”理論推導的紙張干燥動力學模型的準確性。

紙張干燥；水分蒸發速率；數值仿真

造紙過程的本質是一個脫水過程，該過程主要通過紙機的3部分完成：成形部、壓榨部和干燥部[1]。成形部主要借助重力作用將濕紙幅的干度提升至15%～25%；壓榨部通過機械作用進一步將濕紙幅干度提升至33%～55%；干燥部通過消耗熱能的蒸發作用脫除紙張內水分，使成品紙達到干度要求，約90%～95%[2]。干燥部脫水量約為上網漿料總含水量的1%，是紙機脫水量最少的工段，但其脫水成本最高[3]。以長網紙機為例，干燥部的質量約占紙機總質量的60%～70%，其長度約占紙機總長度的60%，投資成本約占整個紙機投資成本的40%[1]。據IPST(Institute of Paper Science and Technology，造紙科學與技術研究所)的研究[4]，干燥部的能耗約占紙機總能耗的61.9%。因此，無論從干燥部的質量、長度、投資成本還是能耗水平考慮，干燥部均是紙機最關鍵的部位。

目前，工業界和學術界常采用2種動力學模型來確定紙張干燥過程中的水分蒸發速率：一種是工藝計算手冊提供的經驗公式(見式(1))[5]，另一種是基于擴散理論的Fick定律(見式(2))[6-9]。

(1)

式中，Vevap表示蒸發速率，kg/(m2·h)；K表示總傳熱系數，kJ/(m2·h·℃)；Ts表示烘缸內加熱蒸汽的溫度，℃；Tp表示紙張溫度，℃；r表示蒸發水分的熱焓，kJ/kg；Kn表示自由表面蒸發系數，Kn=0.0229+0.174v，v表示蒸發表面的空氣流速，m/s；PS表示蒸發溫度下飽和蒸汽壓，Pa；PD表示外界空氣的水蒸氣分壓，Pa；P表示外界大氣壓，Pa。

(2)

經驗公式忽略了傳熱和傳質相互耦合的影響以及減速干燥階段吸附熱的影響等問題，簡化了模型，有助于解決一些大尺度的設計問題，但要模擬某一生產過程，其精度是不夠的。Fick定律是基于擴散介質相對靜止的假設條件獲得的，這顯然和實際生產過程中紙張的高速運動相差較大。因此，建立一個能夠真實描述紙張干燥過程水分蒸發速率的動力學模型已成為造紙科技工作者的研究熱點。

為解決上述問題，筆者利用“邊界層”理論，從紙張干燥過程的傳熱傳質機理出發，推導出基于“邊界層”理論的紙張表面水分蒸發動力學模型，基于該模型構建紙張干燥過程物料與能量衡算模型，并采用數值分析方法模擬紙張干燥過程的溫濕度變化以及水分蒸發速率的變化?！斑吔鐚印崩碚撌堑聡锢韺W家Ludwig Prandtl于1904年提出的，主要用于研究水和空氣等黏度很小的流體在大雷諾數下繞物體流動過程中的傳熱傳質問題。筆者通過理論計算發現，在空氣溫度60℃、相對濕度60%、烘缸直徑1.8 m條件下，紙機車速只要大于304.57 m/min時(取特征長度為烘缸直徑)，紙張表面附近雷諾數大于105，處于湍流狀態，正符合“邊界層”理論的研究范圍。

1 紙張干燥過程

1799年，法國人Louis Rrobert發明了連續抄紙機后，但直到1816年連續抄紙機才裝配有烘缸，實現了連續生產干的紙產品的生產工藝[10]。經多年發展，涌現了一批新的干燥工藝，如OptiDry干燥工藝、HiDryer干燥工藝、Yankee干燥工藝、紅外干燥工藝、沖擊干燥工藝等，但除了衛生紙采用Yankee干燥工藝干燥、涂布紙采用沖擊干燥或紅外干燥工藝干燥外，目前行業內采用最多的干燥工藝仍是傳統的多烘缸干燥工藝。該干燥工藝中，紙張有2種干燥方式(見圖1)，即對流干燥(AB段)和接觸干燥(BC段)，干燥區長度LAB和LBC可通過式(3)計算得到[11]。

(3)

式中，LAB表示對流干燥區長度，m；LBC表示接觸干燥區長度，m；D表示烘缸直徑，m；L1表示同排相鄰兩烘缸中心水平距離，m；L2表示上下兩排烘缸中心垂直距離，m。

圖1 多烘缸干燥工藝烘缸排布結構

圖2 蒸發過程能流分析

2 紙張表面水分蒸發動力學模型的推導

(4)

(5)

根據守恒定律，則總物料的摩爾流密度N″為：

(6)

式中，N″表示總物料的摩爾流密度，mol/(m2·s)；C表示總物料的摩爾濃度，mol/m3；v表示總物料的平均速度，m/s。

總物料的平均速度v為：

v=xA·vA+xB·vB

(7)

式中，xA和xB分別表示水分和空氣的摩爾分數。

則，水分相對總物料平均速度的摩爾流密度，即擴散摩爾流密度jA為：

jA=CA·(vA-v)

(8)

式中，jA表示水分相對總物料平均速度的摩爾流密度，mol/(m2·s)。

由式(4)和式(8)可得：

(9)

根據Fick定律：

jA=-C·DAB·xA

(10)

式中，DAB表示擴散系數，m2/s；xA表示摩爾分數梯度，m-1。

將式(10)和式(7)代入式(9)中，得：

(11)

式(11)指出了影響紙張表面水分蒸發動力的2種因素：①擴散的影響，即由于水分子相對于總物料平均運動的運動；②平行流動的影響，水分隨著總物料平均運動一起的運動。

(12)

則：

(13)

紙張表面水分遷移示意圖如圖3所示，圖3中δ表示邊界層的厚度，m；xA，0和xA，δ分別表示邊界層上下邊界上水分的摩爾分數；Δz表示任取的積分微元；z和z+Δz分別表示積分微元的上下界面；Pa表示空氣中水蒸氣分壓，Pa；Pp表示紙張表面水蒸氣分壓，Pa。任取一個積分段Δz，定常態物料守恒表明，水分進入平面z的量等于離開平面(z+Δz)的量。

(14)

式(14)兩邊除以Δz，并取Δz→0的極限，得：

(15)

將式(13)代入式(15)：

(16)

圖3 紙張表面水分遷移示意圖

根據克拉伯龍方程C=Ptot/RT(Ptot表示總壓，Pa；R表示氣體常數，R=8.31 J/(mol·K)；T表示溫度，K)，而在計算積分的微元空間內，可以認為Ptot和T是不變的，則可近似認為總摩爾濃度C是恒定的。DAB與組分濃度無關，也可近似為常量。簡化積分計算過程，式(16)是一個以水分摩爾分數表示濃度梯度的二階微分方程。

利用邊界條件：xA(0)=xA，0，xA(δ)=xA，δ。對z積分求解可以得到：

(17)

根據道爾頓分壓定律xA，δ=Pa/Ptot，xA，δ=Pp/Ptot，則，式(17)還可以表示為：

(18)

令DAB/δ=K，即傳質系數，則紙張表面水分蒸發動力學模型可表示為：

(19)

3 紙張干燥過程物料與能量衡算模型的建立

3.1接觸干燥

取絕干定量G的紙張為研究對象。如圖2所示，接觸干燥區有熱源且單面自由蒸發。

根據質量守恒：

(20)

式中，G表示紙張絕干定量，kg/m2；u表示紙張濕含量，kg/kg；t表示時間，s。

根據能量守恒：

(21)

式中，qadd表示烘缸傳給紙張的熱量，J/(m2·s)；qconv表示紙張與空氣間的對流傳熱量，J/(m2·s)；qevap表示水分蒸發帶走的熱量，J/(m2·s)；CF表示絕干纖維比熱，取CF=1400 J/(kg·℃)；CW表示水的比熱，取CW=4200 J/(kg·℃)。

烘缸傳給紙張的熱量：

qadd=hcyl-p(Tcyl-Tp)

(22)

紙張與空氣間的對流傳熱：

qconv=hp-a(Tp-Ta)

(23)

蒸發帶走的熱量：

(24)

式中，ΔHevap表示紙張干燥蒸發熱，J/kg。

則接觸干燥物料與能量衡算模型為：

(25)

3.2對流干燥

如圖2所示，對流干燥區無熱源且雙面自由蒸發，即qadd=0，根據物料與能量守恒原則，同理可得對流干燥物料與能量衡算模型如式(26)所示。

(26)

4 某瓦楞紙機干燥曲線數值仿真與驗證分析

4.1某瓦楞紙機干燥工藝

以某一多烘缸、半密閉氣罩的瓦楞紙機干燥部為例，采用數值分析方法，模擬紙張在干燥過程中溫度和濕含量的動態變化。該干燥部基本參數如表1所示。

表1 紙機基本參數

采用Swema公司的Temp 20測量該干燥部烘缸表面溫度，采用Testo公司的Testo400測量袋區空氣的溫濕度，測量結果如圖4所示。

圖4 烘缸表面溫度與袋區空氣溫濕度測量結果

4.2模型求解的初值和邊界條件

經過工藝調研，紙張進入干燥部的干度為45%，即濕含量u(0)=1.22 kg/kg；溫度為30℃，即Tp(0)=30℃。

紙張是一種吸濕性材料，其表面水蒸氣分壓(Pp)是紙張溫度和濕含量的函數[12]：

Pp=Psat(Tp)·φ(u，Tp)

(27)

飽和水蒸氣壓力Psat與紙張溫度Tp的關系，可用Antoine方程表示：

(28)

φ(u，Tp)是等溫吸附曲線，本研究采用Heikkil?[12]提出的計算模型：

φ(u，Tp)=1-exp(-47.58u1.87-0.10085Tpu1.0585)

(29)

紙張中水分的蒸發熱ΔHevap由2部分構成：汽化潛熱ΔHlat和吸附熱ΔHs。

ΔHevap=ΔHlat+ΔHs

(30)

水的汽化潛熱跟溫度和壓力有關，紙張干燥可近似常壓，則汽化潛熱與溫度的關系可通過查表數據回歸得到：

ΔHlat=(2504.7-2.4789Tp)×103

(31)

吸附熱可用Clausius-Clapeyron方程求解，可得：

(32)

式中，Rv表示水蒸氣常數，Rv=461.52 J/(kg·K)。

4.3仿真結果與驗證分析

紙張干燥過程是一個傳熱與傳質相互耦合的復雜過程，建立的物料與能量衡算模型是一個二元常微分方程組，采用Runge-Kutta四階方法數值求解方程組，各傳熱傳質系數的取值參考文獻[8]和文獻[10]，如表2所示。數值仿真結果如圖5和圖6所示。

表2 各傳熱傳質系數

圖5 紙張在干燥過程中的溫濕度變化曲線及水分蒸發速率曲線

圖6 紙張溫度模擬值與測量值比較分析

利用基于“邊界層”理論的紙張干燥動力學模型模擬得到干燥過程中紙張濕度變化曲線和水分蒸發速率曲線，結果如圖5所示。從圖5可看出，沿紙機MD方向紙張濕含量的變化趨勢大致可分為3個階段：升溫干燥階段、恒速干燥階段、減速干燥階段。從水分蒸發速率變化曲線可以看出，5#～39#烘缸位置屬于恒速干燥階段，1#～4#烘缸位置為升溫階段干燥，40#～48#烘缸位置為減速干燥階段。40#烘缸位置處的紙張濕含量為0.22 kg/kg(干度約為81.9%)，可知對于該干燥過程，當紙張干度大于81.9%時，紙張進入減速干燥階段。

采用Fluke公司的IR 574點溫儀對紙張溫度進行在線測量，以驗證仿真結果的準確性。紙張溫度模擬值與測量值對比分析如圖6所示。由圖6可見，模擬結果和實際在線測量結果非常接近，表明基于“邊界層”理論推導的紙張干燥動力學模型能夠較好地描述紙張干燥過程。

5 結語及展望

利用“邊界層”理論，推導了紙張干燥動力學模型，該模型充分考慮了紙張干燥過程傳熱傳質相互耦合的影響，并綜合考慮了影響紙張表面水分蒸發動力的2種因素，即①擴散的影響，即水分子相對于總物料平均運動的運動；②平行流動的影響，即水分隨著總物料平均運動一起的運動。該模型優于忽略了傳熱傳質耦合影響的經驗模型，也優于忽略了平行流動影響的Fick定律模型。

針對2種不同的紙張干燥形式，即有熱源的接觸干燥和沒有熱源的對流干燥，依據傳熱傳質基本定律建立了紙張干燥過程物料與能量衡算模型，即一個二元常微分方程組。利用Runge-Kutta四階方法求解方程組，數值仿真了某一瓦楞紙機干燥過程，獲得了紙張在該干燥過程中的溫濕度變化曲線以及水分蒸發速率曲線，并定量分析了該干燥過程紙張干燥的3個階段：升溫干燥階段(1#～4#烘缸)、恒速干燥階段(5#～39#烘缸)和減速干燥階段(40#～48#烘缸)。該干燥過程紙張濕含量下降到0.22 kg/kg時，紙張進入減速干燥階段，此時的紙張濕含量也被稱為臨界含濕量(CMC，Critical Moisture Content)。紙張干燥經過升溫階段以后，在臨界濕含量之前，蒸發動力基本恒定，紙張從環境獲得的熱量(包括烘缸表面的接觸傳熱和周圍空氣的對流傳熱)和水分蒸發消耗的蒸發潛熱基本維持動態平衡，紙張溫度基本恒定；當紙張達到臨界濕含量，紙張表面水分蒸發動力下降，水分蒸發消耗的蒸發潛熱和環境給予的熱量不能平衡，紙張溫度呈上升趨勢。在線測量紙張溫度與模型仿真結果的對比分析表明，模擬結果和實際在線測量結果非常接近，驗證了基于“邊界層”理論推導的紙張干燥動力學模型的準確性。

基于“邊界層”理論推導的紙張干燥動力學模型能夠較好地描述紙張干燥過程，但在建立紙張干燥過程物料與能量衡算模型時仍存在一些不足。衡算模型是以烘缸表面和袋區空氣為邊界建立的，只能模擬紙張在干燥部的狀態變化，不能模擬蒸汽-冷凝水系統、通風與余熱回收系統等干燥部子系統，并且模型求解時需要已知烘缸表面溫度與袋區空氣溫濕度的值。而實際生產過程中，紙機一般都沒有安裝測量烘缸表面溫度與袋區空氣溫濕度的傳感器，這使得模型在應用于在線模擬場景時受到很大限制。因此，仍需要開發能夠模擬整個紙機干燥部系統的數學模型，并且要選擇能夠在線測量的變量作為模型的輸入變量，這也將是筆者接下來做進一步深入研究的重點。

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Abstract：A kinetic model of water evaporation on the surface of paper was derived based on the boundary layer theory in the current study.In addition,the mass and energy balance model was established for paper drying process.Using numerical analysis method,a paper drying process of corrugated paper machine was simulated,and the paper temperature,paper moisture,and the drying rate during paper drying process were calculated,three stages during paper drying process were analyzed quantitatively:the temperature-rising drying stage (1#～4#cylinder),the drying at constant rate (5#～39#cylinder) and decelerating drying stage (40#～48#cylinder).When paper moisture dropped to 0.22 kg/kg,the paper entered into the decelerating drying stage.

Keywords：paper drying; evaporation rate; numerical simulation

(責任編輯：陳麗卿)

KineticModelandNumericalSimulationofPaperDryingProcessBaseonBoundaryLayerTheory

CHEN Xiao-bin1,*DONG Yun-yuan1ZHENG Qi-fu1YU Jian-gang1LI Ji-geng2LIU Huan-bin2

(1.CollegeofChemicalandMaterialEngineering,QuzhouUniversity,Quzhou,ZhejiangProvince,324000; 2.StateKeyLabofPulpandPaperEngineering,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou,GuangdongProvince,510640)(*E-mail:xbchen24264@163.com)

TS755

A

1000-6842(2017)03-0037-06

2017-04-06

陳曉彬，男，1988年生；講師；主要從事制漿造紙過程節能與過程優化研究。 E-mail:xbchen24264@163.com