基于多元表征理論下的數學教學實踐研究

☉江蘇省通州高級中學 徐婧婧

基于多元表征理論下的數學教學實踐研究

☉江蘇省通州高級中學 徐婧婧

“多元表征理論”強調數學問題心理表征的多元性及其各方面的相互滲透與必要互補.其中尤為值得關注的是“多元表征理論”對數學問題心理表征的不同方面或成分做出了尤為突出的強調，這些都是數學問題需要正確理解時各具不同作用的成分，而且，理論對各成分之間的聯結和相互轉化也進行了多元表征以促成學生思路的擴散以及認知結構的不斷完善，這對于學生數學表達能力及數學素養來說是極有意義的.

一、加強表征轉換訓練

能夠說明問題如何在腦中呈現及正確表達的“表征”是問題解決的中心環節之一，這是著名心理學家西蒙早就在表征理論中闡述過的觀點.所以說，重視數學概念、公式等表征取向的把握及各問題表征之間的轉換訓練是教學中的重要內容，因此，教師應注重問題情境的創設并使問題表征與數學概念、公式等能夠匹配，從而促成學生對概念、公式等的深刻認識與理解.

基本不等式與方程、函數不同的是對兩個變量、兩個代數式及一個恒成立的不等關系式所進行的研究.學生接觸這樣新型的數學模式既感到新奇又感到陌生，很多學生的思維或許還沉湎于原有的思維模式中不能自拔，因此，教師此時有目的的關于問題表征之間的轉換訓練就尤為有必要了，不同的表征形式一旦展示出來，學生對于數學問題表征的特征及主要形式便會建立初步的了解，問題表征的基本要領也會在此過程中得到逐步掌握，學生對于數學公式的多元表征及基本不等式的深層次理解也會隨之逐步建立.

（1）語言表征：兩個正數的等差中項不小于（大于等于）它們的等比中項.轉換成兩個正數的算術平均數不小于（大于等于）它們的幾何平均數也是一樣的（兩個正數相等時出現唯一的兩種平均數相等的現象），學生在學會使用簡潔而又準確的語言來進行公式的表達時，對于基本不等式的理解、數學語言表達交流能力及數學素養都在這個過程中得到了有意義的鍛煉.

（3）操作表征：引導學生進行兩個正數的取值及其等差中項、等比中項的計算并將結果一一記錄在Excel表格中，繼而引導他們對計算結果進行對比并最終借助兩個代數式之間所存在的關系而猜想出基本不等式.這樣的操作表征對于學生的歸納、概括及猜想等活動能夠提供較為具體且更易理解的直接經驗.

（4）情境表征：商場換季促銷設計了兩種降價的方案：第一種，商品a折的基礎之上再b折銷售；第二種，商品折的基礎上再折進行促銷.哪一種方案更省錢呢？

“商品打折”這一現實生活中的生動題材使得“基本不等式”的教學顯得更富有生命力，學生從自身生活、知識等經驗對數學模型與數學應用進行了親身體驗性的抽象提煉，數學素養不知不覺得到了很好的鍛煉.

圖1

（5）圖像表征：如圖1，半圓的直徑為AB，圓周上有一點C，CH⊥AB，垂足為H.若AH=a，HB=b，則為算術平均值，為幾何平均值.

你能指出a、b的算術平均值與幾何平均值分別是圖中哪條線段嗎？它們之間的大小關系怎樣？

引導學生從熟悉的幾何圖形中進行基本不等式的抽象，使得數形結合思想在抽象中得到體現和應用，學生同時也領悟到了數學獨有的韻味，以及形與數之間的轉化.

學生在數學問題表征的轉換訓練中逐步建立起各種表征方式之間的聯系，學生在各種數學問題表征系統內部及系統之間的轉譯能力也在這樣的轉換訓練中不斷提高，多元表征能力、直覺的經驗積累、對數學問題及數學表征的深入體驗、對數學問題本質的領悟以及數學表達能力都在表征轉換訓練中得到了最好的鍛煉與提高.

二、創設多維表征交流平臺

數學概念、命題、算法及策略經驗等基本模式所產生的心理圖式我們稱之為數學問題的表征模式.表征方式也正因為數學概念、命題及算法等基本模式對數學問題轉譯方式的多樣而呈現出多樣性，解題策略與方法包含在每一種表征中的聯結詞中.問題多維表征能夠促成學生解題思維的有效拓展與聯想，因此，啟發性提示語是教師在教學中應該經常運用的.比如，如果請你依據自身的聯想和經驗對問題進行重新表征，你會怎么做呢？再比如，思維無法繼續的時候你能否變換問題的表征方式呢？這些帶著引導、啟發性的語言往往能使學生產生豐富的聯想并激活自身原有知識經驗使得多維表征得以進行.

問題2：在平面直角坐標系xOy中，有一直線mx-y-2m-1=0（m∈R），試求以點（1，0）為圓心并與該直線相切的所有圓中最大半徑的圓的標準方程.

表征分析1：根據題意可得圓的半徑最大即要求相切時半徑的最大值且r≠0，因此m≠-1.求出r的最大值本題即可解出.教師引導學生如此思考之后還應適時啟發學生運用已有知識與經驗展開聯想，使得問題的表征變得更加靈活，在學生建立一定的問題表征以后再促使學生進行多維表征的交流，表征變得更加容易變通，轉化和化歸能力也就得到鍛煉和凸顯了.

表征1：（二次方程模式）兩邊平方并整理可得（r2-1）m2-2m+r2-1=0，關于m的此一元二次方程有實根即可解決本題，再運用判別式法即可求出r的最大值為因此，題中所求圓的標準方程為（x-1）2+y2=2.

表征分析2：從數學問題圖式入手進行圖形表征可以發現直線mx-y-2-1=0經過定點P（2，-1），依據平面幾何知識將問題轉化，r的最大值為點P與圓心的距離即， 因此，本題所求圓的標準方程為（x-1）2+y2=2.處于不同層次的學生經過不同表征方式的交流對問題表征的經驗進行了不同程度的積累.

三、建構、分析問題表征系統

建構表征系統能夠理順題中各信息之間的邏輯關系、因果關聯，并使學生能夠順利形成清晰的思維走向.

問題3：在銳角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，試求tanAtanBtanC的最小值.

建構表征系統可得：（1） 銳角三角形；（2）sinA=2sinBsinC；（3）求tanAtanBtanC的最小值.因此，對學生進行核心信息“sinA=2sinBsinC”的引導分析，使得問題的本質得以暴露并最終形成順利的解題思維.

思維走向1：（基于生成關系考慮）核心信息（2）經過三角形內角和定理與誘導公式可以轉化為tanB+tanC=2tanBtanC，又tanA=-tan（π-A）=-tan（B+C）=-利用代入法將其轉化.令tanBtanC=t（由（1）得t＞1），再利用換元法進行轉化，tanAtanBtanC=-≥8，所以tanAtanBtanC的最小值為8.

思維走向2：（基于地位關系考慮）將核心信息（2）進行化解可得tanB+tanC=2tanBtanC，由三角形中tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC聯想，運用基本不等式整體進行思考，根據信息（1） 可知tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+2tanBtanC≥，化簡得tanAtanBtanC≥8.

建構表征系統能將核心信息以及信息之間的關系一一理順，并從不同的出發點進行問題的思考.

四、選擇合理的表征方法

對數學問題進行合理的表征是解決問題最為重要的第一步.問題的類型、結構特征、模式識別等都是問題表征之前需要首先進行辨別的，數學問題解決的難易、快慢都因為問題表征是否合理而受影響.

解決此題的常規思想是換元，即求（a-c）2+（a2-2lna-3c+4）2的最小值.學生的思維至此往往陷入困境.但可對進行重新表征，利用函數模式進行聯想，點（a，b）在曲線y=x2-2lnx上，點（c，d）在直線y=3x-4上，利用兩點之間距離公式對（a-c）2+（b-d）2進行模式表征，理解成上述兩點之間距離的平方并構造出幾何模型，本題所求即可轉化為曲線y=x2-2lnx至直線y=3x-4上點的距離平方的最小值.作平行于直線y=3x-4且與曲線y=x2-2lnx（x＞0）相切的切線，本題所求最小值即為該切線至直線y=3x-4的距離的平方.

合理的模式表征使得學生對問題結構特征的思考變得更加簡潔，思維的長度也因此縮短，解題更快.

總之，教師在教學中應創設問題表征的時機并積極引導學生進行表征系統的意義建構，促成學生表征方式與經驗的有效積累并使問題表征能力穩步發展與提高.F