半無限大體中次表面裂紋間的相互影響

張言庫， 楊鴻達， 昝曉東， 刑帥兵， 江曉禹

(西南交通大學 力學與工程學院， 成都 610031)

半無限大體中次表面裂紋間的相互影響

張言庫， 楊鴻達， 昝曉東， 刑帥兵， 江曉禹

(西南交通大學 力學與工程學院， 成都 610031)

針對鋼軌次表面的微裂紋問題，采用含裂紋的半無限大體進行簡化，研究了半無限大體中裂紋間的相互影響。利用彈性力學中半平面體在邊界上受法向分布力的應力公式求出裂紋面上的應力，并采用Kachanov簡化方法，得到了裂紋尖端的應力強度因子。分析了裂紋與表面的距離、裂紋尺寸和裂紋之間的距離對裂紋尖端應力強度因子的影響。結果表明：裂紋與表面的距離越大裂紋間的影響越小，裂紋尺寸越大裂紋間的影響越大，裂紋之間的距離越大裂紋間的影響越小。

應力強度因子；半無限大體；裂紋

鋼軌在鐵路運輸中起著支撐作用。近年來，鐵路運輸向著高速、重載以及高密度使用的方向發展。隨著中國鐵路運行速度的提高，鋼軌表面的破壞越來越嚴重[1]，這些破壞會對列車的行車安全造成危害。鋼軌的破壞很大程度上是因為鋼軌次表面產生裂紋，由于車輪對鋼軌的循環力作用使得鋼軌次表面產生微裂紋，隨著微裂紋擴展到一定程度會導致鋼軌剝離甚至產生斷裂。研究鋼軌次表面的裂紋能更好地了解微裂紋的規律，更加清晰地認識鋼軌的疲勞斷裂機理，對鐵路鋼軌維護起到強有力的助推作用。這也是裂紋問題一直得到廣大學者持續關注的根本原因所在。

針對裂紋問題很多專家學者進行了研究[2-14]。閆相橋[2]利用一種邊界元方法來研究有限長主裂紋與微裂紋的相互作用。夏曉舟等[3]研究不同裂紋布置帶來的屏蔽和增強效應。王恒等[4]用擴展有限元的方法研究了微裂紋對于主裂紋的屏蔽和增強作用。Soh A K等[7]研究了多條微裂紋對主裂紋的影響。高山等[8]研究了界面主裂紋和微裂紋間的干涉。陳小翠等研究了基于擴展有限元方法的主次裂紋之間的影響[9]。王慶豐等[10]研究了不同位置裂紋間的相互作用。卿海等[11]研究了多條表面裂紋相互作用的應力。徐華等[12]利用有限元法直接求解了裂紋群裂尖應力強度因子。高健等[13]研究了一維正方準晶中半無限裂紋問題的解析解。 Chudnovsky A等[14]研究了微裂紋對主裂紋的影響。這些研究不同程度上都揭示了裂紋產生的原因，但由于真實的鋼軌裂紋是在鋼軌次表面上出現的，所以這些研究不能很好地解釋鋼軌次表面裂紋之間的影響。

本文利用彈性力學半平面體上的應力公式和Kachanov方法的核心思想，研究鋼軌次表面裂紋之間的相互影響。采用簡化的鋼軌模型，以鋼軌上的裂紋作為研究對象，計算了次表面上裂紋之間的影響，得到了裂紋尖端應力強度因子的解析解。

1 理論研究

1.1 研究模型

由于中國鐵路技術的飛速進步，鐵路運輸向著高速、重載和高密度方向發展，這就導致鋼軌的接觸疲勞損傷越來越嚴重。鋼軌表面、次表面的裂紋對鋼軌的剝落掉塊會有很大的影響。研究鋼軌的次表面裂紋對于保護鋼軌有很重要的意義。圖1是鋼軌實物[15],左圖是裂紋向左上擴展，右圖是裂紋向右擴展,橢圓圈標出的是裂紋有分叉的位置。

圖1 含裂紋鋼軌實物

從圖1中的裂紋尺寸可見：鋼軌上的裂紋相對于鋼軌尺寸(鋼軌高176 mm)是很小的，因此本文將鋼軌處理為半無限大體，且在距離半無限大體表面很近的位置有裂紋，以模擬鋼軌在次表面出現裂紋的情況，并通過施加局部荷載研究裂紋間相互影響作用。

1.2 問題求解

圖2是平面應力狀態的理論分析模型，所示在半無限大體中在邊界ab上作用有分布力，它在各個點的集度為q=1 N/mm，在ab上距離坐標原點ξ處，取微小長度dξ。將dF=qdξ看作一個微小的集中力，因此可以得出dF=qdξ在M點引起的應力。

(1)

(2)

(3)

由式(1)～(3)可以得出：

(4)

(5)

(6)

根據式(4)～(6)可以求出裂紋上的應力，然后采用Kachanov簡化方法[5-6]計算裂紋尖端的應力強度因子：

(7)

圖2 理論示意圖

2條裂紋情況：2條裂紋長度為2L，距離為h，用KⅠ/KⅠ0表示裂紋間相互作用影響。KⅠ表示2條裂紋相互影響時A裂紋的應力強度因子，KⅠ0表示在半無限大體與表面距離較大時單獨一條裂紋時的應力強度因子。此時

(8)

p∞可以用σx在裂紋面上積分求出，

(9)

(10)

(11)

(12)

令圖3中a=1 mm,b=1 mm,L=0.4 mm,可以計算2條共線裂紋相互影響的結果。

圖3 2條裂紋的布置圖

3條裂紋情況：每條裂紋長度為2L，距離為h，用KⅠ/KⅠ0表示裂紋間相互作用影響。KⅠ表示3條裂紋相互影響時B裂紋的應力強度因子，KⅠ0表示在半無限大體與表面距離較大時單獨一條裂紋時的應力強度因子。此時：

(13)

p∞可以用σx在裂紋面上積分求出，

(14)

(15)

(16)

(17)

令a=1 mm,b=1 mm,可以計算3條共線裂紋相互影響的結果。

圖4 3條裂紋的布置圖

2 計算結果與討論

2.1 有限元模型

2.1.1 有限元模型的建立

為了驗證第1部分的理論推導，建立了一個二維的有限元模型。模型的長度為40 mm，寬度為40 mm，裂紋長度為0.8 mm。材料的彈性模量為210 GPa，材料的泊松比為0.3，因此可以當作一個半無限大體。單元類型是plane183。裂紋尖端用奇異三角形單元。在模型局部-1到1的表面施加q=1 N/mm的均布荷載。裂紋區域網格見圖5。

圖5 裂紋區域網格

2.1.2 結果修正

在理論計算時采取了半無限的模型，考慮無限域處理帶來的理論誤差，可以基于有限元的結果對模型做適當的修正(圖6)。通過對數據的對比分析發現，隨著裂紋深度的不同誤差不同，所以采用了修正函數修正誤差。

(18)

圖6 誤差修正

2.2 2條共線裂紋間的相互影響

這一部分將分析半無限大體中，在局部載荷作用下，2條平行于表面的共線裂紋之間的相互影響。

圖7給出了裂紋尖端應力強度因子隨著與表面距離變化的結果。模型的參數選取為：a=1 mm,b=-1 mm,L=0.4 mm。從圖7可以看出：隨著與表面距離的增大，裂紋尖端應力強度因子越來越小，這是因為與表面距離越大，表面對裂紋的影響就越小。還可以看出：在與表面距離保持一定時，裂紋之間的距離越大，裂紋尖端的應力強度因子越大，這是因為裂紋之間的距離越大，裂紋之間的影響就越小。

圖7 KⅠ/KⅠ0隨著x的變化曲線

圖8給出了裂紋尖端應力強度因子隨著裂紋之間的距離變化的結果。模型的參數選取為：a=1 mm,b=1 mm,L=0.4 mm。從圖8可以看出：隨著裂紋之間距離的增大，裂紋尖端應力強度因子越來越小，這是因為裂紋之間距離越大，裂紋之間的相互影響就越小。還可以看出：在裂紋間的距離保持一定時，裂紋與表面距離越大，裂紋尖端的應力強度因子越小，這是因為與表面距離越大，表面對裂紋的影響就越小。這種趨勢與圖7的趨勢是一樣的。

2.3 3條共線裂紋間的影響

這一部分將分析半無限大體中，在局部載荷作用下，3條平行于表面的共線裂紋之間的相互影響。

圖9給出的是在局部荷載作用下半無限大體中3條共線裂紋尖端應力強度因子隨著裂紋間距離變化的結果。模型的參數選取為:a=1 mm,b=1 mm,L=0.4 mm。從圖9可以看出：隨著裂紋間距離的增大，裂紋尖端應力強度因子越來越小，這是因為裂紋之間距離越大，裂紋之間的相互影響就越小。還可以看出：在裂紋間的距離保持一定時，裂紋與表面距離越大，裂紋尖端的應力強度因子越小，這是因為與表面距離越大，表面對裂紋的影響就越小。這種趨勢與兩條裂紋時的趨勢是一樣的。

圖8 KⅠ/KⅠ0隨著h的變化曲線

圖9 隨著h變化的KⅠ/KⅠ0的曲線

圖10給出的是在局部荷載作用下半無限大體中3條共線平行裂紋隨著L變化的裂紋尖端應力強度因子結果。模型的參數選取為：a=1 mm,b=1 mm,L=0.4 mm,h=2 mm。從圖10可以看出：隨著裂紋長度的增大，裂紋尖端應力強度因子越來越大，這是因為裂紋長度越大，裂紋面上的應力就越大，并且裂紋尖端會越接近。同時能夠看出，在裂紋長度保持一定時，裂紋之間的距離越大，裂紋尖端的應力強度因子越小。

無論是3條共線裂紋還是2條共線裂紋，裂紋的應力強度因子之所以會隨著裂紋長度、距離改變而變化，本質上是裂紋上的應力場受到其他裂紋的影響而發生變化。因此，研究這些影響有利于對裂紋的擴展做出理論上的解釋，進而解決工程上的問題。

圖10 隨著L變化的KⅠ/KⅠ0的曲線

3 結論

1) 裂紋與表面的距離對于裂紋之間影響很大，距離表面越近的裂紋彼此間影響會越大，容易造成裂紋在鋼軌中擴展，使鋼軌表面產生微小剝離，所以應該定期檢查鋼軌損壞情況。對于距離表面比較近的次表面裂紋，應該采取預防性打磨的形式消除剝離的隱患。

2) 裂紋長度會對裂紋間的影響產生較大作用，對于長度比較大的次表面裂紋區域應重點監測檢查，這種長度的裂紋更加容易擴展，會對鋼軌造成破壞，可以采用維修性打磨的形式防止危害。

3) 裂紋之間的距離對裂紋間的相互影響會有顯著作用，對于次表面裂紋密集的區域，因為裂紋之間距離很近，這些區域的裂紋極易相互影響擴展形成較長的裂紋，對鋼軌造成比較嚴重的破壞，故應根據實際情況采取維修性打磨形式或替換的措施保護鋼軌正常使用。

鋼軌的破壞會影響列車的行車安全，而鋼軌的主要破壞形式是鋼軌踏面的剝離掉塊，因此，消除鋼軌次表面微裂紋的影響帶來的剝離可以有效地延長鋼軌使用壽命，提高鋼軌使用效率。

[1] 郭火明,王文健,劉騰飛,等.重載鐵路鋼軌損傷行為分析[J].中國機械工程,2014,25(2):267-272.

[2] 閆相橋.主裂紋與微裂紋相互作用的有效算法[J].力學學報,2006,38(1):119-124.

[3] 夏曉舟,章青,喬丕忠,等.裂紋間作用機制探討及微裂紋區對主裂紋的作用效應研究[J].應用數學和力學,2010,31(1):61-70.

[4] 王恒,柳占立,許丹丹，等.微裂紋群與主裂紋相互作用的擴展有限元分析[C]//北京力學會學術年會論文集.北京：北京力學會，2015.

[5] KACHANOV M.Elastic solids with many cracks:A simple method of analysis[J].International Journal of Solids & Structures,1987,23(1):23-43.

[6] KACHANOV M.A simple technique of stress analysis in elastic solids with many cracks[J].International Journal of Fracture,1985,28(1):R11-R19.

[7] SOH A K,YANG C H.Numerical modeling of interactions between a macro-crack and a cluster of micro-defects[J].Engineering Fracture Mechanics,2004,71(2):193-217.

[8] 高山,王曉明.界面主裂紋和微裂紋之間的干涉[J].力學學報,1997,29(3):287-295.

[9] 陳小翠,杜成斌,江守燕.基于XFEM的主次裂紋間應力強度因子相互作用[J].河海大學學報(自然科學版),2014,42(4):327-331.

[10] 王慶豐,黃小平,崔維成.不同位置裂紋間的互相作用及其影響規律的有限元分析[J].江蘇科技大學學報(自然科學版),2006,20(1):16-19.

[11] 卿海,楊衛,呂堅.多條表面裂紋相互作用的應力分析[J].工程力學,2009,26(1):1-6.

[12] 徐華，徐德峰，楊綠峰.裂紋群應力強度因子分析的廣義參數有限元法[J].應用數學和力學，2016，37(10)：1039-1049.

[13] 高健，劉官廳.一維正方準晶中半無限裂紋問題的解析解[J].應用數學和力學，2015,36(9):945-955.

[14] CHUDNOVSKY A,DOLGOPOLSKY A,KACHANOV M.Elastic interaction of a crack with microcracks[J].Fracture,1984(4):825-832.

[15] 周劍華，任安超，吉玉，等.U71Mn 鋼軌踏面剝離掉塊缺陷分析[J].中國鐵道科學，2013，34(2)：1-6.

(責任編輯劉 舸)

InteractionAmongSubsurfaceCracksinanElasticHalf-Plane

ZHANG Yanku, YANG Hongda, ZAN Xiaodong, XING Shuaibing, JIANG Xiaoyu

(School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

It is simplified as a half-plane contains micro-cracks for the problem of micro-cracks on the subsurface of the rail. It analyzed the interaction between the micro-cracks in the half-plane. The tractions along the cracks are obtained from the stress formula of a half-plane subjected to a normal distribution force at the boundary in the elastic mechanics. Based on Kachanov’s simplified method, the solution of a half-plane containing the micro-cracks is presented. The stress intensity factor at the crack tip is obtained and the interaction among collinear micro-cracks is analyzed. The results show that the interaction among cracks decreases with the distance among the cracks increasing, and the distance between the micro-crack and the surface increasing and the crack size decreasing.

stress intensity factor; semi-infinite; cracks

2017-06-28

國家自然科學基金資助項目(11472230)；國家自然科學基金重點資助項目(U1134202,E050303);四川省青年科技創新團隊資助項目(2013TD0004)

張言庫(1990—)，男，山東聊城人，碩士，主要從事應用力學研究，E-mail:1911778208@qq.com。

張言庫， 楊鴻達， 昝曉東， 等.半無限大體中次表面裂紋間的相互影響[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(10):90-95.

formatZHANG Yanku, YANG Hongda, ZAN Xiaodong, et al.Interaction Among Subsurface Cracks in an Elastic Half-Plane[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(10):90-95.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.10.015

O346.1

A

1674-8425(2017)10-0090-06