理解DFT如何逼近FT的實例教學法

徐友根， 彭開南， 鄭一鳴

(北京理工大學 信息與電子學院， 北京 100081)

理解DFT如何逼近FT的實例教學法

徐友根， 彭開南， 鄭一鳴

(北京理工大學 信息與電子學院， 北京 100081)

本文結合一個離散傅里葉變換DFT計算實例，分析了DFT與連續時間傅里葉變換FT之間的聯系，以較為直觀的方式闡述了由FT到DFT的演變過程，以及該過程關鍵環節對最終結果的影響，主要包括譜泄漏，折疊效應，柵欄效應以及譜折移等。教學實踐表明，通過該實例講述DFT對FT的逼近問題，能有效加深學生對DFT的認識和理解。

數字信號處理；傅里葉變換；離散傅里葉變換

0 引言

離散傅里葉變換DFT作為有限長序列的一種頻域表示法，在理論上有著重要的作用。由于其存在快速計算方法—快速傅里葉變換FFT，因而在數字信號處理中也有著重要的作用。

現有數字信號處理教材在引入DFT概念時，一般從連續非周期信號的傅立葉變換FT出發，將信號時域采樣，從而FT轉化為離散時間傅里葉變換DTFT。然后將信號的頻譜采樣，得到離散傅立葉級數DFS的公式。再將時域和頻域上各取一個主值區間就形成了DFT。這一過程中存在四種變化需要注意，也即截斷效應(譜泄漏)，折疊效應，柵欄效應以及譜折移[1,2]。根據筆者的教學體會，很多學生雖然應用DFT公式計算相當熟練，但對DFT概念的來龍去脈未必清楚，對上述四種變化引出的誤差也缺乏直觀認識。

本文通過DFT計算實例，對由FT到DFT的演變過程作了簡單而系統的闡述，將其引入到教學中，講授DFT對FT的逼近問題能加深學生對DFT概念的理解和掌握。

1 DFT逼近FT的過程

圖1所示為DFT逼近FT的詳細過程。

2 DFT計算

考慮下述DFT計算實例：

對模擬信號xa(t)=-0.5+cos2(200πt)以一定的采樣率進行采樣，得到一個 256點數字序列，記作x(n)，其中n=0～255。

圖1 DFT逼近FT的過程

若采樣率為Fs=0.8 kHz，計算序列x(n)的256點DFT。

對于該實例，如果直接利用公式求取DFT，結果為

DFT[x(n)]=64[δ(k-64)+δ(k-192)]

(1)

式中，δ(·)表示狄拉克Delta函數,k=0～255。

上述計算過程十分簡單，但是直接公式計算的方法無法體現出如圖1所示的由DFT逼近FT的詳細過程。本節探討上述實例的另一種解法，借此分析由DFT逼近FT的全過程。

2.1信號數字化前后的時域變化

首先，根據題意可知時域采樣后的離散信號為x(n)=0.5cos(400πn/Fs)，其中n=0～255。故此，采樣區間應為0～255/Fss，而記錄長度則為tp=256/Fs=0.32 s。這一采樣截斷過程也等效于先將原信號xa(t)加窗截斷為x(t)再采樣，其中窗函數w(t)長度為tp，如圖2所示。

由于xa(t)的周期為T=0.005 s，也即采樣間隔為1/Fs=0.00125 s，故此采樣的完整周期數應是tp/T=64，由此可知，一個周期內的采樣點數為FsT=Fs/200=4，如圖2所示。

2.2信號數字化前后的頻譜變化

根據定義，不難得到原周期余弦信號xa(t)的頻譜為Xa(f)=0.5π[δ(f-200)+δ(f+200)]。由卷積定理可知，截斷信號x(t)的頻譜應為Xa(f)與窗函數頻譜W(f)的卷積，其中

W(f)=tpsinc(ftp)e-j2πftp/2

=0.32sinc(0.32f)e-j0.32πf

(2)

圖2 信號數字化前后時域關系示意圖

式中，sinc(·)表示辛格函數。根據辛格函數的性質，函數零點位于f=n/tp處，其中n為非零整數。再注意到tp=256/Fs，也即1/tp=Fs/256，所以W(f)的零點間隔剛好應該為DFT頻率分辨率Fs/256的整數倍，如圖3所示。

根據定義，W(f)與Xa(f)卷積后的結果為

(3)

卷積之后的頻譜零點仍位于f=n/tp處，其中f≠±200 Hz。

對x(t)采樣后，所得信號xs(t)其頻譜將以采樣率Fs=0.8 KHz為周期進行周期延拓，同時譜值變為原來的Fs倍，即tpFs/4=64，如圖3所示。

對上述頻譜進行采樣，主值區間值即為x(n)的DFT結果。根據DFT的定義，其主值區間內頻譜采樣點數為256。又由于DFT的頻率分辨率為Fs/256，所以采樣點應位于f=kFs/256處，其中k=0～255。當k在0～255這一范圍內取值時，由于頻譜零點位于f=n/tp=nFs/256處，其中f≠(±200+800m)Hz，m為任意整數。故此，只有在f=200 Hz和f=600 Hz，也即k=64和k=192時，采樣結果不為0，其他點全部對應著頻譜的零點，如圖3所示，此DFT結果與式(1)所示結果完全相同。

3 結果辨析

上述DFT計算結果中僅有兩根譜線，似乎很接近FT頻譜，但兩者具有明顯區別。

(徐友根等文)

圖3 信號數字化前后頻譜關系示意圖

事實上，無論時域采樣率多高，DFT逼近的僅是截斷采樣信號xs(t)的FT主值區間內容，或者序列x(n)的DTFT的主值區間內容，這一過程存在譜泄露，折疊效應，柵欄效應以及譜折移等幾點問題需要注意。

本例中的采樣為整周期采樣，采樣點剛好位于辛格函數的零點處，DFT的結果只含有兩條譜線，但由第2.2節中的討論可知，該兩根譜線位置取決于頻率分辨率。

現800×64/256=200 Hz，位置相同。離散信號頻譜幅度與連續信號頻譜積分幅度之間的關系與信號的時域離散化、加窗(頻譜卷積)等有關。另外，本例中是存在譜泄露現象的，但由于柵欄效應而并未被觀察到。

若采用非整周期采樣的方法，使頻率采樣點避開辛格函數的零點，即可觀察到柵欄效應，計算機仿真結果如圖4所示，通過對比，可以看出非整周期采樣使DFT的結果更加逼近截斷采樣信號xs(t)的FT，或者說更逼近x(n)的DTFT主值區間內容。當然，采用補零的方法也可減小柵欄效應，但其與非周期采樣結果的實質并不完全相同，具體如圖4所示。

圖4 整周期采樣和非整周期采樣DFT的比較

4 結語

通過本文列舉的一個DFT計算實例，可以清楚地闡述DFT對FT的逼近過程，及其中所存在的四種主要變化。筆者在講授數字信號處理DFT部分時，采用了上述實例法，起到了很好的教學效果。實踐表明，采用該法，使學生很易理解和掌握DFT基本概念，一定程度上跳出了僅注重表面公式計算而忽視其內涵和實質的誤區。

[1] 程佩青. 數字信號處理教程[M]. 北京: 清華大學出版社, 2013年2月.

[2] 趙春暉, 喬玉龍, 崔穎. 數字信號處理學習指導及實驗[M]. 北京: 電子工業出版社, 2008年10月.

AnExample-BasedIllustrationoftheConnectionbetweenDFTandFT

XUYou-gen,PENGKai-nan,ZHENGYi-ming

(SchoolofInformationandElectronics,BeijingInstituteofTechnology,Beijing100081,China)

The connection relationship between the discrete Fourier transform (DFT) and the continuous time Fourier transform (FT) is analyzed in this paper based on an example. The main contents of the relationship are spectral leakage, aliasing problem, grating phenomenon, and spectral shift. Teaching practice shows that this example-based method is very helpful for student to understand how DFT works.

digital signal processing; Fourier transform; discrete Fourier transform

2016-10-18;

2017-02-16

徐友根(1975-)，男，博士，教授，主要從事數字信號處理方面的教學與科研工作，E-mail: yougenxu@bit.edu.cn

TN913

A

1008-0686(2017)05-0076-03