流體黏性及表面張力對氣泡運動特性的影響?

艾旭鵬 倪寶玉

(哈爾濱工程大學船舶工程學院,哈爾濱 150001)

流體黏性及表面張力對氣泡運動特性的影響?

艾旭鵬 倪寶玉?

(哈爾濱工程大學船舶工程學院,哈爾濱 150001)

氣泡,邊界層,黏性,表面張力

1 引 言

黏性流體中多氣泡的運動和耦合作用在生物、化學、海洋工程中應用十分廣泛,比如組織和細胞損傷[1]、水下爆炸氣泡[2]、微氣泡減阻[3]等.從數學模型和數值模擬角度而言,這一問題主要涉及兩大有趣但又具有挑戰性的難題,一是氣泡與氣泡間的強非線性耦合效應,二是流體黏性效應對于氣泡耦合效應的影響.對于第一個問題,目前較常用的有效解決方法之一是采用完全非線性邊界元(BEM)方法.文獻[4—8]針對這一問題進行了大量的研究,取得了較大的進展.對于第二個問題,一方面可以采用計算流體力學(CFD)方法近似求解Navier-Stokes(N-S)方程[9,10],但是計算量和計算精度都有待進一步優化;另一方面,采用“邊界層”理論,將黏性效應限制于很薄的流體層內,而層外則依然可以采用勢流理論進行計算.邊界層理論的思想最早源于普朗特的平板阻力,在船舶領域應用廣泛.但是有關氣泡邊界層理論,發展和研究都相對較晚.

Miksis等最早在氣泡動力學中引入邊界層理論的思想[11].Miksis等認為氣泡周圍存在一薄邊界層,邊界層外流體滿足無黏不可壓縮勢流理論,邊界層內考慮流體黏性效應,邊界層兩側滿足法向應力連續,但不滿足切向應力連續.由于此邊界層很薄,忽略邊界層內外速度的變化,這樣便可采用邊界積分法數值模擬計及弱黏性效應的氣泡動態變化.此后,研究人員從不同角度改進Miksis等的氣泡邊界層理論.Lundgren和Mansour[12]進一步分析了邊界層方程,獲得了邊界層兩側壓力差和法向速度差的表達式.Boulton-Stone和Blake[1,13]又進一步擴展了Lundgren和Mansour的方法,使得邊界層兩側速度的切向分量也連續,在此基礎上首次成功地數值模擬了單個軸對稱氣泡在自由面處的破裂現象.Georgescu等[14]也采用Miksis的氣泡邊界層理論模擬氣泡在自由面處的破裂現象,在邊界積分和時間步進上均采用二階單元,以獲得更好的精度.Klaseboer等[15]采用Joseph和Wang[16]的思想修正邊界層理論,同時考慮了法向和切向應力的連續,應用邊界積分法數值模擬了高雷諾數下軸對稱氣泡在流體中的脈動上浮現象.Lind和Phillips[17,18]分別研究了考慮法向應力連續的軸對稱氣泡在固壁面和自由液面附近的脈動.倪寶玉等[19]聯合模型實驗和數值模擬研究了常壓小氣泡在自由表面的破裂,數值模擬中考慮了法向應力連續的軸對稱模型,主要分析了射流斷裂后的水滴形態以及水滴撕裂現象.Zhang和Ni[20]研究了軸對稱和三維氣泡在法向和切向應力同時連續的情況下在無界重力場中的脈動,得到氣泡射流速度隨流體黏性增加而衰減的結論.Li和Ni[21]在此基礎上又進一步研究了氣泡與自由面相互作用過程中流體黏性效應的影響.

以上所述的數值研究中對于黏性效應的處理大部分側重于法向應力連續,對于切向應力連續的考慮較少;數值模型中以軸對稱為主,三維模型則十分少見;而對于考慮黏性效應和表面張力下多氣泡耦合作用的三維模型公開發表的文獻還很少.鑒于此,本文在前人基礎之上,首先將建立的數值模型與Rayleigh-Plesset的解析解進行對比,驗證數值模型的有效性;其次研究不同雷諾數下雙氣泡耦合過程中出現的各類物理現象及變化規律;最后研究雷諾數和韋伯數對于單個球狀脈動氣泡的影響規律.

2 理論與方法

圖1給出了雙氣泡耦合作用的示意圖,這里假定初始位置較低的氣泡為“氣泡1”,位置較高的為“氣泡2”.定義笛卡爾坐標O-xyz,坐標系的原點處于氣泡1的初始中心處,z軸豎直向上.氣泡1與氣泡2的初始中心距離為h.

圖1 雙氣泡耦合作用示意圖Fig.1.Sketch of interaction between two bubbles.

2.1 控制方程

本文主要考慮不可壓縮、動力黏性系數恒定的牛頓流體,根據亥姆霍茲速度分解定理[22],流場中任意一點速度U均可以分解為無旋的速度u=?φ和有旋的速度v=?×a.對于不可壓縮流體的質量守恒方程則為

式中?是哈密爾頓算子,φ是速度勢,a是一個非零矢量勢.對于不可壓縮流體的動量守恒方程為N-S方程:

式中t是時間,g是重力加速度,P是壓力,ρ是流體密度,ν是流體的運動黏性系數.將u=?φ代入到方程(2)并考慮到無旋運動的特點,方程(2)可簡化為

式中P∞是無窮遠處參考壓力,模型中不考慮背景聲壓,氣泡的背景壓力只有靜水壓力.Pvc為黏性壓力,滿足

用(4)式直接求解Pvc十分困難,本文采用間接求解方法.

2.2 邊界層理論

對于法向應力,在第i個氣泡的界面處,根據楊氏-拉普拉斯方程,可知法向應力平衡條件為

式中下標i表示第i個氣泡,i可取1或者2;Pl是界面處液體壓力,Pb是界面處氣體壓力,對于氣泡有Pb=Pc+P0(V0/V)ι,其中Pc是飽和蒸汽壓,P0和V0分別是氣泡初始形成時的壓力和體積,V是氣泡體積,ι是氣泡內氣體的比熱比;τn是法向黏性應力;σ是表面張力系數;κ是界面的局部曲率.當流場的無旋速度?φ在總速度中占主導地位時,在氣泡附近很薄的邊界層內法向黏性應力可近似表達為滿足

對于切向應力,由于氣泡內氣體的動力黏性系數相對于流體十分小,故可認為在氣泡表面切向黏性應力為0.但是,無旋速度?φ在界面處誘導的切向應力卻不為零,即τs=2ρυ(?φτ/?n)/=0. 如果直接采用切向應力為零的切向應力連續條件,則無旋速度誘導的切向應力在邊界處的做功則被人為忽略了.為了彌補這一非零的切向應力的貢獻,根據Joseph和Wang[16]的推導,假設在氣泡附近很薄的邊界層內,切向應力τs的切向做功與黏性壓力的法向做功相等:

式中t和n分別是邊界的切向單位矢量和法向單位矢量,S是流域的所有邊界,包含氣泡1和氣泡2的邊界Sb1和Sb2.

如前所述,采用(4)式直接求解黏性壓力Pvc在數值上具有極大困難,這使得我們不得不尋找求解Pvc的其他方法.這里引用Joseph和Wang[16]的一個經驗性假設條件,認為黏性壓力與無旋速度誘導的法向應力成正比,即

其中C是未知的比例系數,考慮到(6)式中的τs在三維問題中難以直接求解,這里采用能量守恒法進行求解.對于三維工況,首先需要將?2φ/?n2轉化到笛卡爾坐標系中,有

根據Lamb[22]的公式,對于無旋流場,黏性能量耗散率D可表達為

式中(u,v,w)是速度矢量u在笛卡爾坐標系中的三個分量.另一方面,通過功能關系,黏性能量耗散率D與單位時間黏性應力做功W相等:

將方程(6),(7),(8)代入方程(10),再與方程(9)聯立,最終可獲得未知系數C的表達式為

2.3 邊界條件

將方程(5)和(7)代入方程(3)中,并考慮到物質導數與局部導數間的關系?,則可以獲得在第i個氣泡表面的全非線性動力學邊界條件:

拉格朗日系統中第i個氣泡的全非線性運動學邊界條件為

式中x=(x,y,z)是氣泡上任一個質點的矢量坐標.最后,在無窮遠處擾動為零,則無窮遠邊界條件為

2.4 三維邊界元方法和無量綱化

采用格林第三公式和格林函數G,方程(1)可轉化為如下的邊界積分方程:

式中S是包含氣泡表面Sb1和Sb2以及無窮遠邊界S∞在內的所有邊界;p和q分別是場點和源點,ε(p)是在p點處觀察流場的立體角;三維格林函數G(p,q)=1/|R?r|,其中R和r分別是p和q的位置矢量.

對于y和z方向有類似的公式.對于偏微分方程(16)可以參照方程(15)的方法進行求解,將求解的結果代入方程(8)和(11),即可得到和C.

其中?_i是第i個氣泡的強度參數,不同氣泡的強度參數可以一樣也不可以不一樣;Rmax為所有氣泡在無界自由場中球狀運動時能達到的最大半徑,初始強度參數越大的氣泡Rmax也越大.后文中無量綱量均用“一拔”表示.

3 結果與討論

3.1 有效性驗證

為了校核本文數值模型的有效性,這里采用單個球狀氣泡為對象,忽略重力的影響(Fr→∞),分別采用解析解和數值模型求解單個球狀氣泡在黏性流體中的脈動.當氣泡是球狀時,氣泡半徑的脈動方程可由Rayleigh-Plesset方程[24]求解:

另一方面,可采用本文建立的邊界元模型進行求解,且考慮到球狀氣泡為軸對稱模型,可分別采用軸對稱邊界元和三維邊界元獲得數值結果.將數值結果與解析解進行對比分析,驗證數值程序.

選取初始無量綱參數為?=100,We=通過初始條件(19)式可以計算得到無量綱初始半徑ˉR0=0.1485.對應的軸對稱模型母線離散為33個節點,32個線性單元;三維模型表面離散為362個節點,720個三角形單元.圖2給出了球狀氣泡半徑隨時間變化的軸對稱、三維數值結果與精確解的對比曲線.圖中圖標Re(∞)表示雷諾數趨于無窮大,即不考慮黏性效應的工況;Re(102)表示采用Rayleigh-Plesset方程(18)直接求解的精確解;axi表示對應的軸對稱邊界元模型的結果;3d表示對應的三維邊界元模型的結果.由圖2可見,不考慮黏性效應的情況下,氣泡在每次膨脹到最大時刻均可精確達到無量綱最大半徑1,且無量綱運動周期維持在1.99不變.此時可將氣泡視為一個無能量損耗的彈簧振子,在內外壓力差和慣性作用下不斷往復地在平衡位置振動.然而,在考慮了黏性效應之后,氣泡每次膨脹到最大的半徑將無法達到1,且隨著脈動而逐漸減小,前三周期最大半徑依次為0.966,0.914,0.873;相應地,收縮到最小的半徑也大于初始半徑ˉR0=0.1485,且隨脈動而逐漸增大.同時,氣泡脈動的周期逐漸減小,首次和二次依次為1.95和1.89.

圖2 (網刊彩色)黏性球狀氣泡半徑時歷曲線Fig.2.(color online)Time histories of bubble radius with viscous effect of fluid.

對于軸對稱邊界元模型,在前三周期氣泡半徑最大時刻與精確解的相對誤差分別為0.76%,1.01%和1.13%,對于三維邊界元模型,在前兩周期氣泡最大半徑時的相對誤差分別為0.19%和0.36%.可見軸對稱和三維模型的數值解與Rayleigh-Plesset方程精確解符合度很高,證明了本文建立的邊界元模型是有效可行的.由于軸對稱模型與三維模型的網格構造方法不同:對于軸對稱模型,只需在母線上劃分若干段線段網格;對于三維模型,需要在整個球面上劃分若干個三角形網格.數值計算中網格劃分方法會對計算結果有一定影響,所以在數值積分時,二者結果會有一定差異.從圖中可見兩種模型的差異十分微小,在數值計算中是可以理解和接受的.此時氣泡可視為計入結構內黏性的彈簧振子模型,在往復振動中不斷有黏性能量消耗.Zhang等[25]給出了考慮流場可壓縮性后氣泡半徑脈動曲線,也觀察到了類似的半徑衰減的現象,然而二者產生的原因是截然不同的,計及黏性效應時初始氣泡內能不斷被黏性耗散,而可壓縮性是將初始內能不斷傳遞并儲存到流場中.

圖5給出了球狀氣泡無量綱黏性耗散率的變化曲線.

圖3 (網刊彩色)黏性球狀氣泡徑向速度時歷曲線Fig.3.(color online)Time histories of radial velocity of the bubble with viscous effect of fluid.

圖4 (網刊彩色)黏性球狀氣泡內壓時歷曲線Fig.4.(color online)Time histories of inner pressure of the bubble with viscous effect of fluid.

圖5 (網刊彩色)球狀氣泡黏性耗散率時歷曲線Fig.5.(color online)Time histories of viscous dissipation rate of the bubble

3.2 典型結果分析

在驗證數值模型有效性的基礎上,研究兩個串列的氣泡的相互作用.假定兩個氣泡初始均靜止且二者內壓相同,即強度參數一致.這里給定初始參數分別為?_1=?_2=100,We=1.37×106,Re=100,Fr=5和λ=2.5.零時刻氣泡表面的初值條件為和

圖6 (網刊彩色)重力場中考慮流體黏性效應的兩氣泡演化過程(a)ˉt≈0.0241;(b)ˉt≈1.2336;(c)ˉt≈1.9911;(d) ˉt≈ 2.2025Fig.6.(color online)The evolution of the bubbles with viscous effect of fluid under gravity:(a)ˉt≈0.0241;(b)ˉt≈1.2336;(c)ˉt≈1.9911;(d)ˉt≈2.2025.

圖6給出了考慮流體黏性效應的兩個氣泡耦合作用的演化過程,其中云圖表示速度勢大小(紅色表示高、藍色表示低).圖6(a)對應氣泡初始狀態,兩個球狀氣泡在各自高壓的作用下向外膨脹,由于氣泡間的耦合作用,相互臨近的表面的速度勢和速度較低,而相互遠離的表面的速度勢和速度較高.圖6(b)對應上氣泡體積達到最大的時刻,此時下氣泡的下表面在浮力的作用下已經開始進入收縮階段.從圖6(c)中可清晰地觀察到下氣泡的下表面已經變得平坦,而上氣泡在下氣泡的吸引作用下呈現“鴨蛋狀”.圖6(d)對應下氣泡坍塌結束時刻,此時可見在浮力、流體黏性、氣泡之間的吸引力(又稱為Bjerknes力)等多種耦合作用的影響下,下氣泡的下表面內卷形成典型的氣泡射流,射流即將穿透下氣泡而形成環狀射流.同時上氣泡在多種力的作用下,仍然以“鴨蛋狀”較慢地收縮.

由于缺乏可對比的實驗數據,這里分別采用軸對稱邊界元模型和三維邊界元模型計算圖6的工況,并將計算得到的射流速度曲線進行對比,如圖7所示,其中viscous axi和viscous 3d分別是考慮黏性作用的軸對稱模型和三維模型.本文將射流速度定義為氣泡下表面內凹最高點處流體質點的法向速度.從圖7的對比可見二者計算的結果精確符合,再度驗證了數值模型的有效性.此外,為了突出流體黏性效應的作用,再采用三維邊界元模型計算不考慮黏性作用的圖6工況,即令Re無窮大,而保持其他參數不變.不考慮黏性效應的計算結果與考慮黏性效應的計算結果對比顯示,考慮黏性作用后,射流尖端的速度降低,射流砰擊氣泡表面的時間推遲.表明流體的黏性效應將抑制氣泡射流的發展,降低氣泡射流的速度和能量.

圖7 (網刊彩色)兩個氣泡耦合作用中下氣泡射流速度曲線對比圖Fig.7.(color online)Variation of jet velocity of the lower bubble during interaction of two bubbles.

在進一步討論黏性效應對能量的影響之前,這里給出流場動能、勢能和黏性耗散能及總能量的定義.首先,整個流場的無量綱動能如下:

式中v為流場的體積,S為包含氣泡表面在內的流域所有邊界面.氣泡的無量綱勢能[26]定義如下:

式中無量綱黏性耗散率ˉD可通過(9)或(10)式數值求得.

氣泡在脈動過程中,守恒的總能量Etotal除了動能、勢能相互轉化的機械能Em外,還將存在一部分黏性耗散能Ed,即

(23)式的最后一個等號是因為初始時刻流場動能和黏性耗散能均為0.

圖8給出了圖6對應的工況中兩個氣泡相互作用過程中,流場中能量相互轉換的曲線.從圖中可見,隨著兩個氣泡的運動,流場能量由最開始的氣泡勢能轉換為兩個氣泡的動能以及流場的黏性耗散能.對于動能,明顯地隨著氣泡的膨脹、坍塌等階段呈現波峰波谷的特性;黏性耗散能則不同,它隨著氣泡的運動而不斷上升,尤其在氣泡射流坍塌即將發生階段,上升得更快,說明黏性摩擦的作用在氣泡射流速度高的時候表現得更明顯.總體而言,總能量在整個變化過程中數值誤差允許范圍內是守恒的.可見黏性效應在氣泡射流速度、流場能量的轉化中是很重要的.

圖8 (網刊彩色)兩個氣泡耦合作用中流場無量綱能量的轉化過程Fig.8.(color online)Variation of dimensionless energy during interaction of two bubbles.

3.3 影響因素分析

本節分析雷諾數和韋伯數對于氣泡運動過程的影響規律.為了清晰地觀察二者的影響,忽略重力影響(Fr→∞),采用簡單的球狀氣泡為例,計算不同雷諾數和韋伯數下氣泡脈動特性,同時在考慮其中任一參數(稱為主要參數)時,令另外一參數(稱為次要參數)足夠大,以降低次要參數對主要參數的影響,從而突出考察黏性效應和表面張力效應.

圖9給出了不同雷諾數下氣泡半徑變化曲線,其中Re(∞)仍表示對應不考慮黏性效應的工況.從圖中可見,氣泡半徑在高雷諾數下變化很不敏感,雷諾數Re在104時,氣泡半徑基本與不考慮黏性效應是重合的;Re在104—103之間變化時,氣泡半徑損失十分微弱,在前兩個周期內,可以忽略黏性效應;僅當Re在102以下時,氣泡半徑損失明顯,黏性效應必須考慮.

圖9 (網刊彩色)不同雷諾數下球狀氣泡半徑的變化Fig.9.(color online)Time histories of spherical bubble radius at different Re number.

圖10給出了當雷諾數Re分別取102—103間某幾個典型數值時黏性耗散率的變化曲線.從圖中可見隨著Re減小,黏性耗散率逐漸增大,且隨著時間推進,峰值衰減更快.數值計算表明,當Re大于103之后,黏性耗散率的數值已經很小,故沒有在圖中繪制.

圖10 (網刊彩色)不同雷諾數下球狀氣泡黏性耗散率的變化Fig.10.(color online)Time histories of spherical bubble radius at different Reynolds number.

圖11給出了不同韋伯數We下氣泡半徑變化曲線.從圖中可見,無論We如何變化,氣泡的無量綱最大半徑一直是1,即韋伯數不會影響氣泡脈動的幅值,但是會影響脈動的周期.而且當We在高于106量級時,氣泡的半徑幾乎重合,可以忽略表面張力效應;當We處于106—102之間時,氣泡半徑和周期變化不敏感;當We取101量級及以下時,表面張力效應顯著,氣泡脈動周期顯著減小,即氣泡振動更快.

圖11 (網刊彩色)不同韋伯數下球狀氣泡半徑的變化Fig.11.(color online)Time histories of spherical bubble radius at different Weber number.

圖12給出了韋伯數分別取137和13.7兩種工況下流場動能和勢能以及總能量的變化曲線.由于此時雷諾數Re=1010,黏性耗散能已經十分微小,可忽略不計.從圖中的對比曲線可見,韋伯數的增加對動能影響較小,對勢能影響很大,這是因為勢能中含有表面張力效應項

圖12 (網刊彩色)不同韋伯數下球狀氣泡能量的變化Fig.12. (color online)Time histories of energy of spherical bubble at different Weber number.

總體而言,黏性效應會使得氣泡振動幅值衰減,同時氣泡周期縮短;而表面張力會使得氣泡周期縮短但幅值不變,同時勢能增加.然而,氣泡半徑對高雷諾數和高韋伯數變化均不敏感,此時基本可以忽略黏性效應和表面張力效應.

4 結 論

基于氣泡邊界層理論,修正現有的勢流理論,建立考慮流體弱黏性效應的三維邊界元模型,研究考慮流體黏性效應和表面張力效應下氣泡的脈動和氣泡間的耦合作用.首先,采用Rayleigh-Plesset方程求解球狀氣泡,將邊界元模型的計算結果與解析解進行對比,驗證數值模型的有效性.在此基礎上,選擇兩個氣泡相互耦合作為典型算例,分析考慮黏性作用下氣泡耦合、氣泡射流和流場能量等的變化.最后研究雷諾數和韋伯數兩個參數對氣泡脈動的影響規律.得到以下主要結論:

1)采用黏性壓力法向做功與切向應力切向做功等效的方法,可巧妙地解決無旋速度?φ在界面處誘導的切向應力不為零,但勢流理論中選取切向應力為零作為邊界條件的矛盾,從而彌補了經典勢流理論中忽略了切向應力在邊界處做功的缺失;

2)就非球狀氣泡而言,當考慮氣/液交界面處法向和切向黏性效應后,氣泡射流在黏性流體中速度減慢,氣泡射流能量降低,流場損失的動能和勢能逐漸轉化為黏性耗散能,且在射流速度較大的坍塌后期,黏性耗散能增長得越快;

3)就球狀氣泡而言,黏性效應會使得氣泡振動幅值衰減,同時氣泡周期縮短,黏性耗散能不斷增加;表面張力會使得氣泡周期縮短但脈動幅值不變,同時氣泡整體勢能增加;當雷諾數和韋伯數較大后,可忽略黏性和表面張力的影響.

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In fluence of viscosity and surface tension of fluid on the motion of bubbles?

Ai Xu-Peng Ni Bao-Yu?

(College of Shipbuilding Engineering,Harbin Engineering University,Harbin 150001,China)

18 July 2017;revised manuscript

12 August 2017)

Boundary integral simulation has been conducted to study the motion and deformation of bubbles with weak viscous and surface tension effects in fluid.Both normal and tangential stress boundary conditions are satisfied and the weak viscous effects are con fined to the thin boundary layers around bubble surfaces,which is also known as boundary layer theory of bubble.By using this method,the influence of viscosity and surface tension of fluid on the motion of bubbles has been studied.Both axisymmetric and three-dimensional numerical results are compared with analytical results of Rayleigh-Plesset equation.Good agreement between them is achieved,which validates the numerical model.On this basis,interaction model between two vertically placed bubbles is established,by taking the surface tension,gravity,and viscous effects into consideration.Variations of physical quantities including bubble deformation,jet velocity,and energy of fluid are studied.Last but not least,the influence of viscosity and surface tension on the motion of a spherical bubble is investigated.It is found that viscous effects of fluid depress the pulsation of bubble and part of fluid energy is transformed into viscous dissipation energy.As a result,the development of bubble jet,the radius of the bubble,and the jet velocity are reduced gradually.On the other hand,the surface tension of fluid does not change the range of the bubble pulsation but reduces the period of the bubble pulsation and enhances the potential energy of the bubble.This model and numerical results aim to provide some references for bubble dynamics in bioengineering,chemical engineering,naval architecture,and ocean engineering,etc.

bubble,boundary layer,viscosity,surface tension

PACS:47.55.db,47.55.dr,47.55.df,47.11.HjDOI:10.7498/aps.66.234702

*Supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.51639004,51579054,11472088),the Fundamental Research Funds for the Central Universities,China(Grant Nos.HEUCFM170110,HEUCFP201701,HEUCFP201777),and the 111 Project of Harbin Engineering University,China.

?Corresponding author.E-mail:nibaoyu@hrbeu.edu.cn

(2017年7月18日收到;2017年8月12日收到修改稿)

基于氣泡邊界層理論,引入黏性修正,采用邊界積分法,考慮黏性效應和表面張力在單氣泡以及雙氣泡耦合作用過程中的影響.首先將建立的數值模型與Rayleigh-Plesset的解析解進行對比,發現二者符合良好,驗證了數值模型的有效性;在此基礎上,建立考慮流體弱黏性效應的雙氣泡耦合模型,研究流體黏性和表面張力作用下,氣泡表面變形、射流速度、流場能量轉換等物理量的變化規律;最后研究雷諾數和韋伯數對于氣泡脈動特性的影響規律.結果表明,流體黏性會抑制氣泡脈動和氣泡射流發展,降低氣泡半徑和射流速度;表面張力不改變氣泡脈動幅值,但縮短了脈動周期,提升氣泡勢能.

10.7498/aps.66.234702

?國家自然科學基金(批準號:51639004,51579054,11472088)、中央高?；究蒲袠I務基金(批準號:HEUCFM170110,HEUCFP201701,HEUCFP201777)和哈爾濱工程大學學科創新引智計劃資助的課題.

?通信作者.E-mail:nibaoyu@hrbeu.edu.cn