負參數空間分數階Chua系統的動力學行為及實驗驗證?

胡串 李志軍 陳茜茜

(湘潭大學信息工程學院,湘潭 411105)

負參數空間分數階Chua系統的動力學行為及實驗驗證?

胡串 李志軍?陳茜茜

(湘潭大學信息工程學院,湘潭 411105)

分數階,Chua系統,負參數空間,混沌電路

1 引 言

分數階微積分理論和整數階微積分理論都起源于17世紀,但由于分數階微積分理論缺乏充分的幾何解釋和實際應用背景,發展緩慢.自1960年以來,隨著計算機技術的快速發展和實際物理系統表現出分數階動態特性,分數階微積分逐漸成為國際范圍內的研究熱點,并在一些領域得到了廣泛的應用[1?4].

近年來,混沌系統的動力學分析、硬件實現及其在混沌保密通信中的應用已成為非線性科學研究領域的熱點問題[5],分數階混沌系統也得到了廣泛的研究,相繼證明了一些經典混沌系統的分數階系統同樣能展現混沌行為,如Chua系統、Chen系統、Lorenz系統、Duffing系統、Sport系統、Lu系統[6?8].這些研究促進了分數階微積分的發展和混沌理論體系的進步,其中Chua系統由于具有簡單的電路結構,能展現豐富的動力學行為,自提出以來得到了許多研究者的關注[9,10].然而,現有針對Chua系統整數階和分數階的研究大都局限于正參數空間,即系統的控制參數全部大于0.文獻[11]研究了正參數空間下Chua系統的功能全同電路與拓撲等效電路;文獻[12]利用基于符號函數的注入反饋式方法研究了正參數空間下Chua系統的同步控制問題;文獻[13]提出并研究了正參數空間下的一種新的無感電路實現Chua系統;文獻[14,15]分別用Adomian分解法和離散化法研究了正參數空間下的分數階Chua系統的分叉和混沌特性;文獻[16]對正參數空間下的分數階Chua系統的可控性進行了研究;文獻[17,18]研究了正參數空間下分數階Chua系統的同步問題.由于負參數Chua電路的實現需要一個負電容或者負電感,物理上存在不可實現性,因而負參數空間下Chua系統缺乏理論依據且不便于實驗觀察,導致人們忽略了對負參數空間下Chua系統的研究.文獻[19]提出了一種電子模擬方法,使研究負參數空間Chua系統成為可能.在文獻[19]的基礎上,文獻[20]對負參數空間下的整數階Chua系統進行了詳細的研究,表明整數階Chua系統在負參數空間下的Shilnikov條件不成立,能展現與正參數空間下Chua系統完全不同的動力學行為.然而到目前為止,對負參數空間下分數階Chua系統的動力學行為研究鮮有報道.

基于此,本文利用分數階時域求解法對負參數空間下Chua系統的動力學行為進行研究.首先導出負參數空間下分數階Chua系統的動力學方程,其次對系統平衡點的穩定性進行分析.隨后采用分岔圖、最大李雅普諾夫指數研究系統控制參數和階次變化時系統的動力學行為,結果發現負參數空間下分數階Chua系統依然具有較豐富的動力學行為.最后基于文獻[19,20]的設計方法,用模擬運放電路實現了負參數空間下的分數階Chua系統,通過實驗觀察并驗證了系統的動力學行為.

2 負參數分數階Chua系統

2.1 負參數分數階Chua系統

分數階Chua系統由Hartley等[21]建立于1995年,其數學表達式為

式中α,β,γ代表系統中微分方程分數階的階數,a,b為系統控制參數,f(x)為系統的非線性函數.f(x)可表示為

式中m0,m1均為非線性函數的斜率.

顯然,當a和b取正數時,系統((1)式)對應正參數空間下的分數階Chua系統;當a和b取負數,且(2)式中非線性函數的斜率m0,m1均為負值時,系統((1)式)中所有參數均為負值,即系統對應負參數空間下的分數階Chua系統.

2.2 負參數分數階Chua系統求解

分數階微積分是整數階微積分的推廣,整數階微積分是分數階微積分的一種特殊情況.分數階微積分在其發展過程中有若干種形式的定義,理論分析中最常用的有Riemann-Liouville定義、Grünwald-Letnikov定義和Caputo定義.本文采用Grünwald-Letnikov定義對系統進行分析.

定 義1Grünwald-Letnikov(G-L)定義的分數階微積分為

式中h為積分時間步長,q為階數,[·]表示取整,c為微分下限,t為微分上限.對定義1進行簡化可得時域求解算法為

式中k=1,2,···,N, 此時N=[Ts/h],Ts為仿真時間,tk為計算步長,c(q)j為二項式系數,可以表示為

根據(4)式和(5)式可得負參數分數階Chua系統的求解公式為

目前,分數階微積分的求解方法還有很多,但絕大多數方法是將分數階近似成整數階的形式,通過整數階的方法來求解.工程上最常用的方法是時頻域轉換法,如牛頓近似法、分數階系統的波德圖形逼近法、Laplace變換法.本文采用的時域求解法可以將誤差控制到最小的范圍內,同時不損失分數階的固有特性,是最為準確的[22].

3 負參數空間分數階Chua系統動力學特性分析

3.1 平衡點穩定性分析

(1)式的非線性項是一個分段線性函數,所以可以將相空間劃分為三個線性區域來分析.三個區域分別為

令(1)式等號右邊表達式為0,可得

由(8)式可求得系統的平衡點為

則O,P,Q三個平衡點對應的雅可比矩陣為

圖1 負參數空間分數階Chua系統數值仿真結果 (a)混沌吸引子;(b)x-y相圖;(c)x-z相圖;(d)y-z相圖Fig.1.Numerical simulation results of fractional-order Chua system in negative parameter space:(a)Chaotic attractor;(b)x-y phase portrait;(c)x-z phase portrait;(d)y-z phase portrait.

當a=?5.5,b=?1.5,m0=?8/7,m1=?5/7時,平衡點O的特征值為λO1=0.228,λO2,O3=?1.007±2.052i.平衡點P,Q的特征值為λ1=?0.762,λ2,3=0.644±1.708i.根據分數階穩定性理論[23]可知,對于分數階混沌系統,如果系統雅可比矩陣任意特值滿足|arg(λ)|＞qπ/2,則系統漸近穩定.顯然,當q=0.98時,特征根λ2,3=0.644±1.708i不滿足此條件,因此系統((1)式)處于不穩定狀態.根據(6)式,采用上述系統參數,并取系統初值為(0.2?0.1 0.1),利用MATLAB仿真分析得到圖1所示混沌吸收子,其中圖1(b)—圖1(d)分別為該吸引子在x-y,x-z和y-z平面的投影.

3.2 與階次相關的動力學行為分析

圖2 分數階階數變化時系統的分岔圖 (a)q∈[0.9,1];(b)q∈[0.96,0.97]Fig.2.Bifurcation diagram of system depending on q:(a)q∈[0.9,1];(b)q∈[0.96,0.97].

圖3 與階次q相關的相圖 (a)q=0.92;(b)q=0.95;(c)q=0.98Fig.3.Phase diagrams depending on q:(a)q=0.92;(b)q=0.95;(c)q=0.98.

為了進一步研究分數階Chua系統在負參數空間下的動力學行為,分析了不同分數階階次對系統的影響.設α=β=γ=q,其他參數保持為a=?5.5,b=?1.5,m0=?8/7,m1=?5/7,當q由小到大變化時,系統的分岔圖如圖2所示.從圖2(a)可以看出,在負參數空間下分數階Chua系統由倍周期分叉進入混沌.為了更好地觀察系統混沌的最小階數,在此對q為0.96—0.97的窗口進行擴展,如圖2(b)所示.從圖2(b)可以看出,負參數空間下系統產生混沌的最小階數為2.889,即α=β=γ=0.963.當q分別為0.92,0.95,0.98時,數值仿真得到的相圖如圖3所示.從上述結果可以看出,在負參數空間下系統隨q的增加由倍周期分岔進入混沌態.

3.3 與控制參數相關的動力學行為分析

通過最大李雅普諾夫指數和分岔圖對系統隨控制參數b變化的動力學行為進行研究,其中分數階最大李雅普諾夫指數是利用分數階時域求解法得到系統方程解的時間序列,然后通過時間序列的李雅普諾夫指數定義法求解方法計算求解得到.取α=β=γ=0.98,a=?5.5,m0=?8/7,m1=?5/7,參數b作為系統的控制參數.當b在[?2,?1.25]范圍內變化時,系統的最大李雅普諾夫指數和分岔圖分別如圖4(a)和圖4(b)所示.由圖4可知,隨著b在[?2,?1.25]區間內變化,系統出現了前倍周期分叉、后倍周期分叉、混沌態、周期態等多種動力學現象.當b=?2時,系統最大李雅普諾夫指數等于0,展現出圖5(a)所示周期1吸引子.b繼續增大到?1.96時,系統突然展現出單環面混沌吸引子,其相圖如圖5(b)所示.隨后系統進入一個狹窄的周期窗.當b=?1.85時,系統產生了圖5(c)所示的周期3吸引子.當b∈=[?1.84,?1.42]時,系統對應的最大李雅普諾夫指數一直大于0,即系統一直處于混沌狀態.當b=?1.52時系統產生的一個單螺旋混沌吸引子如圖5(d)所示.當控制參數b＞?1.42時,系統突然由混沌狀態經逆倍周期分叉進入周期態,對應的多周期、周期2和周期1吸引子分別如圖5(e)—圖5(g)所示.

圖4 (a)分岔圖;(b)最大李雅普諾夫指數Fig.4.(a)Bifurcation diagram;(b)diagram of largest Lyapunov exponent.

4 硬件實驗測試

4.1 分數階積分電路單元

分數階電路是在整數階電路的基礎上,用分數階積分電路單元等效替換整數階的積分電容.設α=β=γ=0.98,則階數為0.98、逼近誤差為1 dB的積分算子的傳遞函數表達式為[6].

式中s代表復頻域,同時表示積分算子的自變量.相應的分數階等效積分單元電路如圖6所示,其傳遞函數可表示為

對比(12)式和(13)式可以確定電路參數Ra=91.19 M?,Rb=190.93 ?,Ca=0.9753 μF,Cb=3.68μF.根據文獻[24]可知,為了能在普通的示波器中觀察到吸引子相圖,需要提高信號頻率,故將電容減小為Ca=0.9753 nF,Cb=3.68 nF.

圖5 與控制參數b相關的相圖 (a)b=?2;(b)b=?1.96;(c)b=?1.85;(d)b=?1.52;(e)b=?1.43;(f)b=?1.4;(g)b=?1.3Fig.5.Phase portraits dependent on system control parameter b:(a)b=?2;(b)b=?1.96;(c)b=?1.85;(d)b=?1.52;(e)b=?1.43;(f)b=?1.4;(g)b=?1.3.

圖6 實現1/sq的單元電路(q=0.98)Fig.6.Realization of 1/squnit circuit(q=0.98).

4.2 負參數空間分數階Chua電路

為了驗證負參數空間下分數階Chua系統的動力學行為,采用集成運放(TL074)、精密電阻、瓷片電容實現了0.98階次的負參數分數階Chua系統,整體電路如圖7所示,其對應電路狀態方程為

圖7中非線性函數f(V1)電路由電阻R13,R14,R15和藍色發光二極管LED1,LED2構成,其斜率可以分別表示為m0=?R14/R13和m1=?R14R15/(R13R14+R13R14).電阻取值為R13=10 k?,R14=11.3 k?,R15=18.7 k?時,可以計算出m0=?8/7,m1=?5/7.Bp為藍色發光二極管壓降,通常為2.2 V.三個分數階電容分別由R16,R17,C1,C2,R18,R19,C3,C4和R20,R21,C5,C6實現,(14)式中用C表示.通過電路分析可以得出系統控制參數a,b與電路參數的關系為a=?35R10/R9,b=?35R2/R3.當R9和R3固定,則調節電阻值R10和R2可以分別實現系統參數a和b的調節.經計算,當其他電路參數為R1=8.93 k?,R4=R5=10 k?,R6=3.92 k?,R7=6.17 k?,R8=5.68 k?,R22=34.48 k?,R11=R12=1 k?,R3=R9=10 k? 時,(14)式所描述的電路方程可以正確模擬負參數空間Chua系統,即(1)式表示的系統.

圖7 分數階負參數Chua系統模擬電路Fig.7.Complete simulation circuit of fractional-order Chua’s system with negative parameters.

為了驗證圖7所示電路的動力學行為,采用泰克MSO3032混合示波器和雙路直流穩壓電源對設計的電路進行硬件測試.實驗過程中,首先調節R10=1.57 k?,對應系統參數a=?5.5,其他電路參數保持不變,通過調節精密可調電阻的值R2(對應系統控制參數b)來觀察系統的動力學行為.當R2=370 ?時,電路產生單周期振蕩,示波器俘獲的相圖如圖8(a)所示.當R2進一步增加到390 ?時,電路突然從單周期轉變到周期2,隨后電路展現了多周期態(R2=410 ?).進一步增加R2到430 ?時,電路產生了單螺旋混沌行為.將圖8(a)—圖8(d)分別與圖5(g)、圖5(f)、圖5(e)、圖5(d)相比,可以發現電路實驗測試結果與數值仿真結果完全一致,從物理實驗角度證明了分數階Chua系統在負參數空間下同樣能展現豐富的動力學行為.

圖8 實驗測試結果 (a)單周期吸引子;(b)周期2吸引子;(c)多周期吸引子;(d)混沌吸引子Fig.8.Experimental results:(a)Period-1 attractor;(b)period-2 attractor;(c)multiple-period attractor;(d)chaotic attractor.

5 結 論

作為一個經典的混沌系統,Chua系統得到了廣泛而深入的研究,然而現有針對Chua系統的研究大都局限于正參數空間(包括整數階和分數階).本文采用常規的動力學分析方法,如平衡點穩定性、相圖、分岔圖和最大李雅普諾夫指數,對負參數空間下分數階Chua系統的動力學行為進行了數值仿真.仿真發現在負參數空間下分數階Chua系統展現出前倍周期分叉、后倍周期分叉、單螺旋狀吸引子、周期態等復雜動力學現象.值得注意的是,在負參數空間下分數階Chua系統并沒有展現出典型的Chua雙渦卷混沌吸引子.本文采用Grünwald-Letnikov定義對負參數空間分數階Chua系統的動力學進行分析,對于其他分數階定義同樣可以獲得類似的動力學行為.這是由于對于相當廣的一類實際函數而言,三種分數階定義可以看作是近似等效的,本文系統方程((1)式)就是這樣一類實際函數.為了用實驗驗證系統的動力學行為,本文基于模塊化設計電路模擬實現了負參數空間分數階Chua系統.實驗測試結果與數值仿真結果完全一致,從物理實驗角度驗證了分數階Chua系統在負參數空間中的動力學行為.將Chua系統的控制參數延拓到負參數空間,通過數值仿真和硬件實驗觀察了分數階Chua系統在負參數空間下的一系列動力學現象.研究成果進一步豐富了Chua系統的動力學行為,為研究分數階混沌系統的控制,同步提供新的模型,推動Chua系統在實際工程中的應用將起到積極的作用.本文僅探討了負參數空間分數階Chua系統的動力學行為,其混沌產生機理、系統參數識別及工程應用有待進一步深入研究.

[1]He S B,Sun K H,Banerjee S 2016Eur.Phys.J.Plus.131 254

[2]Liu X J,Hong L,Jiang J 2016Acta Phys.Sin.65 180502(in Chinese)[劉曉君,洪靈,江俊 2016物理學報65 180502]

[3]Li C L,Zhang J 2016Int.J.Syst.Sci.47 2440

[4]Lin F F,Zeng Z Z 2017Acta Phys.Sin.66 090504(in Chinese)[林飛飛,曾喆昭 2017物理學報 66 090504]

[5]Li Z J,Zeng Y C,Li Z B 2014Acta Phys.Sin.63 010502(in Chinese)[李志軍,曾以成,李志斌 2014物理學報 63 010502]

[6]Shao S Y,Min F H,Ma M L,Wang E R 2013Acta Phys.Sin.62 130504(in Chinese)[邵書義,閔富紅,馬美玲,王恩榮2013物理學報62 130504]

[7]Xi H L,Yu S M,Zhang R X,Xu L 2014Optik125 2036

[8]He S B,Sun K H,Wang H H 2016Math.Meth.Appl.Sci.39 2965

[9]Bao B C,Wang N,Chen M,Xu Q,Wang J 2016Nonlinear Dyn.84 511

[10]Li Z J,Ma M L,Wang M J,Zeng Y C 2017Int.J.Electron.Commun.71 21

[11]Zhang X G,Sun H T,Zhao J L,Liu J Z,Ma Y D,Han T W 2014Acta Phys.Sin.63 200503(in Chinese)[張新國,孫洪濤,趙金蘭,劉冀釗,馬義德,韓廷武 2014物理學報63 200503]

[12]Ma M L,Min F H,Shao S Y,Huang M Y 2014Acta Phys.Sin.63 010507(in Chinese)[馬美玲,閔富紅,邵書義,黃苗玉2014物理學報63 010507]

[13]Banerjee T 2012Nonlinear Dyn.68 565

[14]Cafagna D,Grassi G 2008Int.J.Bifurcation Chaos18 615

[15]Agarwal R P,El-Sayed A M A,Salman S M 2013Adv.Differ.Equ-NY1 320

[16]Zhang H,Chen D Y,Zhou K,Wang Y C 2015Chin.Phys.B24 030203

[17]Zhu H,Zhou S,Zhang J 2009Chaos Solitons Fract.39 1595

[18]Li C P,Deng W H,Xu D 2006Physica A36 171

[19]Rocha R,Medrano T R O 2009Nonlinear Dyn.56 389

[20]Medrano T R O,Rocha R 2014Int.J.Bifurcation Chaos24 1430025

[21]Hartly T T,Lorenzo C F,Qammer H K 1995IEEE Trans.CAS I42 485

[22]Zhu H 2007M.S.Dissertation(Chongqing:Chongqing University)(in Chinese)[朱浩 2007碩士學位論文 (重慶:重慶大學)]

[23]Hu J B,Zhao L D 2013Acta Phys.Sin.62 240504(in Chinese)[胡建兵,趙靈冬 2013物理學報 62 240504]

[24]Sun K H,Yang J L,Ding J F,Sheng L Y 2010Acta Phys.Sin.59 8385(in Chinese)[孫克輝,楊靜利,丁家峰,盛利元2010物理學報59 8385]

Dynamics analysis and circuit implementation of fractional-order Chua’s system with negative parameters?

Hu Chuan Li Zhi-Jun?Chen Xi-Xi

(College of Information Engineering,Xiangtan University,Xiangtan 411105,China)

20 July 2017;revised manuscript

14 August 2017)

Because of simple schematic structure and complex dynamical behaviors,the Chua’s system is considered as a paradigm for chaos research.Despite a great many of studies relating to the Chua’s system,most of them focus on its positive parameter space.This is explained by the fact that the implementation of the Chua’s circuit with negative parameters needs resistors,inductances and/or capacitors with negative values,and thus leads to physical impossibility.In order to extend the parameter space of the Chua’s system to its negative side,where all system parameters are negative,an equivalent realization of the Chua’s circuit is developed with off-the-shelf electronic components by an electronic analogy method.Recently,the research of fractional-order chaotic systems has received considerable interest.However,the theoretical and experimental studies of the fractional-order Chua’s system with negative parameters are still lacking.In this study,we set up a model of the fractional-order Chua’s system in negative parameter space.The stability of all equilibrium points is investigated with the fractional-order stability theory.Based on the Grünwald-Letnikov derivative,the dynamical behaviors dependent on the control parameter and the fractional orders are investigated by standard nonlinear analysis techniques including phase portraits,the largest Lyapunov exponents,and bifurcation diagrams.In order to further verify the dynamic behaviors of the fractional-order Chua’s system with negative parameters,an experimental implementation of the Chua’s circuit with negative parameters based on an electronic analogy is performed with off-the-shelf electronic components such as operational amplifiers,resistors and capacitors.The experimental tests are conducted on the resulting circuit.A period-doubling bifurcation route to chaos is successfully observed and some typical phase diagrams are captured by an oscilloscope,which are well consistent with theoretical analyses and numerical simulations.The numerical simulations and the experimental results show that the fractional-order Chua’s system in negative parameter space can still exhibit rich dynamical behaviors.But it is worth noting that the classical double-scroll chaotic attractor emerging in a conventional Chua’s system cannot be found in this system.This work focuses mainly on the dynamical behaviors of the fractional-order Chua’s system with negative parameters,which was not reported previously.Thus the research results of this study will further enrich the dynamical behaviors of the Chua’s system,and play a positive role in promoting the chaos-based applications of the Chua’s system.Meanwhile,the results obtained in this work lead to the conjecture that there remain some unknown and striking behaviors in the Chua’s system with negative parameters,which need further revealing.

fractional order,Chua’s system,negative parameter space,chaotic circuit

PACS:05.45.Vx,05.45.—aDOI:10.7498/aps.66.230502

*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.61176032,61471310)and the Natural Science Foundation of Hunan Province,China(Grant Nos.2015JJ2142,2015JJ2140).

?Corresponding author.E-mail:lizhijun@xtu.edu.cn

(2017年7月20日收到;2017年8月14日收到修改稿)

Chua系統展現出豐富的動力學行為,易于電路實現,因而成為混沌研究的經典范例.然而,現有針對Chua系統的研究大都局限于系統的正參數空間.基于分數階的時域求解法,研究了分數階Chua系統在負參數空間下的動力學行為.采用分數階穩定性理論分析了系統平衡點的穩定性,用分岔圖、最大李雅普諾夫指數研究了系統控制參數和階次變化時系統的動力學行為.為了實驗驗證系統的動力學行為,采用運放、電阻、電容等模擬器件實現了負參數空間下的分數階Chua系統,實驗結果與數值仿真結果完全一致.該研究成果對進一步完善Chua系統,推動Chua系統在混沌中的應用具有參考價值.

10.7498/aps.66.230502?國家自然科學基金(批準號:61176032,61471310)和湖南省自然科學基金(批準號:2015JJ2142,2015JJ2140)資助的課題.

?通信作者.E-mail:lizhijun@xtu.edu.cn