流體表面毛細波與激光照射共同作用產生的光環現象

趙金瑜 關國業 林 方

(四川大學物理科學與技術學院，四川 成都 610064)

一束穩恒射流沿豎直方向自由下落，撞擊一塊水平放置于出射口下方數厘米處的硬質阻隔板，可以觀察到撞擊點上方液柱表面形成類似“駐波”的穩定周期性波形分布，即表面毛細波現象，如圖1(a)所示。早在20世紀五六十年代，Wada Y和Lienhard J H便先后觀察到并研究了液柱表面毛細波傳播現象[1,2]。近十幾年來，對此現象的研究有了新的進展。Ji W和Setterwall F首先注意到了表面活性劑對液體表面毛細波的影響[3,4]。隨后，Awati K M和Howes T在理想流體基礎上考慮了牛頓黏性力的作用，對黏性液體的表面毛細波進行了分析[5]。Hancock M J等人在早年Adachi K實驗基礎上[6]分析了重力場下平面射流的性質，給出了液柱中段出現表面毛細波的條件[7]。Eggers J和Villermaux E則對圓柱射流的實際應用進行了綜述[8]。2013年，Massalha T和Digilov R M從修正的伯努利方程出發，得出了重力作用下自由下落液柱的表面形狀函數[9]。2015年，鞏欣亞等人實驗探究了不同參量對毛細波形態的影響[10]。

透明液體對光有透射、折射、漫反射和全反射等多重作用，因此透明液體受到光的照射會產生奇妙而美麗的現象，比如夜晚五彩繽紛的音樂噴泉。豎直液柱的表面毛細波存在周期性細微結構，因此當液柱與阻隔板的接觸點受到激光照射時，可以觀察到在液柱表面形成若干亮暗相間的光環，如圖1(b)所示。與此現象有關的問題亦出現在2016年第29屆國際青年物理學家錦標賽(International Young Physicists’ Tournament，簡稱IYPT)上[11]。

圖1 觀察照片(a) 液柱表面穩定毛細波； (b) 激光照射下的光環現象

本文的主要內容包括： (1)以理想流體與定常流動為前提假設，通過伯努利方程建立豎直自由下落液柱的流場方程，推導表面毛細波波長的隱性表達式；(2)設計并搭建穩定可控的實驗裝置，對理論表達式進行定量驗證；(3)通過半定量實驗，探究了不同參量對光環形態的影響；(4)運用仿真軟件模擬激光與液柱相互作用之后的空間光場分布；(5)分析液柱表面光環的成因。

1 液柱表面毛細波

1.1 理論分析

圖2 液柱形態(a) 實驗中自由下落的液柱； (b) 坐標系及描述液柱運動的物理量

豎直自由下落的液柱形態如圖2(a)所示。以液體出射口中心為坐標原點O，豎直向下方向為z軸，建立柱坐標系r,θ,z，如圖2(b)所示。對液柱軸線上與出射口距離為z的P點應用伯努利方程[12]，可得

(1)

對于任意彎曲液面內外的壓強差，有拉普拉斯公式[13]

(2)

其中，R1、R2為液面上相交于考察點且相互垂直的兩條任意曲線C1和C2的曲率半徑。取C1為豎直液柱表面與過P點的水平面的相交曲線，即以P點為圓心、rz為半徑的圓，于是有

(3)

取C2為液柱表面與過z軸任一豎直平面的相交曲線，即液柱側面母線。在離開出射口一段距離之后，液柱半徑rz隨z變化很小，即母線近似為直線，因此有

(4)

O、P兩點的壓強等于大氣壓強與液柱表面張力的附加壓強之和，將式(3)、式(4)代入式(2)，得到

(5)

其中，pb為大氣壓強；σ為液體表面張力系數；r0為O點處液柱半徑，即液體出射口半徑。

將式(5)代入式(1)，可得

(6)

引入豎直下落流體系統的無量綱常數，即Froude數和Weber數，其定義為[5]

(7)

代入式(6)，可得

(8)

此外，液柱對任意水平截面的通量守恒，即滿足守恒關系

(9)

其中Q為液柱流量。聯立式(8)或(9)即可得到豎直下落液柱的截面半徑公式

(10)

本文實驗采用純凈水，可視為理想流體，粘滯力的影響可以忽略，即We→∞，于是式(10)可寫成

(11)

最后，結合Navier-Stokes方程與邊界條件(11)，可解得恒流理想流體液柱表面任意一點流速U與該點附近毛細波波長λ的關系為[3,7]

(12)

式中，Inx為n階第一類修正型貝塞爾函數[14]。由此，在實驗中測量液柱某處流速與該處表面毛細波波長的關系并與式(12)進行對比，即可驗證實驗液柱滿足恒流理想流體假設，以及毛細波理論的適用性。

1.2 實驗驗證

圖3 實驗裝置示意圖

實驗裝置示意圖如圖3所示。實驗所采用的水流發生源為實驗室恒流水龍頭。一段長1.2m的恒定管徑醫用橡膠管將水龍頭與豎直放置的長度為30cm的摩爾管相連，摩爾管管口即液柱出射口。在出射口正下方0～12cm的可調范圍內水平放置一塊硬質阻隔板(如PVC防潮板，玻璃板或不銹鋼板)。照射源采用波長650nm、額定功率5mW的激光筆；用鐵架臺夾持激光筆以便調節其照射角度。攝像設備采用Apple? iPhone 6s移動電話主攝像頭，鏡頭光圈f/2.2，焦距4.15 mm(等效焦距29 mm)，像素1200萬；攝像頭經磚墻測試在所用焦段不存在可見的桶形或枕形畸變。

實驗前，用水平儀將阻隔板調至水平，將摩爾管調整并固定在豎直方向，確保二者相互垂直。將拍攝到的毛細波圖像導入軟件Tracker，并以管口一側同一焦平面上沿豎直方向固定的刻度尺作為定標依據，即可讀取出液柱半徑、毛細波波長等所需參數，如圖4所示。

圖4 實驗時的照片(a) 以刻度尺作為Tracker定標依據； (b) 利用Tracker對毛細波圖像進行參數測量

圖6 PVC防潮板作為阻隔板(a) 方位角90°； (b) 方位角180°； (c) 方位角270°； (d) 方位角360°

圖5 表面毛細波波長與測量點流速函數關系的實驗與理論對比圖

2 不同參量對光環形態的影響

本節采用半定量方法，探究光環形態如何受不同參量影響，為后文分析光環成因提供實驗對照。其中，照射距離指的是激光筆出射端到液柱與阻隔板接觸點的距離；激光入射角指的是激光光束與水平面夾角；觀察視角指的是攝像鏡頭軸線與水平面夾角。

2.1 阻隔板表面漫反射率

實驗保持激光入射角40°，照射距離40cm，觀察視角45°不變，分別以PVC防潮板和高拋光鏡面不銹鋼板作為阻隔板，分別從90°、180°、270°、360° 4個方位進行攝像，如圖6、7所示?？梢钥闯?，采用PVC防潮板作為阻隔板時4個方位角皆可觀察到光環，且光環亮度和明暗環相對位置不隨拍攝方位角發生明顯改變；當使用鏡面不銹鋼板作為阻隔板時，雖然液柱表面存在毛細波，但僅在觀察角為180°時觀測到狹窄的點狀光環。據此推測，如果激光在照射點附近發生鏡面反射，則光線最終只能沿一個狹窄方向射出，因此只有在特定方位角才能觀察到光環；反之，如果激光在照射點附近發生漫反射，則可以形成全向光場，因此各個方向均可觀察到光環。此結論將在后文通過軟件仿真加以分析。

圖7 鏡面不銹鋼板作為阻隔板(a) 方位角90°； (b) 方位角180°； (c) 方位角270°； (d) 方位角360°

圖8 激光入射角度對光環形態的影響(a) 入射角20°； (b) 入射角30°； (c) 入射角40°； (d) 入射角50°

2.2 激光入射角

實驗中控制照射距離40cm，觀察視角45°不變，阻隔板采用PVC防潮板；改變激光入射角，實驗結果如圖8所示。光環出現位置及明暗程度并沒有發生明顯變化。如果2.1節結論成立，即光環的產生源于激光在照射點附近發生的漫反射，那么激光入射角度的改變不會使漫反射發生明顯變化，從而不會明顯改變光環形態。

2.3 觀察視角

實驗中控制激光入射角40°，照射距離40cm不變，阻隔板采用PVC防潮板；改變觀察視角，實驗結果如圖9所示。當觀察視角很小時幾乎不能觀察到光環；隨著觀察視角的增大，可觀察到的光環數目逐漸增多，亮度也隨之增大。值得注意的是，液柱表面每一個毛細波波長內都存在一個亮環和一個暗環，相鄰亮暗環寬度之和等于毛細波波長，不隨視角改變而改變，此現象將在第3節進行分析。

3 光環成因分析

從上文實驗結果分析，光環的產生及其形態依賴于兩方面：液柱表面毛細波；激光在液柱與阻隔板接觸點附近的漫反射和液柱內部光場分布。前者決定了相鄰亮(暗)環之間的間距；后者則決定了光環出現與否以及光環的亮度和可見個數。

圖9 觀察視角對光環可見個數和亮度的影響(a) 視角20°； (b) 視角30°； (c) 視角40°； (d) 視角50°

3.1 毛細波波長與光環間距

圖10 亮暗環分布與毛細波波形關系示意圖

3.2 阻隔板漫反射率對光線分布的影響

實驗發現，不論阻隔板表面光滑與否，液柱都存在表面毛細波，且具有基本相同的結構；然而只有粗糙的阻隔板能形成光環，其區別在于激光在液柱與阻隔板的接觸點附近發生的反射類型不同。對于鏡面，高準直激光束在接觸點發生鏡面反射，反射方向單一，從液柱表面直接出射或經過幾次反射后出射，絕大部分液柱表面沒有受到激光照射，因此不易觀察到光環現象；對于表面粗糙均勻的PVC防潮板，激光束在照射點發生漫反射，液柱內部形成以接觸點為中心的輻射狀光場，使整個液柱表面都能得到光線的照射，因此任意角度均可觀察到光環現象。

對液柱進行CAD三維建模，可得到幾何參數與實驗基本一致的液柱模型(如圖11所示)，將其導入光學仿真軟件Tracepro?即可模擬光場分布。模擬參數設置如下： (1)激光波長為650nm、水柱折射率為1.33136、吸收系數為0.00034；(2)光線在“液體-空氣”界面將發生ABg散射，散射參數設置為：吸收率0.01、鏡面反射率0.01、鏡面透射率0.9797；(3)激光光場滿足高斯分布，入射角為40°，照射距離為40cm，光線條數為5700，輻照度10W/m2。(4)將阻隔板漫反射率分別設置為99%(對應PVC防潮板)、50%和0(對應鏡面不銹鋼)。由此生成的光線分布如圖12所示。

圖11 利用CAD對液柱表面進行三維建模

圖12 阻隔板漫反射率對光線分布的影響第1行為側視圖，第2行為俯視圖，從左至右漫反射率分別為99%、50%和0

從圖中可以看出，當漫反射率為99%時，激光經接觸點反射后光線呈全空間均勻輻射狀分布，意味著此時從任何角度均可觀察到光環現象；隨著漫反射率減小，光線在水平面內的發散均勻性被打破，光線主要集中于激光的鏡面反射方向及其反方向，其余區域的光照強度減弱；當漫反射率為零時，激光發生鏡面反射，只有從特定的觀察角(180°，即鏡面反射方向)才能觀察到狹窄光環，與2.1節實驗結果相符。此外，不少光線經阻隔板反射或經多重全反射后沿豎直方向從液柱上表面射出，因此在摩爾管口和管內上液面應可觀察到有光線溢出；實驗中也觀察到了此溢光現象，如圖13所示。

圖 13(a) 摩爾管口處溢光現象； (b) 摩爾管內上液面處溢光現象

4 結語

綜上所述，本文對理想流體表面毛細波與激光照射共同作用產生的光環現象進行了研究，認為液柱表面光環形成過程如下： (1)液柱與阻隔板撞擊形成表面毛細波。(2)激光斜入射到液柱與阻隔板的接觸點并發生漫反射。(3)漫反射光照滿液柱的整個側表面。(4)表面毛細波的存在使液柱表面曲率周期性變化，因此，到達液柱內表面的漫反射光根據到達處液面曲率分為兩部分：若到達處液面曲率未達到全反射條件，則這部分光折射到空氣中(此處呈現亮環)；否則，則通過全反射回到液柱內部(此處呈現暗環)，相鄰亮暗環寬度之和等于毛細波波長。(5)全反射回到流體內部的光繼續在流體內部傳播并在距離接觸點更高位置的內液面處再次發生折射或全反射，形成一系列亮暗相間的光環，且亮度自下而上遞減。由此可見，流體表面毛細波和激光在接觸點處發生漫反射是產生光環現象的必要條件，二者缺一不可。

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[11] Problems of IYPT, URL: http://archive.iypt.org/problems/

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