正態分布難點解讀

田鯤

正態分布在概率論和數理統計中占有很重要的地位. 在實際生活中遇到的許多隨機現象都服從或者近似地服從正態分布（如產品尺寸、測量的誤差、炮彈落點的分布、人的生理特征量、農作物的收獲量等等），這也是教材增加這一內容的意圖和宗旨. 高考對正態分布的考查以中、低檔題為主，主要考查正態分布的基本概念、性質和計算.

正態分布密曲線的性質

例1 設兩個正態分布和的密度函數圖象如圖所示，則有（ ）

[1.4

1.2

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2]

A. B.

C. D.

解析 根據正態分布函數的性質知：正態分布曲線是一條關于直線對稱，在處取得最大值的連續鐘形曲線. 越大，曲線的最高點越低且較平緩；反過來，越小，曲線的最高點越高且較陡峭.

答案 A

點評 本題考查了和對正態密度曲線的形狀與位置的影響.

正態分布的有關概率計算

標準正態分布，其分布密度曲線關于軸對稱，， 則.

正態分布，記，則，利用這一性質可以將非標準正態分布轉化為標準正態分布來解決.

例2 設隨機變量服從標準正態分布，若，則 .

解析 由正態曲線的對稱性得，，故.

答案 2

點評 本題考查了利用正態曲線的對稱性求參數的值.

例3 設隨機變量服從標準正態分布，已知，則（ ）

A. B.

C. D.

解析

.

答案 C

點評 利用標準正態分布下求解.

例4 若隨機變量，若，則 .

解析

.

答案 0.35

點評 利用正態分布的對稱性解題.

例5 設，則 .

解析 由題意得，.

則

答案 0.0215

點評 本題考查特殊區間概率值的求解.

正態分布的實際應用

正態分布是自然界中最常見的一種分布，也是高中階段唯一的連續型隨機變量的分布，在實際生活中應用非常廣泛，因此也成為高考考查的熱點.

例6 為了監控某種零件的一條生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取個零件，并測量其尺寸（單位：）. 根據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的零件的尺寸服從正態分布. 一天內抽檢零件中，如果出現了尺寸在之外的零件，就認為這條生產線在這一天的生產過程中可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查.

（1）試說明上述監控生產過程方法的合理性；

（2）下面是檢驗員在一天內抽取的16個零件的尺寸：

[9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 ]

經計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，.

用樣本平均數作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產過程進行檢查？剔除之外的數據，用剩下的數據估計和（精確到）.

附：若隨機變量服從正態分布，則，.

解析 （1）如果生產狀態正常，一個零件尺寸在之外的概率只有，一天內抽取的個零件中，出現尺寸在之外的零件的概率只有，發生的概率很小. 因此一旦發生這種狀況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程中可能出現了異常情況，需對當天的生產過程進行檢查. 由此可見，上述監控生產過程的方法是合理的.

（2）由，得，，.由樣本數據可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需對當天的生產過程進行檢查. 剔除之外的數據9.22，剩下的數據的平均數為，因此的估計值為，剩下的數據的樣本方差為，因此的估計值為.

點評 本題考查了二項分布、正態分布、方差和標準差的計算，其中數值的計算是考查的熱點. 另外，落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產品進行質量檢測的理論依據.

例7 從某企業生產的某種產品中抽取件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻率分布直方圖.

[質量指標值][165 175 185 195 205 215 225 235][頻率

組距][0.033

0.024

0.022

0.009

0.008

0.002]

（1）求這件產品質量指標值的樣本平均數和樣本方差（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；

（2）由直方圖可以認為，這種產品的質量指標值服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差，利用該正態分布，求.

附：若，

則，

.

解析 （1），.

（2），

.

點評 本題主要考查離散型隨機變量的期望和方差的計算，以及正態分布在三個特殊區間上的概率的求解.endprint