為直觀插上想象的翅膀，為邏輯鑲上思辨的光芒

胡吉蔚

[摘 要] 主要闡述筆者在進行《直線與平面垂直的定義及其判定》一課的教學設計中教材、學情及目標分析和教學過程的實施中的各個環節遇到的困惑及采取的對策. 在整個教學環節完成后，筆者也對教學實踐效果進行了反思.

[關鍵詞] 立體幾何；空間位置關系；直觀想象能力；邏輯推理能力

一個數學老師的課堂從哪里開始？從上課鈴打響的時刻嗎？筆者想不是，一節課的序幕拉開應該是從翻開教材備課的那一刻開始的. 今天筆者要與大家分享的是在“直線與平面垂直的定義及其判定”這一課的整個環節中的困惑與突破.

教材、學情及目標分析時的困惑與突破

1. 教材內容分析及地位分析

本內容是蘇教版教材必修2“第一章1.2.3直線與平面的位置關系”第二小節內容，緊跟在直線與平面平行的判定定理與性質定理之后，主要內容涉及直線與平面垂直的定義及判定.

直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情況. 該內容既是空間中直線與直線位置關系的三維延伸，又是平面與平面垂直的依托基礎、是直線與平面所成角概念的形成基礎. 因此它是直線與直線（共面、異面）垂直與平面與平面垂直的連接樞紐. 通過這一知識點的學習，學生可以進行下圖所示的轉換.

2. 課標分析

課標要求教學中從學生常見幾何體如長方體、圓錐等學生熟知的幾何體出發，揭示空間中一般的點、線、面之間的位置關系；通過對空間圖形的觀察、實驗、操作和思辨，讓學生了解平行、垂直關系的基本性質及判定方法. 線面平行、垂直關系的判定定理只要求直觀感知、操作確認，在此基礎上解決一些簡單的推理論證及應用問題.

3. 學情分析

從縱向分析，學生初中在平面幾何中已學過共面條件下直線與直線垂直的判定方法，進入立體幾何學習階段后又學習了異面直線垂直的判定方法；從橫向分析，學生已學習了與本課內容結構類似的直線與平面平行的定義、判定定理、性質定理，初步感受立體幾何中觀察、操作、總結歸納、推理論證的過程，形成了一定的空間想象能力，初步具有合情推理與邏輯推理的意識，并具備一定的圖形語言、符號語言、文字語言三種語言之間相互轉換的能力.

4. 學習目標分析

（1）知識與技能

通過觀察教具模型，抽象概括出直線與平面垂直的定義并進行理解.

通過觀察、操作、歸納出直線與平面垂直的判定定理并能進行簡單應用.

（2）過程與方法

從實際背景出發，在探索直線與平面垂直的定義、判定定理過程中，進一步提升空間想象能力、合情推理能力、邏輯推理能力.

加深對轉化思想的認識，進一步熟練將空間問題轉化為平面問題來解決.

（3）情感態度與價值觀

在探究的過程中體會數學與實際生活的聯系，體驗操作成功的樂趣，克服對空間問題的畏懼感，增強數學學習的興趣與信心.

5. 重難點分析

（1）重點：直線與平面垂直的定義與判定定理.

（2）難點：直線與平面垂直定義的抽象，直線與平面判定定理的概括，直線與平面判定定理的應用. ？搖？搖？搖？搖？搖

6. 分析過程中的困惑及突破

困惑1：現實生活中，直線與平面垂直的模型比比皆是，然而從直觀可見的“實”，？搖如何化為數學抽象的“虛”？這兩者之間的轉化是對學生的挑戰. 如何才能讓這一難點既順利突破，又符合情理？

困惑2：直線與平面垂直的定義：如果一條直線l和平面α內的任何一條直線都垂直，我們稱這條直線l和這個平面α互相垂直.

直線與平面判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.

從定義到判定定理，最大的一個變化是從“任意一條直線”到“兩條”“相交”直線. 這其中的數量關系發生了變化，位置關系發生了變化. 我該如何引導學生去發現這樣的變化？

困惑3：課標中線面垂直判定定理只要求直觀感知、操作確認，而立體幾何知識模塊則是培養學生邏輯推理論證能力的重要環節，這兩者之間可能產生的矛盾、沖突如何順利化解？如何能合理地將直觀感知、操作確認與嚴密的邏輯表述與推理論證合理地統一起來？

突破策略1：我將直觀可見的“實”上升為數學抽象的“虛”分成兩個臺階. 第一階，先從直觀可見的“實”轉換為數學語言的“虛”；第二階，從數學語言的“虛”轉換為數學抽象的“虛”. 也就是先引導學生將實際生活中“旗桿與地面的位置關系”等模型轉換為數學語言中的直線與平面垂直，再引導學生學會用數學中直線與直線垂直去描述直線與平面的位置關系.

？搖突破策略2：“任意”與“存在”是高中數學中非常重要的兩個量詞. 這里，我想借助直線與平面平行判定定理，采用類比推理的方式引導學生從定義向判定定理轉化.

？搖突破策略3：直觀感知、操作確認是學生認知現實世界的重要方式，而邏輯推理、思辨論證是認知數學世界的重要方式. 這兩者并不矛盾，而是數學學習過程的因與果. 因此我決定，在大量的直觀感知、操作確認的基礎上去發展學生的邏輯推理、思辨論證能力.

7. 教具選擇

學生自備學具：直角三角形紙片、斜三角形紙片、作圖工具.

教師教具：圓錐模型（標出兩條母線、高，底面標出多條半徑），塑料長棍（代表直線），？搖三角板（板書作圖用），PPT課件.

課堂實踐：困惑與突破的戰斗

1. 執行突破策略1

直觀可見的“實”→數學語言的“虛”→數學抽象的“虛”.

師：空間直線與平面有哪些位置關系？

生：直線在平面內，直線與平面平行，直線與平面相交.

師：你們能在現實世界中找到相應的模型嗎？endprint

（學生七嘴八舌地開始說起來，有說教室里的電燈與地面是平行的，有說窗棱的，非常熱烈.）

筆者抓取了其中兩個實例作為代表：①教室后方本期黑板報中有黃色線條元素，于是有個同學說黃色的線斜著，延長后與地面相交；②有個同學說，實物投影儀立在講臺上.

師：這兩個生活模型都能表示直線和平面相交嗎？它們有沒有不一樣的地方呢？

生：黃色的線和地面是斜著的，而投影儀是直的.

師：那你們能用數學的語言表述一下何為“投影儀是直的”嗎？

生：（舉出這個實例的同學立刻站了起來）就是直線和平面是垂直的.

師：（將他的話板書在黑板上）說得很好. 在現實生活中，給我們這樣一種視覺感受的現象就是我們數學中要研究的直線與平面垂直，這就是本節課要研究的目標.

（至此，本節課的主題已經引入，并且突破1中的第一階也已經完成.）

師：那什么是數學中的直線和平面垂直呢？我們不能總是用生活中的實例來解釋這個位置關系，我們該如何用數學的語言去表達這樣的位置關系呢？

（此時，下面鴉雀無聲，學生確實難以實現從直觀印象到抽象定義的突破.）

實驗1：

師：（等待片刻后）請同學們拿出直角三角形紙片，以一條直角邊為軸旋轉.你認識旋轉得到的幾何體嗎？

生：是一個圓錐.

師：你能感知軸和圓錐底面的位置關系嗎？

生：軸和底面是垂直的.

師：（追問）從剛才旋轉的過程中，大家現在知道如何去描述直線與平面垂直嗎？

生：在旋轉的過程中，軸和底面所在的那條直角邊始終是垂直的. 我想，應該是直線要和底面里的每一條直線垂直才叫直線和底面垂直.

師：（舉起手中的圓錐模型，停頓，留給其他同學思考的時間）同學們認為這位同學說得有道理嗎？

（這時，突然有同學打斷了筆者的話，要求舉例. 她說，操場的旗桿在太陽照射的時候旗桿和每一時刻的影子都是垂直的，因此旗桿和地面也是垂直的.筆者給予了這位同學表揚.）

【設計意圖】 通過實驗、操作，感受直線與平面垂直的形象直觀，同時自然將直線與平面垂直的模型降維至直線與直線垂直.

實驗1結束，到此刻為止，策略1中的突破難點的“兩部曲”已經基本演奏結束，并取得了預期的效果.

難點突破后，師生再修飾語言，明確定義：如果一條直線l和平面α內的任何一條直線都垂直，我們就說這條直線l和這個平面α互相垂直，記作l⊥α，直線l叫作平面α的垂線，平面α叫作直線l的垂面. 直線與平面垂直時，它們唯一的公共點叫作垂足.

此處教師說明定義①一條直線垂直于平面內任意一條直線，則這條直線與該平面垂直，符號表示為l⊥aa？奐α？圯l⊥α；②一條直線垂直于一個平面，是指這條直線垂直于這個平面內的任何直線，符號表示為l⊥αa？奐α？圯l⊥a. 另外，教師明確作圖方法，即通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直. 規范作圖如圖1所示.

【辨析1】 判斷下列說法是否正確：

（1）一條直線與平面內無數條直線垂直，那么這條直線與這個平面垂直；

（2）一條直線與平面不垂直，那么這條直線與平面內任一條直線都不垂直.

【設計意圖】 辨析（1），如圖2，突出“無數”與“任意”的沖突；辨析（2），是命題與否命題之間的聯系，引導學生學會改變條件、變換條件與結論，或對條件與結論進行全部或部分否定進行辨析. 通過兩個辨析題，引導學生畫出反例的圖，從而進一步深化對定義的理解，同時為判定的辨析作鋪墊.

2. 執行突破策略2

師：請同學們觀察我們的教室，請問，教室的墻縫所在直線與地面所在平面垂直嗎？

生：（異口同聲）垂直.

師：你是怎么判斷的？你有沒有判斷豎著的墻縫所在直線和地面所在平面內的每一條線都垂直呢？

（學生再一次安靜下來，因為他們得到垂直的結論還是基于自己的直觀感受，并沒有經過定義的檢驗.）

生：（一個學生舉手）老師，其實我們不用去判斷每一條，我覺得只要墻縫和地面那兩條垂直的縫垂直就可以了.

師：你能把條件敘述清晰一點嗎？

生：豎著的墻縫和下面兩條地縫垂直，而且兩條地縫也要相互垂直，那么豎著的墻縫和地面是垂直的.

生：同學們同意她的觀點嗎？（有同學點頭，有同學搖頭）下面我們要一起來做一個實驗.

實驗2：

師：請同學們將三角形紙片ABC（如圖3）過其頂點A與BC上一點D翻折，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，CD與桌面接觸，如圖4）.

（1）？搖觀察折痕與桌面的位置關系；

（2）你能折出AD與桌面所在平面垂直嗎？

師：請同學們回顧前面的過程，回答下面的幾個問題：

（3）在△ABC中，AD與BD，CD的關系？BD與CD的關系？

（4）翻折后，AD與BD，CD的關系變化沒有？由此你能得到什么結論？

（5）你在實驗中得到的結論和剛才墻縫地面問題中得到的結論一致嗎？

【設計意圖】 引發學生的認知沖突，因為利用定義判斷就會涉及“任意”這一無限的問題，讓學生覺得不方便，從而激起尋找更間接方法的需求. 同時將無限減少到有限，再到不可再減的過程轉換為不妨從1條開始增加一直到足夠數目為止.

問題（3）（4）引導學生對操作過程進行回顧總結，進行合情推理得到正確結論. 在合情推理的同時，利用說理讓學生感受邏輯推理的成分，從而不降低學生的思維水平.

在實驗結束后，大多數同學在兩條相交直線上達成了一致，但是在平面內兩條相交直線是否需要垂直又產生了爭論. 因此筆者引導學生繼續用旋轉實驗的方法，得出正確結論，同時驗證判定定理與定義的一致.endprint

師：請同學們用圖形語言、文字語言、符號語言將上述結論完整表述出來.

下面教師引導學生讓學生自主進行梳理、歸納概括，并用文字語言、符號語言、圖形語言表達直線與平面垂直的判定定理.

直線和平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.

【辨析2】 判斷下列說法是否正確：

（1）如圖7，如果一條直線l與一個梯形的兩條邊垂直，那么這條直線垂直于梯形所在的平面. 這種說法是否正確？為什么？

（2）如果一條直線與平面內無數多條直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面.

【設計意圖】 強化定理中“兩條”“相交”的條件，達到與練習1中辨析相同的意圖.

3. 執行突破策略3

例1：如圖8，有一根旗桿AB高8 m，它的頂端A掛一條長10 m的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點（和旗桿腳不在同一直線上）C，D，如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6 m.

（1）證明旗桿和地面垂直；

（2）求AB與CD所成的角.

【設計意圖】 （1）利用勾股定理得到線線垂直，再由判定定理得到線面垂直. 體會空間問題向平面問題轉化. （2）是定義的運用. 解決問題過程中，注意書寫的規范性.

練習：如圖9，在三棱柱V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求證VB⊥AC.

【設計意圖】 選用常見幾何體——三棱錐. 本題思路是線線垂直、線面垂直、線線垂直，讓學生體會這兩者關系的相互轉化.

教學反思

1. 成功之處

（1）本設計首先從生活實踐出發，尋找線面垂直的實際模型，在課堂上引導學生積極發現生活中的數學. 同時用實驗的方法引導學生從學生可見的、熟悉的圓錐體入手，成功突破了從直觀形象的垂直到嚴格定義的垂直這一難點.

（2）折紙實驗過程中，很多學生能立刻發現如果折痕是三角形底邊的高時，折痕就會與桌面垂直，但并不能清晰地說出直線與平面垂直的條件，主要是因為沒能發現三角形紙片沿高對折后，原來的垂直關系不發生改變. 此處安排了一個問題串，將學生的目光聚焦到有效垂直關系上去，從而能理清條件與結論.

（3）在定義與判定定理出現后，都安排了辨析. 命題的出現要伴之以辨析，通過削弱命題的條件，互換或部分呼喚命題的條件與結論的位置等方法，對命題進行辨析有利于學生對原命題的理解，同時也教給學生如何去研究命題.

2. 值得改進的地方

課標中不要求對直線與平面垂直判定定理的證明，只要求操作確認并概括出判定定理即可. 但是邏輯證明不要求，并不代表學生的思維水平可以降低. 因此，此處如何在操作過程中進行引導，使得學生既能感受合情推理的魅力，又能體會邏輯推理的嚴謹，細節之處該如何處理，仍是值得推敲的地方.endprint