自然閃電多脈沖雷電流等效模型的研究

楊仲江 ，王梧熠 ，于忠江

（1.南京信息工程大學中國氣象局氣溶膠-云-降水重點開放實驗室，南京210044；2.南京信息工程大學大氣物理學院，南京210044）

0 引言

由于雷電流模型對雷電防護具有重要意義，國內外已有很多學者展開了關于單脈沖雷電流模型的研究。通過雷電流模型可以得到建筑物防雷所關心的雷電流幅值、波頭時間和波尾時間等參量，是建筑物雷電過電壓保護，自然閃電電磁脈沖保護以及雷電電磁場計算的依據。此外，在電力系統中廣泛采用的金屬氧化物避雷器（MOA）也是采用10/350 μs或8/20 μs的單脈沖進行沖擊試驗，但實驗室所采用的單脈沖波形無論是從能量上還是持續時間上都和自然界中的多脈沖相差甚遠，并不能真實模擬自然閃電。

筆者首先分析自然閃電的雷電流特征，按照IEC給出的關于多脈沖的建議標準，得到不同幅值等間隔的五個8/20μs單脈沖標準波形。其次在HEIDLER模型的理論基礎之上提出一種能表征自然閃電特征的多脈沖模型。之后在根據每個單脈沖的特征量，將五脈沖總的電荷量求出，最后根據等電荷量并運用圖解法和數值計算的方法解得等效模型的參數。

1 多脈沖模型的提出

目前8/20μs波形作為模擬雷電流的標準波形已經被實驗室雷電流沖擊平臺廣泛采用，考慮到首末脈沖幅值相對于中間脈沖幅值較大，筆者將首末脈沖幅值設定為20 kA，中間幅值設定為10 kA。參照IEC62305-1中對多脈沖時間間隔的設定，筆者的脈沖時間間隔為50 ms，即多脈沖波形為5個8/20 μs波形的等效，首末峰值電流為20 kA，中間3個波形峰值為10 kA。由于每個脈沖的間隔時間為50 ms，一個完整的多脈沖閃電放電過程也只有200 ms左右（見圖1），熱量來不及消散，所以可以將此過程看作是絕熱過程。這樣，可以忽略每個脈沖的間隔時間只需考慮每個8/20 μs波形的作用時間，等效后的多脈沖雷電流波形時間為139*5=695 μs，見圖2。圖3的五脈沖半波波形和圖4的單脈沖完整波形則清晰的顯示了每個脈沖的波頭和波動變化。

圖1 間隔為50 ms的五脈沖完整波形Fig.1 The complete waveform of the 5 pulses with the interval at 50 ms

從工程應用的角度來看，多脈沖雷電流模型的參數計算應當簡單、快速。計算模型參數需要分析自然閃電中雷電流的特征。多脈沖等效模型的四個主要雷電流特征量[1-3]：多脈沖雷電流峰值Imax，雷電流最大陡度（di/dt）max，上升到峰值的時間tp，轉移電荷量Q。

圖2 等效能量的五脈沖全波波形Fig.2 The energy equivalent waveform of 5 complete pulses

圖3 等效能量的五脈沖半波波形Fig.3 The energy equivalent waveform of 5half pulses

圖4 幅值為20 kA和10 kA的完整單脈沖波形Fig.4 The complete single pulse waveform of 10 kA and 20 kA

本文對多脈沖模型的建立借鑒了Bruce和Gol?de提出的單脈沖下雷電流的雙指數函數表達式[1]，單脈沖下雷電流的雙指數函數表達式已經得到了國內外學者的普遍認可。

由文獻[4]中

將峰值時間tp和半峰值時間th分別代入（1）中，

聯立式（2）、（3）、（4），可確定th和tp。也就是說只要給定雷電流幅值I0，波頭衰減系數α和波尾衰減系數β就可以確定雷電流的波形。雖然單次脈沖自然閃電波形近似于指數函數[1]，但是Bruce提出的雙指數模型在t=0時刻無法對雷電流求導，而建立多脈沖雷電流模型的四個條件之一，即求解雷電流最大陡度（di/dt）max又要求必須能對每一時刻的雷電流求導，所以多脈沖函數表達式不能像雙指數模型一樣只有指數形式。為了避免雷電流一階導數在起始位置的不連續性，很多學者不斷改進Bruce提出的模型，如Jones[5]提出如下修正函數：

Raicic[7]給出了雷電流一階導數連續的形式

式（5）至（7）中的函數表達式由于雷電流的參數計算復雜并且特征量不盡相同，使得其在工程應用中并不廣泛。筆者的多脈沖模型建立在前人的單脈沖模型基礎之上，綜合考慮了多脈沖雷電流的特征量、參數計算的復雜度以及在工程應用中的可行性。根據電荷量相等得到等效的多脈沖模型，建模過程應用了Heilder模型方法[1]。多脈沖雷電流函數（見公式8）分成三個部分：x（t）代表電流上升時間函數，表達式是冪函數形式；y（t）代表電流的延遲時間函數，表達式是指數函數；z（t）代表等效多脈沖雷電流的振蕩函數，表達式是三角函數形式。

公式（10）即是本文多脈沖等效模型的完整表達式。假設tmax為雷電流達到峰值的時間，為保證i（tmax）=I0，需要增加雷電流峰值修正因子η。這樣，通過確定參數I0，τ1，τ2，n，T便可以得到多脈沖雷電流模型。參數的計算方法在后面介紹。

1.1 雷電流峰值修正因子η

一階雷電流表達式：

令di（tmax）/dt=0，化簡可以得到峰值電流時間tmax：

在化簡等式di（t）/dt=0的過程中用到了近似處理，即當t=τp時認為（ks）n＞＞1，Heidler等人在文獻[1-7]中給出了說明。將（12）式中的τp代入到公式i（tmax）=I0中得到修正因子：

圖5 不同陡度系數n對應的修正因子關于τ2/τ1的曲線圖Fig.5 Curve correction factor of different steepness coefficient n corresponding to about τ2/τ1

1.2 雷電流最大陡度（di/dt）max的計算

確定多脈沖雷電流模型的最大陡度（di/dt）max理論上只需求出雷電流二階導數等于零的時間t1，即：

實際計算量卻非常龐大：由于雷電流陡度最大值存在于電流的上升階段，所以不必考慮雷電流公式（8）中決定波尾延遲時間的指數函數部分，即認為y（t）≈1。重新計算（13）得到雷電流陡度最大值處的時間：t1=τ1f1，其中t1代入（di/dt）max中得到：

即

另外，將t1代入公式（8）中可以得到t1處的雷電流，即

圖6 f1，f2，f3關于陡度n的曲線圖Fig.6 The formula of f1，f2，f3corresponding tosteepnesscoefficient n

1.3 轉移電荷量的計算

對圖2雷電流進行積分可以求得等效五脈沖全波電流的總電荷量Q，見公式（18）。

式中，t1=0，t2=139 μs，α=8.66×10-4，β=1.732×105。

在MATLAB中輸入如下積分公式，可快速求得總電荷量Q。

2 多脈沖雷電模型表達式參數的確定

使用圖解法得到多脈沖雷電模型表達式參數，為方便計算，定義三個無量綱的因變量。見式（19）：

這樣可以獨立的求解參數。

[8-14]，給定多脈沖雷電流峰值Imax，多脈沖雷電流最大陡度（di/dt）max，上升到峰值的時間τp，轉移電荷量Q，見表1。

將表1中的特征量代入到（19）式中得到Y1和Y2分別為Y1=7.5；Y3=32.33；由圖7可知，當Y1=7.5時，τ2/τ1≈78，n=21。對應圖5可知，η≈0.97。所得到的參數還可以通過圖8進行驗證。將參數τ2/τ1和n帶入到峰值時間公式（12）中，解得τ2=13.65，又因為τ2/τ1≈78，所以τ1=0.175。通過圖解法得到多脈沖雷電模型表達式參數見表2。

圖7 不同陡度系數n對應的Y1關于τ2/τ1的曲線圖Fig.7 Curve different steepness coefficient n corresponding to Y1about τ2/τ1

圖8 不同陡度系數n對應的Y3關于τ2/τ1的曲線圖Fig.8 Different steepness factor n corresponding to Y3on the curve of τ2/τ1

表1 多脈沖雷電流特征量Table 1 Multiple pulse lightning current characteristic

表2 計算得到的多脈沖雷電流模型參數Table 2 The parameters of multi-pulse lightning current model are calculated

將表2中的參數代入到公式（10）中，最終得到圖9所示多脈沖等效波形。

圖9 多脈沖等效波形Fig.9 Multi-pulse equivalent waveform

3 結語

給出了等效多脈沖雷電流模型，以及求解此模型參數的方法?？梢越⑦m用于不同行業、不同應用方向的多脈沖雷電流源。不僅可以按照IEC建議采用五脈沖波形等效，也可以根據不同的研究需求建立其他的多脈沖模型，并參照本文的提供的方法確定參數。

參考文獻：

[1] HEIDLER F，CVETIC J M，STANIC B V.Calculation of lightning current parameter[J]．IEEE Transactions on Power Delivery，1999，14（2）:399-404．

[2]王煒菲，仇一凡，馮世濤，趙晨惠，蔡宏飛，王勇.雷電流特性及其波形分析[J].黑龍江電力，2010，32（6）：404-407.WANG Weifei，QIU Yifan，FENG Shitao，ZhAO Chen?hui，CAI Hongfei，WANG Yong.The lightning current characteristics and waveform analysis[J].Heilongjiang electric power，2010，32（6）:404-407.

[3]METWALLY I A，HEIDLER F H，ZISCHANK W[J].Mag?netic fields and loop voltages inside reduced-and fullscale structures produced by directlightning strikes[J].IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，2006，48（2）:414-426.

[4] 孫建虎，劉穎芳，尹平.雷電流數學模型分析[J].后勤工程學院學報，2012，28（2）:86-91.SUN Jianhu，LIU Yingfang，YINPing.Mathematical mod?el of lightning current analysis[J].Journal of Logistic Engi?neering College，2012，28（2）:86-91.

[5] JONES RD.On the use of tailored return-stroke current?representation to simplify the analysis of lightning effect onsystems，IEEE Trans.on EMC，1977.

[6]GARDNER RL，BAKER L，BAUM CE，ANDERSH DJ.Compansonof lightning with public domain HEMP wave?forms on the surfaceof an aircraft[C].6"'EMC Symposium，Zurich，1985.

[7] LIU Xin，LIU Deming，QIN Zheng.The lightning current measurement based on wavelet transform[J].Modern Ap?plied Science，2010，4（4）:19－25．

[8]DIENDORFER G，UMAN MA.An improved return stroke model with specified channel-base current，[J].Geophys.Res，1990，95（13）：621-13，644.

[9]THOTTAPPILLIL R，UMAN MA，Lightning return stroke model with height-variable discharge time constant，[J].Geophys.Res.，1994，99（l1）：22，773-22，780.

[10]BERGER K，ANDERSON RB，KRONINGER H.Parame?ters of lightning flashes，Electra，1975（41）：23-37.

[11]ANDERSON RB，ERIKSON AJ.Lightning parameters for engineering application[J]，Electra，1980（69）：65-101.

[12]陳娜娜.雷電流數學模型的對比分析[J].電氣開關，2010，48（3）:82-84．CHEN Nana.Contrast and analysis of the mathematical model of lightning currents[J].Electric Switchgear，2010，48（3）:82-84．

[13]王勇，趙錦成，解璞.基于PSCAD/EMTDC的雷電流仿真模型研究[J].移動電源與車輛，2008（3）:24-26．WANG Yong，ZHAO Jincheng，XIE Pu．Study of simula?tion model of lightning current based on PSCAD/EMTDC[J].Movable Power Station&Vehicle，2008（3）:24-26．

[14]石光其，方厚輝.雷電電流數學模型的仿真分析[J].湖南工程學院學報，2004，14（2）:19-21．SHI Guangqi，FANG Houhui．Simulation and analysis of lightning current mathematic models[J].Journal of Hunan Institute of Engineering，2004，14（2）:19-21．