高中數學中的平面向量數量積概念分析

王洋洋

（北京師范大學〈珠?！蹈綄俑呒壷袑W，廣東 珠海）

高中數學平面向量數量積模塊知識的學習見于必修四教材中，在此之前，物理學科教學中已經接觸了平面向量的概念，有關數學平面向量的學習更為理論化、系統化，因此掌握平面向量數量積概念以解決實際數學問題成為教學重點，這就需要數學教師提出有效應用策略，從本質上來剖析平面向量數量積概念中的三種形式和相互之間的關系。

一、重視運算，理解向量本質

數量積是向量的一種運算，而運算的法則就蘊含在平面向量數量積中，涉及數量積的定義、幾何含義、坐標運算等形式，想要從本質上解決平面向量數量積問題，就要對概念中包含的各種指示加以深化。向量屬于大小和方向同時俱存的量，是矢量，這一特征的掌控是概念理解的基礎。高中教材中給出的平面向量數量積定義為：兩個向量a，b，夾角為θ，那么|a||b|cosθ叫作a和b的數量積。表面定義看起來比較簡單，但是想要學生充分理解這一概念，并且做到靈活運用具有一定的難度，這需要教師在實際解決問題時重視向量運算的講解，以便引導學生正確把握向量計算中的規律，夯實向量基礎功底，以便為解決更為復雜的向量數量積問題打下堅實的基礎。因此教師可以從以下例題為切入點，為學生展示出向量知識的活用。

例1：有兩個相互垂直的單位向量m，n，滿足關系式a-b=-8m+16n，a+b=2m-8n，求出 a·b。

根據題目給出的條件，明白該題目的目的是幫助學生理解單位向量，并且對向量進行簡單運算，首先利用單位向量m和n，可以將兩個向量a和b分別求出，化簡a=-3m+4n，b=5m-12n，因此可以得出 a·b=（-3m+4n）（5m-12n）=-63。以上例題屬于基礎的向量知識，可以根據學生掌握知識情況適當提高題目難度，以進一步提升向量深度。

二、利用圖形，掌握向量

高中數學分析平面向量數量積概念時，不能僅僅局限于單純講解向量定義和客觀規律有關的知識點，還應該學會利用圖形，有時能發揮意想不到的效果，讓學生更加全面系統地理解向量知識在實踐中的應用。

例2：已知三角形ABC中（如下圖所示），AB和AD相互垂直，而且求出向量的值。

平面向量和三角函數相結合的題目是高考中的難點和重點內容，想要順利解決此類題目，學生就必須熟練各種向量的運算技巧，而且還要對三角函數的多種形式轉換完全掌握。根據題目數形結合思想，列出以下演算過程這種根據圖形來做出向量夾角cosθ可以聯系三角函數中角的轉化，需要學生耐心、細心和用心，觀察圖形更加明確向量的方向指示。

三、通過坐標，積極探索

利用坐標來解決問題是由參考的圖形的幾何性質決定的，建立坐標系能夠準確使用坐標表示向量。根本難點在于坐標系的建立需要準確，箭頭方向要具體。從此進入平面向量數量積概念的學習中，兩個數值之間相乘必然會得到數值，然而多數學生在平面向量數量積的概念中容易和平面向量相混合，存在誤區的學生會將數量積概念認為是兩個向量的相乘也應該是向量，而不會在公式中得出大小和方向，由于兩個向量的模和兩個向量之間的夾角的余弦值相乘，最后得到的是數，因此這種情況才是數量積而并非向量。少數學生對于數量積和向量兩者之間的混合歸根結底是對數量積認識不到位，概念理解不夠徹底，從而缺乏應用意識和應用能力，對此首先要讓學生在理解概念的基礎上多加訓練題目，這是對數學中基本概念和定義的掌握，需要注意的是平面向量數量積是數不是向量，根據字面理解最后的乘積必然是數而并非其他形式。

綜上所述，平面向量數量積系統概念主要包括定義、幾何意義和坐標運算等多個層面。通過概念的應用可以理解為數量積是一個系統才能，學生在分析概念的基礎上最終形成的結果必然是要掌握本質知識，靈活運用各種概念解決存在的問題。因此作為高中數學教師，需要注重概念的分析教學，并且通過概念分解讓學生提高認識，從而提高數學學科文化素養，和形成改革下高考要求相符合，同時促進數學學科的完善。