思維在探究中呈現 素養在活動中發展
——以“空間幾何體的外接球問題”為例

方澤英

（廣東第二師范學院番禺附屬中學，廣東 廣州）

高中數學復習課在高中數學的學習過程中占有很大的比重，特別是在高三的學習過程中?？梢哉f，高三一年都是圍繞高中所學的內容及知識點展開復習。傳統的高三復習課流程大致如下：（1）大部分教師采用“先用10~15分鐘的時間進行知識回顧，再結合相關題型進行例題講解”；（2）以填空的形式讓學生在課前完成知識梳理部分，課上進行題型的強化訓練。以上兩種復習課教學流程都是我們比較熟悉、常見的模式。雖然教師在課前花費了很大的力氣進行備課、選題、做題，但復習效果往往不佳，達不到預設的效果。究其原因在于，這種傳統的課堂復習模式突出了教師的主導地位，學生對知識梳理以及知識網絡的建構相對被動，教師在教學中只是完成從知識到知識的簡單傳授，題型的強化訓練也只是起到鞏固、強化知識點的作用，達不到就針對的高考考點進行專題訓練。因此，這樣的復習課對學生能力提升是不夠的，不利于發展學生的學科素養。

結合近年來教育領域研究的熱點“核心素養”，所謂的數學素養是學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的數學領域的必備品格和關鍵能力。從培養學生數學核心素養的角度來看，傳統的復習模式顯然不利于培養學生的學科素養。如何在復習課中滲透學科素養呢？筆者認為教師的教學要從基本概念入手，幫助學生理解概念的內涵和外延，創設情境引導學生回歸基礎、回歸知識本質的學習，在學生的探究活動中開拓思維，滲透學科素養。本文以“空間幾何體的外接球問題”的專題教學為例，討論基于數學核心素養下的教學設計，希望能起到拋磚引玉的作用，供同行交流學習。

一、教材分析

立體幾何是高中數學的重要內容，而空間幾何體的外接球問題更是高考考查的重點內容。筆者就近10年來高考全國卷對立體幾何考查的題型及知識點進行分析，發現試題的考查基本上穩定在三道題，兩小一大，小題?？純煞N類型，一種主要以三視圖為載體，考查學生的空間想象能力，另一種就是球的內容，屬于中檔題。主要是通過球這個載體考查學生的空間想象能力及推理運算能力?；诒竟澱n內容在高考中的重要性及高三一輪復習的特點，本節課設計的著眼點注重理解球心概念，注重從探究常規圖形（如正方形和長方形）外接球的球心位置及半徑；到探究有條棱垂直于底面，且垂點是頂點時空間幾何體的外接球的球心位置及半徑；最后到探究所有棱長都相等或對棱相等的三棱錐的外接球的球心位置及半徑。以上三種探究內容均是歷年高考考查的重點內容。因此，本節課有必要針對這三種形式的內容展開專題教學，引導學生回歸知識本質的學習，總結解題的通法。

二、學情分析

雖然空間幾何體的外接球內容在高一時已涉及，但由于我校學生基礎較為薄弱，對空間幾何知識的儲備及空間感的想象能力有限，加上高考是以球為載體來考查學生的空間想象能力及推理運算能力。對學生來說是一個難點，主要體現在：（1）學生能夠想象到圖形，但要畫出其草圖，難度較大；（2）即使能夠把圖畫出來，由于在空間中，學生難以找到球心的位置，半徑是多少也無法得知。既然球的有關問題是高考考試的重點內容，所以在高三復習教學中，空間幾何體的外接球問題的教學應該引起我們重視，我們有必要在教學中結合學生的認知特點和高三一輪復習的特點，深入研究高考全國卷命題者的出題方向和命題意圖，設計專題學案，逐層深入，幫助學生建構知識體系，結合歷年高考的考題特點適當補充和拓展相關知識，注重知識理解和技能提升，采取學生課前預習、合作探究、啟發學習等形式，調動學生的學習興趣，培養和提高其數學思維能力，幫助學生構建空間幾何體的外接球的學習框架。

三、教學設計目標及思路

本課的設計目標是：（1）通過探究空間幾何體的外接球問題的解決培養學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象以及數學運算等數學核心素養；（2）通過空間幾何體的外接球問題的解決的數學活動，培養學生解決數學問題的意識與能力，提升學生的數學思想，使四基落實到數學課堂中；（3）通過空間幾何體的外接球問題的解決，讓學生鞏固球的相關知識及基本的數學思想方法。

本課的設計思路：以特殊、常見的空間幾何體的外接球問題作為問題情境，通過問題串的形式，將教學難點分解、細化，層層深入，由淺入深，由易到難。學生通過小組合作探究、交流展示的形式，逐步從探索的問題中抽象出數學問題，歸納總結出常見的空間幾何體的外接球問題的求解通法，并利用所歸納的通法嘗試求解高考題，從而提升學生分析問題和解決問題的能力。

四、教學過程

1.課前任務

（1）將班級的同學平均分成8個小組。

（2）提前完成學案的“知識回顧”“合作探究”。

2.講授過程

第一環節：知識回顧

問題1：球心定義：_______________________________。

問題2：球的表面積和體積公式：S球面=____________V球=__________。

問題3：三角形正弦定理：_______________________________。

以上三個問題在課堂上直接請三位同學口答，教師重點引導學生明確求解球的核心問題在于確定球心位置及求出球的半徑。

★設計意圖：創設問題情境，引發學生興趣，導入本課學習；檢測學生課前學習情況，了解學生知識薄弱的地方，及時生成資源，為求解球的有關問題做好知識鋪墊。

第二環節：合作探究

合作探究一：

（1）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，且它的8個頂點都在同一個球面上，求這個球的半徑？

（2）已知長方體 ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別是 a，b，c，且它的8個頂點都在同一個球面上，求這個球的半徑？

（3）已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的表面上，已知PA⊥面ABC，AB⊥AC，如何求這個球的半徑？

（4）已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的表面上，已知PA⊥面ABC，AB⊥BC，如何求這個球的半徑？

（5）已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的表面上，已知PA⊥面ABC，△ABC為等邊三角形，如何求這個球的半徑？

教師通過課前的學案檢查，反饋學生做題過程中存在的問題，并提示做題的關鍵，以小組為單位，由學生進一步自主合作探究，尋求解決問題的突破口。以抽簽的形式選出5個小組，再請各小組派代表展示思維過程，教師進行點撥、講解。最后師生共同將其歸類，總結提煉出解題通法。

★設計意圖：正方體和長方體的外接球的球心是在其體對角線的中點處，這是絕大部分學生都能接受的知識。從學生容易接受的最簡單的情形開始考慮，能激發學生的求知欲，也能讓絕大多數的學生參與探究。隨著問題的深化，當正方體和長方體變成三棱錐時，并且有條棱垂直于底面，且垂點是頂點時，學生能不能利用補形的方法，將三棱錐外接球的問題轉化為長方體或正方體外接球問題呢？可以讓不同水平的學生展示各自的思維水平和數學素養水平，而且隨著困難的增加也能展示各類學生在解決問題中的意志品質。通過設計一系列的問題串來啟發學生找到在解決不同情形下的問題共性，師生共同提煉解題通法，可以培養學生從具體到一般的思維過程。同時，通過小組合作探究，交流展示，不僅能夠充分調動學生學習的主動性，也能讓學生在學習的過程中學會與人交流合作，培養學生的數學表達能力。

合作探究二：

（6）已知正四面體 P-ABC，所有棱長都相等，點 P，A，B，C 都在球O的表面上，如何求這個球的半徑？

（7）已知正三棱錐P-ABC，點P，A，B，C都在球O的表面上，頂點P到面ABC的距離為h，底面△ABC外接圓的半徑為x，如何求這個球的半徑？

（8）已知三棱錐 A-BCD，AB=CD=a，AD=BC=b，AC=BD=c 則三棱錐A-BCD外接球的半徑？

教師通過課前的學案檢查，反饋學生做題過程中存在的問題。結合課堂上學生在合作探究一中所得到的解題思路及求解方法，以小組為單位，由學生再進一步自主合作探究，尋求解決問題的突破口。再從剩下的3個小組中，選派代表展示思維過程，教師進行點撥、講解。最后師生共同將其歸類，總結提煉解題通法。

★設計意圖：學生在小組合作探究一中獲得了求解一類空間幾何體外接球問題的基礎上，教師拋出合作探究二的三個問題，可以進一步激發學生的求知欲望，培養學生學以致用的意識。引導學生在剖析問題時，嘗試學會將不規則的空間幾何體的外接球問題轉化為規則圖形（正方體或長方體）的外接球問題，培養學生數學建模思想，轉化和化歸思想。最后，師生共同總結提煉解題通法，有助于培養學生的數學概括、數學抽象能力，有利于學生邏輯思維的整理和條理化。

第三環節：題組訓練

題組一：

1.（2017年廣州學考16）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中把“底面為直角三角形的直棱柱”稱為塹堵。今有一塹堵，其高為2，底面直角三角形的斜邊長為4，則該塹堵的外接球的表面積為 。

2.（2009年全國卷1，理15）直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于 。

3.已知△EAB所在平面與矩形ABCD所在平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，則多面體E-ABCD的外接球的表面積為 。

4.（2018年廣州調研，文12，理16）如下圖，網格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積為 （ ）

5.已知正方形AP1P2P3的邊長為2，點B、C分別為邊P1P2、P2P3的中點，沿 AB、BC、CA 折疊成一個三棱錐 P-ABC（使 P1、P2、P3重合于點P），則三棱錐P-ABC的外接球體積為 （ ）

★設計意圖：選自學考、調研考、高考的試題作為題組的典型例題，分別從不同角度來考查空間幾何體外接球的相關問題，讓學生能夠運用得到的解題通法，在具體的問題情境中快速地進行數學建模，合理選用公式求解，體驗學以致用的快樂，增強解題信心。

題組二：

1.（2014年全國大綱，文10）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為 （ ）

A.3π B.4π

3.（2012年遼寧，理16）已知正三棱錐P-ABC，點P，A，B，C都在半徑為的球面上，若PA，PB，PC兩兩垂直，則球心到截面ABC的距離為 。

4.（2012年全國卷1，理11）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的求面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為 （ ）

5.在三棱錐 A-BCD，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，則三棱錐A-BCD外接球的體積 。

★設計意圖：學生在題組一的求解過程中獲得解題信心，激發了學生的求知欲望，再給出題組二的五個題目，可以讓學生進一步嘗試用探究得到的解題通法運用在具體的問題情境中，體驗學以致用的快樂，消除求解空間幾何體外接球問題的恐懼心理。

第四環節：回顧反思

1.數學知識方面

★設計意圖：首尾呼應，加深學生對本節課探究內容的理解及所得到的各類解題通法的總結，有利于學生形成知識網絡體系。

2.數學思想方法：數形結合、化歸與轉化、解方程思想

（1）長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線的中點處。

（2）對于常見的不規則的幾何體外接球問題可以將不規則的幾何體補成正方體或長方體來求解，化繁為簡。具體圖形如下：

三條側棱兩兩垂直的三棱錐三個側面兩兩垂直的三棱錐某一個頂點上的三條棱兩兩垂直的三棱錐（側棱垂直于底面1）

四個面都是直角三角形的三棱錐（側棱垂直于底面2）

正四面體

相對的棱相等的三棱錐

★設計意圖：數學解題的關鍵在于回歸基礎，回歸本質。在解題中不斷強化學生將不熟悉的問題轉化為熟悉的問題，復雜的問題轉化為簡單問題，不斷提升學生分析問題、解決問題的能力。

第五環節：布置作業（略）

五、課后反思，引領教學

1.優化問題設計，滲透學科素養

課改的目的是：從根本上轉變學生的學習方式和教師的教學方式，提倡自主學習、合作學習、探究式學習和研究性學習，使學生掌握終身必備的基礎知識和學習方法；教師由單純的教學者轉變成學習型、研究型的教師，教學中，教師是學生學習的指導者、參與者和合作者。這兩種轉變需要“量”的積累過程。因此，在課改的形勢下，本課從尊重學生的主體地位、弘揚學生的個性發展入手，探索在數學復習課中滲透學科素養。首先，本課倡導將課堂還給學生的理念，在教學形式上突破傳統課堂“滿堂灌”形式，以學生為主體開展活動。如課前學生的自主預習、合作探究、小組展示等形式，都能較好地激發學生參與課堂活動的積極性和有效性，提高課堂教學的有效性，在師生活動、生生活動中培養學生的學科素養。其次，在本課結構的設置上，大膽打破教材框架，突破常規，圍繞高考?？碱}型進行設計，采用一系列問題串的形式，將教學難點分解、細化，層層深入，由淺入深，由易到難，引導學生進行合作探究，交流展示，逐步從探索的問題中抽象出數學問題，提升學生分析問題和解決問題的能力。最后，在教學環節的設計上，注重每一個環節的小結，讓學生嘗試進行總結、提煉，有助于培養學生數學概括、數學抽象的能力，有利于學生邏輯思維的整理和條理化。除此之外，本課的設計強調課堂的小組合作，重視學生數學思維品質和口頭表達能力的培養，在學生的合作交流活動中發展學科素養。

2.編排典型題組，提升解題能力

高三數學復習課有兩個任務：一是梳理概念，形成網絡；二是提升能力，拓寬思維。本課作為高考第一輪復習的內容，在抓好以上兩方面內容的同時，注重結合高考?？贾R的特點，設計空間幾何體外接球專題學案，設計一系列符合學生認知特點的探究問題，通過師生的共同活動得到解題通法。在典型例題的強化訓練上，本課采用“題組訓練”的形式，打破傳統的讓學生直接進行解題的強化訓練，而是在學考、調研考、高考等試題中，選擇同一類型但不同考查方向的題目作為題組的典型例題進行針對性教學。在題目的求解方式上，教師先讓學生對題組的問題進行分析、求解，再結合教師的點撥、講解，把題目講活，讓學生通徹，明白問題的諸多變化，以及萬變不離其宗的道理。引導學生挖掘題目的內涵價值、拓展試題的外延范圍，從而實現做一道題，會一類題，提升解題能力。讓學生通過“知識問題化”得到的思想方法應用在“題組訓練”中，使學生的思維一直處于活躍期，讓學生親身經歷數學活動的過程，獲得感性的認識和體驗，提升理性的思維，從中獲得數學意識、數學能力和數學素養。