用“好”素材 促“真”理解
——以“確定位置”的教學為例

福建晉江市實驗小學（362200） 顏乙紅

【教學內容】

北師大版教材四年級上冊第五單元第二課時“確定位置”

【課前慎思】

“確定位置”就是刻畫物體或圖形位置的方式——用有序數對（a，b）表示物體（點）在平面中的位置。其實質是“在直角坐標系中，對于平面上的任意一點，都有唯一的一個有序數對與它對應，反過來，對于任意一個有序對，都有平面上唯一的一點與它對應”。這個知識點與其他知識點最大的不同在于它的本源是數學而不是生活，但又可依附于現實結構，因此教材從學生的座位“某組某排”引入確定位置。通過課前問卷調查發現，98%的學生自習課本就能依樣畫葫蘆用兩個數來表示位置，但對于“為什么要用數學語言來刻畫一個點的位置？如何刻畫？刻畫的價值在哪里？”則很茫然。其實從數學史的角度來看，笛卡爾發明坐標的用意是用它來解決幾何計算問題；從學生的認知來看，學生早在一年級時便有了在一維中刻畫位置的經驗（如前后、上下、左右），在二維中刻畫位置的經驗（如東南西北）。本課是在二維中正式學習如何用兩個數表達點的位置，而確定點的位置，就是確定好點的橫向位置和縱向位置，不管是行還是列、組還是排，都是生活語言表達的需要。在明確用數對確定位置的內涵及教育價值后，就可以“用‘好”素材，促‘真’理解”為指導思想設計教學。

【教學實踐】

一、用“好”故事素材，從知識源頭出發

師：今天有一只蜘蛛要和我們一起上課。瞧，它來了。蜘蛛在哪里？它悄悄地爬上橫梁躲在某個燈籠后面。猜猜它在里？（課件出示圖1）

圖1

（學生隨意猜測）

師：給你們一點提示。（課件出示數字“2”）現在你覺得它在哪里？

生1：可能是從左邊數起第二個。

生2：可能是從右邊數起第二個。

師：到底是從右邊數起，還是從左邊數起呢？能確定么？

生（齊）：不能。

師：想一想，還要再提供什么信息才能確定蜘蛛的位置？（板書：確定位置）

生3：還要說是從左邊數起還是從右邊數起。

師：也就是還要提供數的———

生（齊）：方向。

師：再給你們一點提示（板書：→）?，F在你能確定蜘蛛的位置了么？

生4：知道了，蜘蛛就藏在從左邊數起的第二個燈籠里。

師：你們真不簡單，給個方向和數字就馬上猜中了。這里有這么多燈籠，如果想讓人一眼看出每個燈籠對應是第幾個。怎么辦？

生5：標數字。

師：我們試著在對應燈籠的下面標上數字。（課件出示：在對應燈籠下標數字）

師（手指橫梁的起點）：這個地方標多少呢？

生6：0。因為0表示起點。

師：能用一個數表示蜘蛛現在的位置么？

生7：2 。

師：2表示什么意思？

生7：第2個燈籠的地方。

師：也就說燈籠的順序是2。

師：如果從起點開始一段一段地數，2還可以表示什么？

生8：距離起點2個間斷的地方。

師：2還能表示和起點的距離。

師：蜘蛛趴在這里好一會兒了，它想換個位置了，于是又繼續爬。（課件分別演示蜘蛛爬到第三、四、五個燈籠后面）現在的位置是——

生：3；4；5。

師：只要蜘蛛繼續在橫梁上爬，我們就可以用——

生9：一個數確定它的位置。

【設計意圖：把握用數對確定位置的數學本質，以數學家笛卡爾用數對確定點的位置的素材為切入點，從方法源頭——一維空間出發，創設“蜘蛛在哪里”的問題情境，先讓學生觀察蜘蛛在橫梁上的位置，體會參照物（起點）、方向、距離在確定位置中的重要作用，喚醒學生用一個數確定點在一組線上的位置的經驗?！?/p>

二、用“好”簡單素材，依知識本質建構

1.制造沖突

師：蜘蛛趴在橫梁上太久了。它說：“外面的世界那么大，我要去看看?！彼掷^續爬了。（課件出示蜘蛛從第3個燈籠往上爬）什么變了？

生1：位置變了，爬的方向也變了。剛才是從左往右爬，現在是從下往上爬。（板書↑）

師：現在蜘蛛爬到哪里了？

生2：3 的上面。

師：如果蜘蛛再往上爬一點呢？

生3：還是3的上面。

師：再往上爬一點呢？

生4：還是3的上面。

師：如果蜘蛛不小心往下掉了一點呢？

生5：也是3的上面。

師：都說是3的上面，這樣真的能說清楚蜘蛛的具體位置么？

生6：不能。

師：怎么辦？

生7：在左邊的柱子上標數字。

師：怎么知道在多高的地方標幾？

生8：1段高的地方標1,2段高的地方標2……（學生用手比畫起點到第1個燈籠的距離為一段）

師：我跟你們想到一塊了。（課件出示：在柱子上掛上燈籠）

師（指著第一個燈籠）：這里標多少？

生9：1。

師：課件出示數字：現在能看出蜘蛛往上爬了幾段么？

生10：2 段。

【設計意圖：制造認知沖突，讓學生體會僅僅用一個數已經無法準確表示出蜘蛛的位置，從而深入思考，提出解決問題的辦法，這是學生的思維從一維向二維發展的過程?！?/p>

2.嘗試建構

師：為了便于觀察蜘蛛的位置，我們可以把橫梁和柱子看成線，燈籠和起點的位置看成點，蜘蛛可以化身為點。老師已經把這只蜘蛛，也就是點變到你們的學習單上去了，請你們拿出學習單1，用自己的方法表示蜘蛛的位置。

生11：蜘蛛的位置是“3上面2段的地方”。3表示從左往右橫著數3段，2表示從下往上豎著數2段。

生12：蜘蛛的位置是“橫3豎2”。我也是從左往右橫著數3段，從下往上豎著數2段。

生13：蜘蛛的位置是“3、2”。

師：這些記錄的方法中有什么共同的地方？

生14：都用到了數字3和2。

師：你真善于觀察和比較，我要把你的發現記錄下來。（板書：3 2）

師：3表示——從左往右橫著數3段的位置，表示的是點的橫向位置（板書：橫向位置）。2表示——從下往上縱著數2段的位置，表示的是點的縱向位置。（板書：縱向位置）蜘蛛在橫梁的時候，我們只要用一個數就能確定它的位置，現在為什么要用兩個數？

生15：用兩個數能更準確地表示蜘蛛的位置。

師：是啊，現在蜘蛛是在一個平面上，它既有——橫向位置，又有——縱向位置，所以要用兩個數來確定它的位置。你們真是善于總結，數學家笛卡爾可是經過漫長的思考才想到用2個數表示點的位置,而我們只用了短短的十幾分鐘就做到了?？纯磾祵W家笛卡爾是怎么想的。（微課展示笛卡爾創造數對的故事和數對的讀、寫法）

師：你們跟數學家一樣，創造了兩個數來確定蜘蛛的位置。數學家規定，先寫——（表示橫向的位置的數），再寫——（表示縱向位置的數），接著——

生16：中間用逗號隔開。

師：是的，用逗號區分橫向位置和縱向位置。

生17：外面加括號。

師：沒錯，用括號表示一個整體。

師：這就是我們今天學習的確定位置的方法——用數對來確定位置。這個數對讀作——（數對三二），我們就用（3,2）來表示這個點的位置。

【設計意圖：學生自主嘗試，創造了表示蜘蛛（點）在平面上的位置的方法，體會到使用兩個數在平面上確定點的位置的必要性。用微課的形式呈現笛卡爾用數對表示點的位置的故事，再次巧妙地把數對的意義、讀法和寫法融入其中。這是數學史和數學文化的延伸，是數學知識與邏輯的進一步抽象和深化，能夠促進學生理解規則產生、表達和形成的過程?！?/p>

3.深化認知

師：一個點的位置可以用數對表示，如果有很多個點呢？老師把每個點的橫向位置和縱向位置用橫線和豎線畫出來，形成了方格圖?，F在就在方格圖上研究格點的位置。

圖2

師（把鼠標放在點（4,2）上）：怎么用數對表示這個點的位置？這個點能用（2,4）表示么？

生18：不能。

師：怎么不能？還不都是這兩個數字？

生19：（2,4）的橫向位置是 2，縱向位置是 4，而這個點的橫向位置是4，縱向位置是2。

師：你分析得真清楚。那（2,4）表示的點又在哪里?（請學生指出點（2,4）的位置）

師：原來（4,2）和（2,4）表示的位置是不一樣的啊。

師：用數對確定位置時應該注意什么？

生20：注意數的順序。

師：是啊，數對里的這兩個數是有序的。（板書：有序）數字的順序不一樣，表示的點的位置就不同。

師：一個數對對應幾個點？

生21：1 個點。

師：沒錯，唯一的一個點。反過來呢，一個點也只對應一個數對。

師：是的，唯一的一個數對。（板書：唯一）

師（出示圖3）：這里還有兩個神秘的點A、B，你能用數對表示它們的位置么？

圖3

生22：A 點是（0,2），B 點是（0,0）

師：依次連接A、B、C，得到一個什么圖形？

生23：三角形。

師：是的，確定了這三個點的位置，三角形的形狀和大小也就確定了。

師（課件出示三角形向右平3格）：三角形怎么了？

圖4

生24：平移后位置變了。

師：請用數對說說點的位置是怎么變的。

生25：原來 A點的位置是（0,2），現在是（3,2）。

生26：原來 B 點的位置是（0,0），現在是（3,0）。

生27：原來 C 點的位置是（4,2），現在是（7,2）。

師：真厲害，C點在格子外你都能看出來。怎么確定生27說的對不對？

生28：延長橫線和豎線，擴充格子圖。

師：聽你們的。（課件演示擴充格子圖）C點果然是（7,2）。

師（課件演示圖形旋轉）：三角形又怎么了？請用數對說說位置是怎么變的。

圖5

生29：原來 A點的位置是（3,2），現在是（1,0）。

……

師：正如著名數學家華羅庚所說，“數形結合百般好，隔離分家萬事休?！蔽覀円院筮€將通過研究數的規律來了解圖形的特征。

【設計意圖：由表示一點的位置到表示多點的位置，學生深刻體會到每個點都有一個橫向的位置和一個縱向位置，把兩個方向線標出來，便形成了方格圖，每個交叉點的位置可以用兩個數（數對）來表示。通過用點的位置描述圖形的位置變化，滲透了一一對應、數形結合等數學思想，發展了學生的空間觀念?！?/p>

三、用好生活素材，就知識的應用拓展

師：剛才我們用數對確定蜘蛛的位置也就是點的位置。你們在教室里也有自己的位置，比如說第一組、第二組、第三組，我們把這樣的排列稱為組，我們班一總共有八組；還有第一排、第二排、第三排，我們班一總共有八排。老師要把你們的位置搬到屏幕上來?？础@是咱們班的座位分布圖（課件出示班級座位圖）。請你對照座位圖，找找自己的位置?？梢园呀M看成豎線，把排看成橫線。橫線和豎線的交點對應的就是座位。

圖6

生1：我的座位是（3,5）。

師：真棒。用數對表示位置顯得很——

生（齊）：簡潔。（板書：簡潔）

師：你們能用數對簡潔地表示自己的位置么？

生2：用數對表示我的位置是（3,2）。

師：剛才那只蜘蛛的位置用（3,2）表示，你的位置也用（3,2）表示，為什么？

生2：因為我的橫向位置和縱向位置都和蜘蛛一樣。

師：老師要考考你們的反應能力。我報數對，請對應的同學起立。（1,1），（2,2），…，（7，7）。（對應的學生起立，教師在課件上標出數對對應的點）

圖7

師：老師報的這些數對有沒有什么特點？

生3：數對的第一個數和第二個數一樣。

生4：橫向位置和縱向位置相同。

師：這些數對所對應的點：連起來是一條斜線。

師：真有想象力。我們現在來玩用數對開火車的游戲。請第三組的同學從前往后依次報出表示自己位置的數對。（學生依次報出：（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）（3,7）（3,8））

師：這些數對有沒有什么特別之處？

生5：同一組的同學，數對的第一個數字一樣。

師：同一組的同學在同一縱線上，他們的橫向位置一樣，所以數對的第一個數一樣。想一想，同一排的同學報出的數對又會有什么特點？

生6：數對的第二個數一樣。

師：是這樣么？我們用事實來說話。請同一排的同學報出數對。（學生依次報出：（1,2）（2,2）（3,2）（4,2）（5,2）（6,2）（7,2）（8,2））

師：果然和預料的結果一樣。同一排的同學，他們在同一橫線上，縱向位置一樣，所以數對的第二個數一樣。

師：大家真了不起，都學會了用數對來確定自己的位置。要感謝蜘蛛陪我們上了一節課，讓我們像數學家一樣經歷了數對的產生過程?；仡^看，當蜘蛛在橫梁上，我們用一個數確定蜘蛛的位置；當蜘蛛爬到墻面上，我們用2個數，也就是用數對確定它的位置?，F在，蜘蛛要回家了，它離開了墻面掛在了半空中，這時候確定它的位置該用幾個數呢？

生7：用3個數。因為既要橫著數，也要縱著數，還要豎著數。（用手比出了三個方向）

師：這是你們的想法，當蜘蛛變為衛星升上太空，或者化身為核潛艇潛入深海，我們又該怎么確定它的位置？這些問題都等待著你們去探索，去發現！

【設計意圖：把學生的座位圖抽象為方格圖，讓學生根據座位圖用數對描述自己的位置，從而感悟數學就在身邊。最后對所學知識做了一番梳理，從一維、二維到三維，展示了一個較為完整的知識體系，激發學生繼續學習的熱情?！?/p>