表面粗糙度對圓柱體渦激振動響應特性影響數值研究

高 云, 楊家棟, 鄒 麗, 宗 智

(1. 西南石油大學 油氣藏地質及開發工程國家重點實驗室,成都 610500;2.東京大學 機械工程學院,東京 113-8656;3.大連理工大學 船舶工程學院,大連 116024)

圓柱體在一定速度的來流下，會在其兩側形成交替脫落的漩渦，周期性的漩渦脫落會在圓柱體上產生周期性的橫向(Cross-Flow, CF)升力以及流向(In-Line, IL)拖曳力。若圓柱體為彈性支撐，周期性的升力以及拖曳力會引起圓柱體在橫向以及流向發生振動，稱之為渦激振動(Vortex-Induced Vibration, VIV)[1]。圓柱體渦激振動又會發過來作用于其尾部流場，從而影響到作用在圓柱體上的水動力載荷。因此，圓柱體渦激振動屬于典型的非線性流固耦合問題[2]，受周圍流場特性的影響顯著，而圓柱體的表面粗糙度是影響圓柱體周圍流場的一個重要參數。

關于表面粗糙度對圓柱體周圍流場以及圓柱體VIV響應的影響，已有較多的學者進行了相關研究。根據加以研究的圓柱體其自身邊界條件，可分為靜止圓柱體(完全固定)研究[3-8]以及振蕩圓柱體(彈性支撐)研究[9-14]。對于靜止圓柱體，主要是針對圓柱體周圍流場特性進行研究，包括漩渦泄放頻率、漩渦泄放模式以及由漩渦泄放引起的升力以及拖曳力等參數。對于振蕩圓柱體，除了針對圓柱體周圍流場特性進行研究外，還需要對結構振動響應特性進行研究，包括圓柱體的VIV響應幅值以及響應頻率等參數。

如表1所示，早期學者主要針對不同粗糙度下空氣中圓柱體的尾部流場特性進行了研究。通過研究發現: 當流體從層流變成湍流時，作用在圓柱體上的拖曳力會極速下降，這種現象稱為拖曳力危機(drag crisis)。且隨著表面粗糙度的上升，出現拖曳力危機的臨界Re數逐漸變小，當表面粗糙度達到一定值(3.0×10-3)時，臨界區域、超臨界區域以及超高臨界區域會合并到一個窄帶區域。近些年，由于海洋工程的快速發展，關于表面粗糙度對水中圓柱體VIV響應特性的研究則得到了關注。通過研究表明: 隨著表面粗糙度的上升，圓柱體的最大位移響應以及最大拖曳力均值逐漸降低，且趨于恒定值。與光滑立管相比，粗糙立管的斯脫哈爾數呈上升趨勢。

表1 不同表面粗糙度下的圓柱體研究

從目前的研究現狀來看,針對水中粗糙圓柱體的尾部流場特性以及結構響應特性的研究還是很缺乏，尚存在很多問題需要進行更深入的研究。比如當圓柱體尾部流場漩渦泄放頻率接近結構固有頻率時，便會發生鎖定現象(lock-in phenomenon)，鎖定區間內，圓柱體會發生大幅的、危險的渦激振動。隨著折合速度的增加，具有不同粗糙度圓柱體的鎖定區間以及鎖定頻率會發生怎樣的變化？基于此，本文對表面粗糙度對圓柱體渦激振動響應特性影響進行了數值研究。對不同粗糙度下圓柱體CF以及IL方向的渦激振動響應幅值、漩渦泄放頻率、結構振動頻率、結構振動軌跡、鎖定區間進行了系統地分析和討論。

1 問題描述

本文研究流場如圖1所示，在均勻流場中放置一個直徑為D的圓柱，圓柱直徑D取為0.038 1 m。流場長度取為32D，流場寬度取為22D。因此阻塞率D/22D=0.045。當阻塞率小于0.05時，流場寬度對圓柱體響應的影響可以忽略[15-16]。入流邊界為一定速度的不可壓縮均勻流，流體為標準狀態下的液態水，從入口邊界以恒定速度U∞流向圓柱。

如圖1所示，入口邊界條件為u=U∞以及v=0，入口速度U∞與雷諾數(Re數)相互對應；出口邊界條件為?u/?x=0和?v/?x=0；上下邊界條件滿足?u/?y=0以及v=0。圓柱表面為無滑移壁面，在無滑移壁面上滿足?u/?y=0和v=0。

圖1 流場區域以及邊界條件

這個系統可以進行流向和橫向的二維振動。圓柱質量比(m*)取為2.6(m*=m/mw，其中m和mw分別是單位長度的圓柱體質量以及單位長度圓柱體所排開的流體質量，m=ρcπD2/4，mw=ρπD2/4，ρc和ρ分別是圓柱體和流體的密度)。本文Re數保持不變，Re=5 000，也就意味著流場的入流速度U∞保持不變(U∞=Re·ν/D，其中ν為流體的運動黏性系數)。通過改變固有頻率的大小來改變折合速度，在過去的很多數值方法中，都采用了通過改變固有頻率的方法來改變折合速度[17-19]。固有頻率fn與折合速度Vr之間的關系為Vr=U∞/(fn×D)。計算中取了4種不同粗糙度的圓柱體，粗糙度系數Ks/D分別取為0、5×10-3,1×10-2以及2×10-2，對于每種圓柱體，計算了分布在1～14的21種不同折合速度。因此，一共計算了84種工況。

2 控制方程以及數值方法

2.1 控制方程

圓柱體渦激振動響應系統可以看作一個二自由度質量-彈簧-阻尼模型，二自由度振動圓柱體的動力學方程為[20-21]

(1)

(2)

式中:c,k以及m分別為系統的阻尼系數、剛度以及單位長度圓柱體的質量，這3個參數的取值來源于Jauvtis等[22]的實驗數據。圓柱體邊界條件取為

(3)

圓柱體初始條件取為

(4)

2.2 數值方法

由于本文將圓柱體視為在xoy平面內剛性運動的質點，因此圓柱動力學方程可以分別依照單自由度質點非線性振動獨立求解。采用四階龍格庫塔法對動力學方程進行離散。以橫向振動為例，方程可以表達為

(5)

使用經典四階龍格庫塔法，式(5)可以離散為

(6)

式中：K1,K2,K3,K4,L1,L2,L3以及L4分別為

(7)

如圖2所示，本文使用等效砂粒粗糙度模型來模擬圓柱體的表面粗糙度。假設粗糙度的存在會導致一個阻塞效應，大概占粗糙高度的50%。粗糙度的存在使圓柱體的直徑增加了一個粗糙高度。即D′=D+Ks, 其中D′為校正后的圓柱體直徑。

圖2 等效砂粒粗糙度模擬

3 分析與討論

3.1 網格獨立性以及數值模型驗證

本文的網格由網格劃分軟件ICEM CFD生成，如圖3所示。

計算域被分成了兩個塊：隨動區域和變形區域。隨動區域是用四邊形網格劃分的，變形區域是用三角形網格劃分的。隨動區域的網格隨著圓柱的振動同步變動；變形區域的網格可以根據隨動區域的移動進行調整和適應。為了驗證網格的無關性，對光滑圓柱體進行了驗證，驗證中選取的參數為：Vr=8.0,m*=2.6,CA=1,ζ=0.003 6。對4種不同的網格進行了計算，計算得到的Ay/D和fs/fn如表2所示。Ay/D為圓柱體在CF方向的無量綱最大位移，fs/fn為結構振動頻率與固有頻率的比值。

(a) 整個區域網格

(b) 隨動區域網格

表2網格獨立性驗證(Vr=8.0,m*=2.6,CA=1,ζ=0.0036)

Tab.2Meshindependencystudy(Vr=8.0,m*=2.6,CA=1,ζ=0.0036)

網格單元數Ay/Dfs/fnM1155700.6021.24M2197400.613(1.83%)1.274(2.7%)M3237180.620(1.30%)1.281(0.55%)M4263230.621(0.16%)1.282(0.08%)

從表2可以看出：網格從M1加密至M2時，Ay/D和fs/fn的變化幅值分別為1.83%和2.7%；從M2加密至M3時，Ay/D和fs/fn的變化幅值縮小為1.30%和0.55%；當網格從M3加密至M4，Ay/D和fs/fn的變化幅值進一步縮小至0.16%和0.08%，即M4計算得到的Ay/D和fs/fn與M3非常接近。在Intel Core i5-4590平臺上，使用M4完成計算用時為12 h，而M3完成計算用時為9 h，M4占用計算資源明顯高于M3，在同樣滿足計算精度的條件下，使用M3計算更加節約計算成本，因此本文中選擇M3作為計算網格。

為了驗證本文數值模型的可靠性，這里對本文的數值模型進行了驗證。驗證時選取的參數與Jauvtis等(2004)的實驗參數相同(m*=2.6,CA=1,ζ=0.003 6)。圖4和圖5依次給出了本文數值模型計算得到的最大無量綱位移Ay/D以及頻率比fs/fn與Jauvtis等的實驗結果以及Zhao等[23]的數值結果(Zhao等的參數為：m*=2.6,CA=1,ζ=0.003 6)的對比。由圖4的位移響應可以看出位移響應存在明顯的4個區間，分別為初始分支、上分支、低分支以及解鎖區間。值得注意的是：本文的數值結果以及Zhao等的數值結果均沒有得到超上端分支，原因是由采用改變固有頻率的方法來得到不同的折合速度所導致。由圖5的頻率響應可以很明顯地看出鎖定區間和非鎖定區間，在非鎖定區間里，振動頻率與計算得到的斯脫哈爾漩渦泄放頻率吻合；而在鎖定區間里，振動頻率基本會出現在固有頻率附近，偏移斯脫哈爾漩渦泄放頻率?？傮w上來說，本文的數值結果與Jauvtis等的實驗結果以及Zhao等的數值結果吻合良好。

圖4 本文數值模型光滑圓柱體渦激振動響應幅值與Jauvtis等以及Zhao等的結果對比

Fig.4 Comparison of response amplitudes of smooth cylinder with Jauvtis’s and Zhao’s

圖5 本文數值模型光滑圓柱體渦激振動響應頻率與Jauvtis等以及Zhao等的結果對比

Fig.5 Comparison of response frequencies of smooth cylinder with Jauvtis’s and Zhao’s

3.2 渦激振動響應特性分析

圖6到圖9分別給出了光滑圓柱體以及帶有三種不同粗糙度的圓柱體的CF以及IL方向的無量綱最大位移、尾部流場漩渦泄放頻率、結構振動頻率以及鎖定區間。尾部流場漩渦泄放頻率與升力相關，對于穩態流中的圓柱體渦激振動，漩渦泄放頻率與升力頻率是相等的。漩渦泄放頻率以及結構固有頻率可分別對升力時間歷程以及結構位移響應求快速傅里葉(Fast Fourier Transform, FFT)變換后取主導頻率得到。這里簡要地介紹一下如何判斷鎖定區間。對于剛性圓柱體，傳統上認為當結構振動頻率(fs)、尾部流場漩渦泄放頻率(fv)與靜止流體中的結構固有頻率(fn)一致時圓柱體處于鎖定狀態。這種判定方法非常適合高質量比m*=O(100)(如空氣)下，此時頻率比f*=fs/fn非常接近1[24-25]；但當結構在低質量比m*=O(10)(如水中)流體中發生鎖定時，f*要很明顯偏移1[26-28]。

Sarpkaya[29]對這種偏移現象給出了很好的解釋：通常我們對振動頻率進行無量綱化所采用的結構固有頻率是處在靜止流體中的固有頻率。但當結構發生振動時，結構的真實固有頻率會逐漸偏移靜止流體中的結構固有頻率，這會導致與結構真實固有頻率吻合的結構振動頻率逐漸偏移靜止流體中的結構固有頻率。這個偏移量會隨著質量比的減小而呈現上升趨勢。當結構處在高質量比流體中，這個偏移量可以忽略，這就會出現結構的振動頻率非常接近結構在靜水中的固有頻率；但當結構處在低質量比流體中，這個偏移量較為明顯，最大偏移值可以達到1.5。綜合以上因素，這里我們給出了判斷剛性圓柱體鎖定區間的方法，鎖定區間的渦激振動響應特性需滿足以下幾個條件：① 結構的振動頻率與流場的漩渦泄放頻率吻合；② 結構振動頻率以及流場漩渦泄放頻率與結構在靜水中的固有頻率比較接近；③ 結構的渦激振動響應軌跡呈現規則的8字形狀。

圖6 光滑圓柱體無量綱渦激振動響應幅值、結構振動頻率、漩渦泄放頻率以及鎖定區間

Fig.6 Nondimensional displacements, structural vibration frequencies, vortex shedding frequencies and lock-in regions versus reduced velocity for the smooth cylinder

圖7 粗糙圓柱體(Ks/D=5×10-3)無量綱渦激振動響應幅值、結構振動頻率、漩渦泄放頻率以及鎖定區間

Fig.7 Nondimensional displacements, structural vibration frequencies, vortex shedding frequencies and lock-in regions for the rough cylinder withKs/D=5×10-3

圖8 粗糙圓柱體(Ks/D=1×10-2)無量綱渦激振動響應幅值、結構振動頻率、漩渦泄放頻率以及鎖定區間

Fig.8 Nondimensional displacements, structural vibration frequencies, vortex shedding frequencies and lock-in regions for the rough cylinder withKs/D=1×10-2

圖9 粗糙圓柱體(Ks/D=2×10-2)無量綱渦激振動響應幅值、結構振動頻率、漩渦泄放頻率以及鎖定區間

Fig.9 Nondimensional displacements, structural vibration frequencies, vortex shedding frequencies and lock-in regions for the rough cylinder withKs/D=2×10-2

基于以上判定方法，由圖6～圖9中的響應頻率以及振動軌跡，我們可以將整個區間分成鎖定區間以及非鎖定區間。鎖定區間可以按照幅值變化趨勢細分為兩個不連續的區間，記為區間II、區間III。區間II里，響應幅值隨著折合速度的上升呈增加趨勢，當響應幅值呈現下降趨勢時則進入區間III，區間II和區間III對應渦激振動響應的“上端分支”以及“低分支”。進入鎖定區間前的非鎖定區間記為區間I，對應渦激振動響應的“初始分支”。鎖定區間結束后的非鎖定區間記為區間IV，對應渦激振動響應的“解鎖區間”。

表3依次給出了光滑圓柱體以及3個不同粗糙度圓柱體對應的4個區間的折合速度分布范圍。由表1可以看出：初始分支分布區間隨著粗糙度的上升基本不發生變化，只有當粗糙度從1×10-2增加到2×10-2時，區間結束點對應的折合速度減小了0.5；上端分支分布區間隨著粗糙度的上升呈現明顯的減小趨勢；低分支分布區間同樣隨著粗糙度的上升呈現明顯的降低趨勢；隨著粗糙的上升，由上端分支和低分支聯合組成的整個鎖定區間鎖定開始點呈現緩慢提前的趨勢，而鎖定結束點呈現明顯的提前趨勢，導致整個鎖定區間的寬度隨著粗糙的上升而逐漸減小。

表3 折合速度劃分區間

由圖6可以看出：當圓柱體為光滑圓柱體時，當Vr較小處在區間I時，此時結構振動頻率與漩渦泄放頻率吻合，且二者與斯脫哈爾漩渦泄放頻率fst=St×V/D,St=0.18非常接近，但遠離結構固有頻率，此時圓柱體沒有發生鎖定，在大多數情況下結構振動軌跡呈現非?；靵y的非8字形狀。值得注意的是當Vr=3時，振動軌跡呈現規則的8字形狀，這是由IL方向產生的Pure lock in所導致[30]。隨著Vr的上升，由區間I進入區間II時，振動軌跡會出現由非8字混亂形狀變換到規則8字形狀的現象。當折合速度處在區間II時，此時結構振動頻率與漩渦泄放頻率吻合，且二者逐漸偏移斯脫哈爾漩渦泄放頻率fst，但接近結構的固有頻率，圓柱體發生鎖定，鎖定區間內振動幅值呈現明顯的上升趨勢且振動軌跡呈現明顯的規則8字形狀。在上分支區間，頻率比f*在0.9附近；在低分支區間頻率比f*在1.3附近。當Vr=6時，CF以及IL方向的響應幅值依次達到最大值1.08D以及0.2D。隨著Vr的進一步上升，由區間II進入區間III，此時CF以及IL方向的振動響應幅值呈現明顯的突降趨勢，此時結構的振動頻率會出現一個明顯的跳躍增加現象，這是由漩渦泄放模式發生轉變所導致。當Vr處在區間III時，隨著Vr的上升，CF方向的振動響應幅值基本處于穩定狀態，穩定在0.6D附近。當Vr進入區間IV時，此時結構振動頻率脫離漩渦泄放頻率，進入解鎖區間，振動軌跡則再次出現混亂形狀，且振動響應幅值呈現下降趨勢。

對比圖7、圖8以及圖9與圖6進行對比可以看出：隨著粗糙度的上升，CF方向的最大無量綱位移呈現遞減趨勢，由光滑圓柱體的1.08D逐漸減小到具有最大粗糙度的圓柱體的0.78D。對于光滑圓柱體以及粗糙度為5.0×10-3以及1.0×10-2的粗糙圓柱體，CF方向的最大位移響應均出現在區間II(上端分支)，但對于粗糙度為2.0×10-2的粗糙圓柱體，CF方向的最大位移響應則出現在區間III(低分支)。當圓柱體為光滑圓柱體或粗糙度為5.0×10-3的小粗糙圓柱體時，當Vr從區間II進入區間III時，振動響應幅值會出現明顯的跳躍下降現象，而振動響應頻率則會出現明顯的跳躍增加現象，由0.9fn直接跳躍到1.25fn；但當圓柱體為粗糙度為1.0×10-2以及1.0×10-2的大粗糙圓柱體時，當Vr從區間II進入區間III時，振動響應幅值呈緩慢下降趨勢，此時振動響應頻率呈現緩慢上升趨勢，最后基本穩定在1.20fn。

4 結 論

本文針對粗糙度對圓柱體渦激振動響應特性的影響進行了數值分析。圓柱的質量比、阻尼比以及Re數分別取為2.6,0.003 6以及5 000。對光滑圓柱體以及3種具有不同粗糙度的粗糙圓柱體的渦激振動響應特性進行了研究，研究參數包括：渦激振動位移響應、結構振動頻率、漩渦泄放頻率、鎖定區間等。通過以上研究，可得到如下結論：

(1) 根據渦激振動響應幅值、響應頻率以及振動軌跡，整個折合速度區間可以大致分為4個區間(區間I、區間II、區間III以及區間IV)，這4個區間依次對應渦激振動響應的初始分支、上分支、低分支以及解鎖區域。

(2) 區間II和區間III同屬鎖定區間，鎖定區間內，CF方向的渦激振動響應要明顯大于IL方向，且該區間響應軌跡呈現明顯的豎8字形狀。區間I和區間IV屬于非鎖定區間。當Vr處于區間I內，渦激振動響應會出現Pure-lock-in現象，此時圓柱體IL方向的渦激振動響應與CF方向的渦激振動響應非常接近。

(3) 隨著粗糙度的上升，圓柱體渦激振動響應最大值呈下降趨勢；隨著粗糙度的上升，鎖定區域開始點對應的Vr呈緩慢提前的趨勢，而鎖定區域結束點對應的Vr呈快速提前的趨勢，因此整個鎖定區域寬度會隨著粗糙度的上升而逐漸變窄。

參 考 文 獻

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