同宿軌向量場的特征擾動空間*

鐘 溢， 陳鳳娟

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

同宿軌在動力系統的研究中有著悠久的歷史,可以追溯到Poincaré在研究三體問題時發現的同宿纏結現象[1-3].該現象由穩定流形與不穩定流形橫截相交,從而產生馬蹄意義和似Hénon吸引子意義下的混沌[4-5].令d為穩定流形與不穩定流形之間的距離,經典的Melnikov函數[6-7]作為d的主項,在一定程度上反映了d的特性.文獻[8]推導了高階Melnikov函數,對距離d有了更精細的刻畫,其中一階Melnikov函數吻合于經典的Melnikov函數.本文通過高階Melnikov函數分析距離d,研究了同宿軌向量場的一個新的擾動現象.首先給出如下定義:

定義1設X為光滑流形,F為X上的向量場,且F存在同宿軌.如果存在函數G,使得向量場F+εG(ε充分小)也存在同宿軌,那么稱G為F的特征擾動函數.

定義2稱所有特征擾動函數組成的集合為F的特征擾動空間,記為E(F),即

E(F)={G:G為F的特征擾動函數}.

下面考慮如下二維自治微分方程:

式(1)中:f(x,y),g(x,y),P(x,y),Q(x,y)為有界閉球V?R2上關于(x,y)的解析函數,且P(x,y),Q(x,y)不顯含時間t.假設當ε=0時,方程(1)存在鞍點O(x0,y0)和同宿到O的同宿軌道(t)={(a(t),b(t)):t∈R}.

式(2)中,

為Melnikov積分.下面將M和d(ε)視為擾動函數(P(x,y),Q(x,y))的泛函,記為M(P,Q)和d(P,Q),即

由文獻[8]知,式(2)可進一步表示為

d(P,Q)=M0(P,Q)ε+M1(P,Q)ε2+M2(P,Q)ε3+…+Mk(P,Q)εk+1+….

(4)

式(4)中:Mk(P,Q)為高階Melnikov函數;k=0,1,2,….由式(4)知,若對任意的非負整數k,Mk(P,Q)=0,則d(P,Q)=0.從而(f,g)的特征擾動空間為

E(f,g)={(P,Q):Mk(P,Q)=0,k=0,1,2,…}.

1 主要結論

下面給出本文的主要結果.

定理1對于方程(1),設a(t)是t的奇函數,b(t)是t的偶函數,且f(x,y)是x的偶函數,g(x,y)是x的奇函數,則(f,g)的特征擾動空間為

E(f,g)={(P,Q):P(x,y)是x的偶函數,Q(x,y)是x的奇函數}.

在證明定理1之前,先給出E(f,g)的性質.定義(P,Q)的范數為

‖(P,Q)‖=max{‖P‖0,‖Q‖0}.

定理2(E(f,g),‖5‖)是Banach空間.

證明 分兩步證明.

1)?α,β∈R,?(P1,Q1),(P2,Q2)∈E(f,g),因為αP1+βP2是x的偶函數,αQ1+βQ2是x的奇函數,所以α(P1,Q1)+β(P2,Q2)∈E(f,g).因此,E(f,g)是線性子空間.

2)證明完備性.設{(Pn,Qn)}?E(f,g)為Cauchy序列.由于E(f,g)?C(V)×C(V),且C(V)×C(V)按范數‖5‖是Banach空間,因此,存在(P,Q)∈C(V)×C(V),使得(Pn,Qn)依范數收斂于(P,Q),即‖(Pn,Qn)-(P,Q)‖=‖(Pn-P,Qn-Q)‖→ 0,n→∞.于是

‖Pn-P‖0→0, ‖Qn-Q‖0→0,n→∞.

對任意(x,y)∈V,

|(P(-x,y),Q(-x,y))-(P(x,y),-Q(x,y))|≤

|(P(-x,y),Q(-x,y))-(Pn(-x,y),Qn(-x,y))|+

|(Pn(-x,y),Qn(-x,y))-(P(x,y),-Q(x,y))|=

|(Pn(-x,y),Qn(-x,y))-(P(-x,y),Q(-x,y))|+

|(Pn(x,y),-Qn(x,y))-(P(x,y),-Q(x,y))|=

因此,

(P(-x,y),Q(-x,y))=(P(x,y),-Q(x,y)),

即P(x,y)關于x是偶函數,Q(x,y)關于x是奇函數.從而(P,Q)∈E(f,g).定理2證畢.

2 Mk(P,Q)的推導

根據式(4),要證明定理1,只需證對任意的k≥0,Mk(P,Q)=0.令D={(s,z)∈R2:s∈(-∞,+∞),|z|0是一個與ε無關的小常量.作坐標變換

(x,y)=

式(6)中:(s,z)∈D;A(s,z),U(s,z),B(s,z),V(s,z)為

把A(s,z),U(s,z),B(s,z),V(s,z)在(s,z)=(t,0)處作Taylor展開,得

引理11)當n是奇數時,An,m(t),Un,m(t)是t的偶函數;當n是偶數時,An,m(t),Un,m(t)是t的奇函數.

2)當n是奇數時,Bn,m(t),Vn,m(t)是t的奇函數;當n是偶數時,Bn,m(t),Vn,m(t)是t的偶函數.

證明 不失一般性,只證明An,m(t)的奇偶性,其他函數的奇偶性可類似證明.

根據定理1的假設,可得上式分子部分是s的奇函數,分母部分是s的偶函數.因此,A(s,z)是s的奇函數.即對于任意的(s,z)∈D,

A(-s,z)=-A(s,z).

等式兩邊關于s求導,根據鏈式法則得

A1,0(-s,z)=A1,0(s,z);A2,0(-s,z)=-A2,0(s,z).

因為變量z與s相互獨立,所以A1,0(s,z)關于z求導不改變其對s變量的奇偶性.這就意味著對于所有的整數m≥0,

A1,m(-s,z)=A1,m(s,z);A2,m(-s,z)=-A2,m(s,z).

歸納得

令(s,z)=(t,0),得引理1中的結論.引理1證畢.

下面求解方程(8).將式(9)代入式(8)得

由常數變易法,解得方程(11)在穩定流形上的解為

類似地,解得方程(11)在不穩定流形上的解為

由式(12)和式(13)知,Z+(t),S+(t),Z-(t),S-(t)可寫成如下級數形式:

其中,K為常數,視具體得到的系數項而定.

于是,穩定流形與不穩定流形之間的距離為Z+(t)及Z-(t)在t=0處的值之差,即

引理2對于t≥0,有

證明 運用數學歸納法.首先,當k=0時,

在式(7)中令(s,z)=(t,0)可知,U(t,0)是t的奇函數,B(t,0),V(t,0)是t的偶函數,E(t,τ)關于t,τ都是偶函數.由積分變量代換得

假設引理2的結論對正整數k

而ρ

于是

結合引理1得到

因此

引理2證畢.

由式(4)得d(P,Q)=0.于是方程(1)存在同宿軌.根據定義1 知,(P,Q)為向量場(f,g)的特征擾動函數.從而證得E(f,g)是向量場(f,g)的特征擾動空間.定理1證畢.

3 具體例子

令S1=R/{2nπ},n∈Z.考慮如下系統:

式(20)中,(θ,v)∈S1×R.當ε=0 時,方程(20)有1個鞍點O(±π,0)和2條同宿到O的同宿軌道±,表達式為

±=(±2arctan(sinht),±2secht),t∈(-∞,+∞).

比較式(1),此時a(t)=±2arctan(sinht)為t的奇函數,b(t)=±2secht為t的偶函數.f(θ,v)=v,P(θ,v)=0為θ的偶函數,g(θ,v)=-sinθ,Q(θ,v)=vsinθ為θ的奇函數.從而由定理1知,(0,vsinθ)為同宿軌向量場(v,-sinθ)的一個特征擾動函數.圖1為方程(20)當ε=0時在柱面S1×R上的相圖,圖2為圖1在yoz平面上的投影.

圖1 方程(20)在ε=0時的同宿軌 圖2 圖1在yoz平面上的投影

當ε=0.8時,圖3和圖4分別給出了方程(20)的同宿軌及其在yoz平面上的投影.

圖3 方程(20)在ε=0.8時的同宿軌 圖4 圖3在yoz平面上的投影

當ε=-0.8時,圖5和圖6分別給出了方程(20)的同宿軌及其在yoz平面上的投影.

圖5 方程(20)在ε=-0.8時的同宿軌 圖6 圖5在yoz平面上的投影

4 結 語

同宿軌的不穩定性導致了復雜的同宿纏結和混沌現象.本文通過高階Melnikov函數研究了一類向量場自治擾動下的同宿軌持續性問題,得到了它的特征擾動空間,并證明了它是Banach空間.特征擾動空間對結構不穩定向量場的理解具有積極意義,相關結果可推廣至異宿軌向量場.