一維準無序系統中的臨界相研究*

劉天帥, 魏興波, 高先龍

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

自1958年安德森局域[1]提出以來,擴展相到局域相的相變已經被廣泛研究.目前,較為集中的2個研究方向是遷移率邊[2-4]及多體安德森局域[3-5].單體系統相對簡單,但能夠反映出多體系統的部分性質,所以對于單體系統的研究仍具有重要意義.

在多體系統的無序外勢里加入隨機相位,計算能級差比率(定義為相鄰2個能級差的最小值和最大值之比)及其平均值[6-7]是研究不同相統計規律的一種常見手段.這種方法能夠在有限系統中明確區分擴展相和局域相.現有的研究結果表明,多體系統中能級差比率的統計平均值在擴展相中會呈現出高斯正交分布(Gauss orthogonal ensemble,GOE)[8],其對應的平均值〈r〉=0.530 7;而在局域相中,能級差比率則表現出泊松統計[9]的特性,對應的平均值〈r〉=0.386 0.但是在一維單體系統中,能級差比率的方法是否依然適用? 是否仍然體現出多體的統計性質? 這還是一個值得研究的問題.

在單體系統中,一維具有準無序外勢的Aubry-André (A-A)模型已被證實了這樣一個結論:隨著無序外勢強度W/t的增加,系統會經歷不同的相:當W/t<2時,系統處于擴展相;當W/t=2時，系統處于臨界相;當W/t>2時,系統處于局域相[10-13].W/t<2和W/t>2的情況已經被大量研究,但是對于W/t=2的情況,尤其是臨界相的能級差比率,至今仍沒有確切的研究結果.臨界相的能級差比率是否也體現出某種統計性質?它的值是否也是確定的?這仍然有待研究.

1 模型及方法

標準的A-A模型其臨界相只是一個點.為了更好地研究臨界相,筆者選取如下的模型進行研究[14],其形式為

-(t+λi-1+Vi-1)ui-1-(t+λi+1+Vi+1)ui+1+Wiui=εiui.

(2)

若令t+λi+Vi=Ti,則方程對應的矩陣為

本文主要采用能級差比率的方法研究臨界相性質.在準無序勢Wi中加入隨機相位計算能級差比率是一種研究系統局域性質常見的方法,能級差比率的定義為

式(4)中:δi= |εi-εi+1|表示相鄰2個能級的能級差.在不同的相中,ri會表現出不同的統計性質,當相位為φW時,能級差比率的平均值

計算能級差比率需要計算整個系統的能級,所以本文采用對角化矩陣的方法進行數值模擬,當λi=Vi=0時,此模型為標準的A-A模型.當Wi=0時,矩陣只存在非對角線上的躍遷,此時模型變為非對角(off-diagonal)A-A模型.

2 結果分析與討論

2.1 Aubry-André 模型

圖1展示了不同系統尺寸下能級差比率的統計平均值與準無序勢強度的關系.由圖1可以看出, 在φW=0時,能級差比率的統計平均值在臨界相、局域相和擴展相3個不同的區域差異明顯.這就說明,可以在φW= 0時由計算系統的能級差比率來確定3個相的范圍.同時,也可以看到臨界相出現在W/t= 2 時(見圖1(a)),不同系統尺寸下,臨界相的能級差比率的統計平均值都具有相近的值〈r〉≈0.236.當考慮了隨機相位φW的影響時(見圖1(b)),在臨界相區域,能級差比率〈r〉≈0.320,比0.236 稍大.隨著系統尺寸的增加,系統在擴展相的能級差比率的統計平均值逐漸接近于1,與多體系統中的高斯正交分布不同,原因是單體系統中沒有真正的各態歷經.同時,在局域相中,能級差比率的統計平均值〈r〉≈0.380.這與多體系統的結果一致,此時能級差比率表現出泊松統計性質.而在臨界相,能級差比率的統計平均值〈r〉≈0.310,有別于局域相和擴展相,是我們發現的新的統計規律.

(a)φW=0 (b)φW∈ [0,2π] 的任意隨機數,隨機次數n= 10 000

圖1 能級差比率的統計平均值與準無序勢強度的關系

2.2 Off-diagonal Aubry-André模型

平均逆參與率(用“MIPR”表示)[14]是研究局域化性質的一種手段,它能夠界定局域相、臨界相、擴展相的范圍,其定義為

圖2展示了不同公度調制和非公度調制下的MIPR.由MIPR的分布可以看出,在非對角A-A模型中,臨界相的范圍由公度調制和非公度調制共同決定,其范圍為λ/t=1-V/t和λ/t=1+V/t.而在臨界相的兩側區域,MIPR值明顯低于臨界相的值,可以判斷出此時系統處于擴展相.圖3展示的是當φV=0時,不同非公度調制強度V下,能級差比率的統計平均值和公度調制強度的關系.比較圖2和圖3可以發現,二者在相變點附近都具有明顯的變化(圖2、圖3中，系統參數為：Wi=0;L=987;α=610/987;φV=0).這就說明,φV=0時,能級差比率的統計平均值的確能夠用于確定臨界相的范圍.除此之外,還可以看到,在臨界相的范圍內,能級差比率的統計平均值〈r〉≈0.190,這與A-A模型臨界相的〈r〉不同.說明不同模型下,同為臨界相,其能級差比率的統計平均值并非一個恒定的常數.

圖2 不同公度調制和非公度調制下的MIPR圖3 不同非公度調制強度V下,能級差比率的統計平均值和公度調制強度λ的關系

圖4 考慮φV 為隨機相位時能級差比率的統計平均值與公度調制的關系

波函數幾率密度也可以體現擴展、臨界、局域性質的不同特征.圖5展示了不同公度調制和非公度調制下基態對應的波函數幾率密度,系統參數為:L=987,α=610/987.圖5(a)對應的能量本征值為E=-2.023 1，當選取V/t=0.5，λ/t=0.3時，相當于圖2中的擴展相區域(此時λ/t<0.5及λ/t>1.5),可以看到波函數幾率密度彌散到整個系統空間,故此時系統處于擴展態;圖5(b)對應的能量本征值為E=-2.634 5,當選取V/t=0.5,λ/t=1.0時，相當于圖2中的臨界相區域(此時0.5<λ/t<1.5),可以看到波函數幾率密度呈現出既非局域相的δ函數性質,也非擴展相的性質[15],故系統處于臨界狀態.

3 總 結

本文通過能級差比率方法研究了一維A-A模型和非對角A-A模型中的臨界相,發現用能級差比率的方法可以直接確定擴展相、臨界相和局域相的范圍,與加入隨機相位后得到的結論一致.另外,不同模型中,臨界相能級差比率的統計平均值是一個不同的常數,但在同一個模型下臨界相具有相同的能級差比率的統計平均值.

下一步,筆者將進一步運用能級差比率方法研究多體系統的臨界相統計性質和多體局域性質.

Wi=0,L=987,α=610/987