偽雙曲方程一個非協調混合元方法超收斂分析

馬 戈, 胡雙年

(南陽理工學院 數學與統計學院, 河南 南陽 473004)

0 引言

考慮如下偽雙曲方程[1]:

(1)

其中X=(x,y),Ω為邊界并行于坐標軸的有界矩形區域,其邊界是?Ω,f∈L2(Ω)、u0(X)、u1(X)為已知光滑函數，a(X)和b(X)為已知光滑函數，且滿足a0≤a(X)≤a1，b0≤b(X)≤b1，這里a0,a1,b0,b1是正常數.

1 單元構造及問題逼近

Vh={vh;vh|K∈span{1,x,y,x2,y2},

其中:Qm,n(K)=span{xiyj,0≤i≤m,0≤j≤n}，F是單元K的邊，[vh]表示v跨過邊界F的躍度，當F??Ω時，[v]=v.

(2)

(3)

(4)

(5)

其中

顯然‖·‖h是Vh上的模.

(6)

(7)

(8)

2 半離散格式下的超逼近分析

(9)

(10)

其中

證明記

(11)

(ξtt,ξt)+(a(X)ξ,ξt)h+

(a(X)ξt,ξt)h+(b(X)ξt,ξt)=

-(ηtt,ξt)-(a(X)η,ξt)h-

(a(X)ηt,ξt)h-(b(X)ηt,ξt)+

(12)

注意到式(12)的左端項

(ξtt,ξt)+(a(X)ξ,ξt)h+

(a(X)ξt,ξt)h+(b(X)ξt,ξt)≥

(13)

下面對式(12)的右端各項進行估計.應用性質1,平均值技巧及ε-Young不等式有

將上述對Bi(i=1,2,…,5)的估計及式(13)代入式(12)得

(14)

對式(14)兩端從0到t積分，注意到ξt(X，0)=ξ(X，0)=0，并取ε充分小得

(15)

即式(9)得證.

(ξtt,ξtt)+(a(X)ξt,ξtt)h+(b(X)ξt,ξtt)=

-(ηtt,ξtt)-(a(X)η,ξtt)h-

(a(X)ηt,ξtt)h-(b(X)ηt,ξtt)-

(a(X)ξ,=∶

(16)

下面估計式(16)右端各項.利用導數轉移技巧、平均值技巧和引理1及ε-Young不等式有

D1+D4≤C(‖ηtt‖0+‖ηt‖0)‖ξtt‖0≤

D2=(a(X)ηt,η,ξt)h=

類似有

D3=(a(X)ηtt,ηt,ξt)h≤

D5=(a(X)ξt,ξ,ξt)h≤

將上述Di(i=1,2,…,6)的估計代入式(16)有

(17)

取ε充分小，對式(17)兩端從0到t積分，并注意到ξt(X，0)=0，ξt(X，0)=0，可得

(a(X)η,ξt)h-

(a(X)ηt,

(18)

注意到a(X)≥a0>0，b(X)≥b0>0，由式(18)及Gronwall引理有

(19)

(a(X)(ξt+h≤

(20)

取ε充分小即得(10)式,定理得證.證畢.

(21)

(22)

3 全離散格式下的超逼近分析

設0=t0

(23)

其中

(24)

其中

utt(X,0)=-b(X)u1(X)+(a(X)u1(X)+

a(X)u0(X))+f(X,0).

(25)

(26)

其中

證明記

(27)

(?ttξn,?tξn)+(b(X)?tξn,?tξn)+

(a(X)?tξn)h+(a(X)ξtn,?tξn)h=

-(?ttηn,?tξn)-(b(X)?tηn,?tξn)-

(a(X)?tηn,?tξn)h-(a(X)?tξn)h+

(28)

注意到，方程(28)的左端

(?ttξn,?tξn)+(b(X)?tξn,?tξn)+

(a(X)?tξn)h+(a(X)ξtn,?tξn)h≥

(29)

下面對式(28)右端各項估計，注意有

則由引理1、Schwarz和ε-Young不等式

將上述Ei(i=1,2,…,6)的估計及式(29)，代入式(28)并取ε比較小有

(30)

對式(30)兩端同乘以2τ，并對n從1到N-1求和，注意(N-1)τ≤T，得

(31)

應用Taylor’s展開易知

注意到

故有

(32)

將式(32)代入式(31)，并注意a0≤a(X)≤b0，可得

(33)

由于

(34)

(35)

綜合式(33)、(34)和式(35)可得

(36)

即式(25)得證.

(a(X)

(37)

由引理1、Schwarz和ε-Young不等式，并應用式(36)的結論有

當網格比τ=O(h)，利用逆估計有

G3≤C‖

G6=(

將上述Gi(i=1,2,…,6)代入式(37)，并取ε充分小，有

(38)

再利用三角不等式可得式(26).證畢.

4 結語