投資組合中協方差陣的估計和預測

劉麗萍

（貴州財經大學數學與統計學院，貴陽 550025）

引言

協方差陣在實際生活中有著廣泛的應用，尤其是在資產組合及風險管理中，其扮演著不可替代的角色。協方差陣的估計方法大都是基于低頻數據的。近年來，高頻數據越來越容易獲得，較低頻數據而言，其包含了更加豐富的信息。高頻數據的信息量更高，但抽樣頻率提高的同時會帶來微觀噪聲影響越來越大的問題。由于短期內的價格波動等因素，資產收益率可能出現幅度較大的變化，數據呈現跳躍狀態，該跳躍對高頻數據協方差陣估計帶來更多難題。信息技術的發展促使更多高頻交易場景以及更高頻率的交易場景的出現。人們對高頻協方差陣的研究也隨之深入，對微觀噪聲和跳躍對其估計的影響也進行了探索。研究指出，微觀噪聲以及跳躍存在時，積分協方差陣的一致估計量不是已實現協方差陣，并提出降低微觀噪聲以及跳躍影響的估計量（比如Zhang（2011）[1]、Griffin和Oomen（2011）[2]、Barndorff-Nielsen和Hansen等（2011）[3]、以及Nole和Voev（2008，2012）[4～5]）。但之前的研究往往分別研究噪聲或者跳躍的影響，劉麗萍（2013）[6]提出了修正的門限預平均已實現協方差陣（MTPCOV），MTPCOV估計量同時考慮了噪聲和跳躍的影響，以期彌補之前研究的不足。

頻率高、維度大是當今金融機構所研究的數據的顯著特征。這種情況下，維數詛咒導致一些協方差陣的估計和預測模型的適用性較差。為了克服這些問題，本文將MTPCOV和VAR-LASSO結合起來，來解決噪聲、跳躍和維數詛咒對協方差陣估計的影響。本文后續內容如下：第一部分詳細介紹了MTPCOV估計量；第二部分將MTPCOV和VAR-LASSO模型相結合來估計和預測高維高頻的金融協方差陣；第三部分是實證分析；最后一部分是本文的結論。

一、MTPCOV估計量

修正的門限預平均已實現協方差陣（MTPCOV）是由劉麗萍（2013）[6]提出的，其構造形式如下：

在上式（1）中，由馬丹和尹優平（2012）[7]的研究可知，MTPCOV的主對角線元素MTPRV的形式為：

由劉麗萍（2013）[6]的研究可知，MTPCOV的副對角線元素MTPCV的形式為：

劉麗萍（2013）[6]的研究指出，協方差陣MTPCOV解決了維數詛咒和噪聲的影響，是積分協方差陣的一致估計量。但是，當資產的維度較高時，該估計量將面臨著嚴重的維數詛咒問題，估計效果很差。為此，本文考慮將MTPCOV估計量和VAR-LASSO模型相結合，來解決維數詛咒問題。

二、考慮噪聲和跳躍影響的高維高頻協方差陣的估計和預測

前文提到的MTPCOV估計量同時考慮了噪聲和跳躍的影響，但是當資產的維度較高時，該估計量將面臨著嚴重的維數詛咒問題。為此，我們考慮將MTPCOV估計量和VAR-LASSO模型相結合，首先采用MTPCOV估計量估計出高頻數據的協方差陣，將其記為∑。VAR-LASSO模型是由Callot和Kock等（2017）[8]針對高維高頻數據而提出的模型，該模型認為，前p期的協方差陣的值會影響到當期的值。也就是說，第t期的協方差陣∑t依賴于∑t-1，…，∑t-p。假定資產的維度為n，則協方差陣∑t為n×n，共有不同元素n（n+1）/2個。對采用MTPCOV估計量估計的t時期的協方差陣∑t的上三角元素進行拉直操作，符號vech（）表示拉直操作，得到向量yt=vech（∑t）。假定yt服從VAR（p）模型，即：

式（4）中，Φi（i=1，…，p）是k×k的系數矩陣（k=n（n+1）/2）；yt-i=vech（∑t-i）。式（4）可以簡化為如下形式：

式（4）中，yi=（yT，i，…，y1，i）′是觀測值i（i=1，…，k）的向量；?i=（?T，i，…，?1，i）′是由對應的殘差構成的向量；X=（ZT，…，Z1）′，是kp維的系數向量。根據式（5）可知，我們所建立的每一個方程，都需要估計個個參數，并且待估參數的個數會隨著資產產維度的增加而急劇地增加，資產維度的增高會加劇式（5）的估計困難。所以，Callot和Kock等又進一步在VAR（p）模型中引入LASSO方法，將不顯著變量的回歸系數壓縮至0。其思想可以由式（6）表示，通過最小化式（6）來估計最優的回歸系數。

估計出VAR-LASSO模型的回歸系數后，便可以根據其進一步做預測，假定我們做的是滾動的一步向前預測。則：

三、實證研究

在該部分的實證研究中，我們選擇的是2011年1月4日至2014年9月30日的上證180指數成份股的高頻數據，剔除交易缺失的數據，共有交易的天數為906天。將906天劃分為估計和預測兩個部分，估計區間的長度為806天，預測區間的長度為100天。采用滾動預測法來預測后100天的協方差陣。首先采用MTPCOV和Andersen（2003）[9]提出的RCOV估計量來估計前806天的協方差陣，接著采用VAR-LASSO模型和劉麗萍等（2015）[10]提出的CF-ARMA模型來預測第807天的協方差陣；然后采用相同的協方差陣估計量來估計2—807天的協方差陣，從而預測出第808天的協方差陣；依此類推，直到選用101—905天的數據來估計協方差陣，最后預測出第906天的協方差陣。我們將預測出的100天的協方差陣應用在投資組合中，來驗證它的應用效果。這里，我們采用的投資組合是等比例風險投資組合。下表給出了我們采用不同的模型預測得到的資產組合的收益、波動和夏普比例值。

組合收益、波動及Sharpe比率值

從上表可以得到三條結論：首先，無論采用的預測模型是CF-ARMA模型還是VAR-LASSO模型，由MTPCOV估計量構造的投資組合的收益明顯高于RCOV，并且MTPCOV的組合波動更小，Sharpe比率值更高，這是因為MTPCOV估計量克服了噪聲和跳躍的影響。其次，預測模型VAR-LASSO明顯要優于CF-ARMA。最后，由VAR-LASSO模型預測的MTPCOV估計量構造的投資組合最優，其對應的Sharpe比率值最高，因為VAR-LASSO模型和MTOCOV相結合來估計和預測金融數據的協方差陣時，不僅解決了噪聲和跳躍的問題，還解決了維數災難問題。

下頁圖是VAR-LASSO和CF-ARMA模型預測的資產組合的邊界圖，下頁圖的結果基本與上表相符，進一步說明考慮了噪聲和跳躍的MTPCOV估計量明顯優于RCOV估計量，采用VAR-LASSO模型預測的MTPCOV估計量應用在投資組合中有較好的表現。

組合的有效邊界圖

結語

高維高頻協方差陣的估計和預測是統計領域研究的熱點問題。噪聲、跳躍以及維數詛咒問題為協方差陣的估計帶來了眾多的挑戰。本文將MTPCOV和VAR-LASSO模型相結合來來估計和預測高維高頻協方差陣，在考慮了噪聲和跳躍對協方差陣估計影響的同時，也解決了維數詛咒問題。將VAR-LASSO模型預測的MTPCOV估計量應用在投資組合中，發現與其他估計量相比，由其構造的投資組合有更好的表現，收益更高，風險更小，其對應的Sharpe比率值更高。