基于局部保持投影和主成分分析的地震數據去噪方法?

魏嘉鋮 桑 雨 杜 磊 宋志軍

（1.長江大學石油工程學院 荊州 434023）（2.遼河油田博士后工作站 盤錦 124010）（3.大連理工大學博士后流動站 大連 116029）（4.遼河油田勘探開發研究院 盤錦 124010）（5.遼河油田鉆采工藝研究院 盤錦 124010）

1 引言

壓制干擾、去除噪聲以提高地震資料的信噪比是地震資料處理的基本目標（高信噪比、高分辨率、高保真度和準確成像）之一。通常地震資料去噪方法是基于傅里葉變換的方法［1］，如頻率域濾波法、f-k濾波法，f-x域反褶積濾波［2］等算法，以及基于多尺度多幾何分析的小波變換方法［3～5］、曲波（Curvelet）變換方法［6～8］等。另外，常用的去噪方法還有奇異值分解［9～10］法（Singular Value Decomposition，SVD）、Radon 變換法［11～12］、中值濾波［13～14］方法等。但隨著地震勘探需求的增加和地震采集技術的發展，地震數據的維度也逐漸加大，這些去噪方法已不能適應高維數據空間的非線性模式，對地震傾斜及彎曲同相軸處理效果不佳，從而會對地震反射波信號造成損傷，并殘留一部分噪聲。

近年來，針對非線性降維方法的流形學習給地震數據非線性處理提供了一種新思路，該方法借鑒局 部 保 持 投 影［15］（Locality Preserving Projections，LPP）算法數據重構的思路，提出一種聯合利用LPP和 主 成 分 分 析［16］（Principal Component Analysis，PCA）來提高地震數據的信噪比的處理方法。該方法在對地震數據進行去噪處理中，使用了LPP方法，能夠實現對非線性數據的線性化處理。其基本思路是，首先利用LPP重構方式對地震數據采樣點用其近鄰進行重構，使其在地震數據去噪過程中能夠有效地保留彎曲或傾斜同相軸信息；然后，利用PCA分解對LPP重構后的地震數據進行有效信號和隨機噪聲分離，提取出特征值較大的有效反射信號，去除特征值很小的隨機噪聲。最后，文章通過人工生成模型測試和實際地震資料處理，結果表明：提出的方法能很好地適用于彎曲同相軸上，可以有效地去除隨機噪聲，且不損傷有效信號，有效提高了地震資料的信噪比。

2 基于LPP和PCA方法提高地震數據信噪比

2.1 局部保持投影（LPP）原理

LPP算法采用局部保持近鄰圖表示數據中潛在的低維流形，然后尋找線性變換矩陣W，在數據降維的同時保持數據間的局部近鄰關系：

其中，Sij是權值矩陣，若 xj是 xi的k個近鄰點，則Sij為

其中，t是一個大于0的常量。

從目標函數（2）可看出，降維后的特征空間能夠保持原始高維空間的局部結構。對式（2）進行代數變換：

式（5）可以通過求解如下廣義本征值問題而得到：

這樣，式（6）的d個最小的非零特征值所對應的特征向量構成投影矩陣

2.2 主成分分析（PCA）原理

PCA算法將數據方差的大小視為對信息衡量的標準，方差越大，它所能夠提供的信息就越多，反之提供的信息就越少。因此，PCA降維實際上是一個坐標變換過程。具體應用方法如下：

令x表示為環境中的m維隨機向量。假定x的均值為零，即

令w表示為m維單位向量，x在其上的投影為y。此投影定義為向量x和向量w的內積，表示為：

滿足約束條件：

主成分分析的目的就是要找到一個權值向量w，從而使得表達式的值E[y2]最大化，E[y2]表示為

依據線性代數的理論可知，為了使E[y2]值最大化，w應該滿足下面的公式：

即使得式（11）最大化的w是矩陣Cx的最大特征值相對應的特征向量。

2.3 基于LPP和PCA的地震數據噪聲壓制

在提出的LPP+PCA方法中，LPP利用獲得的最優的重構權值矩陣對地震數據采樣點用其近鄰進行重構，一定程度上降低了噪聲的影響，進而實現包含非線性的彎曲或傾斜同相軸的地震數據的去噪處理。注意：這里使用的是LPP重構特性，并非降維特性。

此外，根據PCA特點，由于地震資料有效信號具有良好相關性，其分解后具有很大的特征值；而PCA分解后的隨即噪聲具有不相關性，則有很小的特征值。因此，PCA可根據此特性在多個地震道間檢測同相軸，對若干個大特征值的特征向量進行重構，即提取最重要的主成分，去掉小特征值的隨機噪聲信息，從而達到壓制隨機噪聲的目的。

設有D個地震道記錄的地震剖面，每個地震道記錄有N個采樣點，采樣點集合為 X=[x1，x2，…，xN]即每個采樣點可看作D維的向量。對地震記錄進行LPP重構和PCA特征值分解步驟如下：

第一步：計算每個采樣點xi的k(k＜N)個近鄰點，距離公式為權值是稀疏矩陣。據此得到數據集X所對應的對稱稀疏權值矩陣Sm×m。

第三步：用采樣點 xi的k個鄰域線性組合代替 xi，即獲得LPP重構后的

第二步：確定權重，根據LPP算法，xi到xj的地震數據

第四步：PCA線性變換：在地震數據 X*基礎上，其重構結果X′可用線性正交變換矩陣W表示成Y的線性組合：

圖1 地震數據的LPP+PCA方法去噪處理流程圖

3 實驗分析

為了驗證提出方法的有效性，在地震數據人工生成模型以及實際地震數據上進行了試驗。利用峰值信噪比作為標準進行定量對比分析，峰值信噪比PSNR采用特征值法［17］計算。

3.1 合成地震記錄實驗

圖2（a）為一不含噪聲的模擬地震記錄，含有三條彎曲同相軸，這里的彎曲同相軸的內部結構可視為非線性的關系。圖2（b）為圖2（a）加入高斯噪聲（隨機噪聲）后的模擬地震記錄，信噪比SNR為dB。將提出的LPP+PCA方法與經典的基于曲波變換的閾值去噪方法和基于小波變換的閾值去噪方法進行比較，圖2（c）、2（d）和2（e）分別為三種方法的去噪結果，從視覺效果上看，提出的LPP+PCA方法去除的隨機噪聲較好，僅殘留了小部分隨機噪聲；此外，采用峰值信噪比PSNR來評價，圖2（b）的峰值信噪比PSNR=33.9774dB，提出的LPP+PCA方法（k近鄰點值選為12）重構后的結果（圖2（c）），其PSNR為48.3243dB，其它兩種方法的信噪比PSNR分別為45.9435dB（圖2（d））和42.1254dB（圖2（e））。圖2（f）、2（g）和2（h）分別為三種方法去除的噪聲，可以看到，基于曲波變換和小波變換的閾值去噪方法均損失了彎曲或傾斜同相軸部分有效信號（如黑色箭頭指向部分），而提出的LPP+PCA方法較好地保留了有效信號。試驗中，為得到最佳峰值信噪比，測試了不同的k值，結果見表1所示，當k取12時，LPP+PCA方法得到的地震記錄峰值信噪比PSNR最高。

圖2 人工生成模擬地震記錄

表1 不同k近鄰點值峰值信噪比PSNR對比

3.2 實際資料處理

為驗證提出的方法在實際資料處理中的有效性，將其應用于某陸地實際地震數據去噪處理中。首先，在經過動校正后的實際地震CMP道集上進行實驗，結果如圖3所示。圖3（a）為含強噪聲的CMP道集，有效的反射信息淹沒于隨機噪聲中，圖3（b）為經LPP+PCA方法處理后得到的剖面，圖3（c）為兩者的差異剖面，即隨機噪聲，可以看到，圖3（b）在50ms～700ms間的同相軸明顯增強，連續性更好，剖面信噪比更高，同時1750ms和1850ms處的隨機噪聲也完全被去除，同時在圖3（c）的噪聲剖面中不包含有效信息。此外，圖4（a）為一陸上地區地震資料的部分疊加剖面，圖4（b）和4（c）分別為提出的LPP+PCA方法處理的效果剖面和去除的噪聲剖面?？梢钥吹?，提出的LPP+PCA方法在去除了隨機噪聲的同時，較好地保留了有效信號。

圖4 實際地震數據疊加剖面去噪處理結果

4 結語

借鑒LPP數據重構的思路，提出一種綜合利用LPP重構和PCA分解的地震數據去噪方法，在模型測試和實際資料上的去噪處理表明：該方法可適用于彎曲或傾斜的同相軸，對隨機噪聲有很好的壓制效果，且不損傷有效信號，提高了資料的信噪比。