一階RC電路的深度透視： 概念、思想和方法

陳昌兆

(安徽理工大學力學與光電物理學院, 安徽 淮南 232001)

1 提出問題

一階RC串聯電路是最簡單的交流電路形式，廣泛存在于電磁學、電路分析、電子學、信號與系統等物理類、電工電子類課程教學中。盡管是最為簡單的電路形式之一，學生們在學習過程中仍然存在不少問題，這種學習上的困難尤其表現在基于電路行為的定性分析層面上。眾多的教學案例和教學研究都表明大多數學生或許能夠正確地求解電路系統的微分方程，但并未完全理解隱藏于方程求解背后的核心概念和此類電路分析的總體指導思想和原則，在物理概念模糊、毫無指導思想前提下片面追求解題方法必然導致認識層面的狹隘和不足甚至是理解上的錯誤。

為了提高RC電路的教學效果，加深學生對儲能元件電容的工作特性的深度理解，國內外的教學工作者在實際教學中嘗試了很多新的教學方法并取得了不錯的教學效果[1-3]。Thacker等人[4]仔細研究了美國低年級電子工程類大學生以及以色列高中生對RC直流電路中電荷和電流的認識水平，提出了一種基于微觀模型的教學方法并付諸實踐，通過問卷測試、面試等教學手段證明此種方法與傳統的單純求解方程的教學手段相比不僅能夠從定性層面對電路行為做出正確的預測，還能夠加深學生對宏觀電磁現象的理解。Newburgh[5]和Osmond[6]分析一個荷電的電容器與另外一個未荷電電容器接觸時電流和電荷的分布狀況，將此體系類比于有活塞相連時兩個不同盛水狀態的水瓶體系的水流和容量分布。由美國國家自然科學基金資助的CASTLE(Capacitor-Aided System for Teaching and Learning Electricity)項目由部分高中以及大學物理教師發起，旨在通過構建基于電容的模型系統克服學生在學習電路時遇到的困難。在Steinberg和Wainwright的教學實踐中，充電的電容器甚至形象地比作被壓縮的空氣[7]。愛爾蘭都柏林城市大學的Smith教授[8]高度整合了以前關于RC電路中電容器行為的教學中對電流、電荷、電阻、電壓和能量的種種唯象描述，提出了依賴于電路中電容器的狀態而將電容器功能類比成導線、開關或電池，從而對電路中燈泡或電容器的定性行為作出合理判斷的方法。這種方法的優勢在于直觀性和直接性，可以讓學生在很短的時間內對RC電路的定性行為作出合理的預測。

圖1 由電源、開關、小燈泡和電容組成的一階RC串聯電路

實際上，采用唯象的模型系統和類比的教學方法教授RC電路固然有一定的優越性，但也存在諸多難以解決的問題。因為各種模型系統和類比對象都存在一定適用性，何種條件下采用特定的模型系統是學生很難把握的問題。單一的模型系統無法解決所有問題，而種類繁多的模型系統又會讓學生變得無所適從。圖1是一個由電池、電容器、小燈泡和開關組成的最簡單一階RC串聯電路，假設電容器起始未充電，則從開關閉合到經過很長一段時間，問燈泡的亮度如何變化？在這一段時間跨度上，電容器的表現何時像導線，何時又像電池或開關，這些都是足以讓學生困惑的問題。

縱然我們有充分理由引入電容模型講授RC電路，模型的直觀性和形象性會增強學生對電路中電容行為的感性認識，但教學本身是一個系統工程，任何感性認識最終都要理性回歸。過度的依靠模型講解問題會給學生造成先入為主的觀念，模型在絕對化的同時學生的思維會僵化，這正是人類思維上的缺陷。前蘇聯著名實驗物理學家、Nobel獎獲得者卡皮查教授不厭其煩地告訴他的研究生們從事科學研究時選題的重要性，在他看來，科研好比一棵由根、枝和葉組成的大樹，真正的科研應該從根上做起。教學又何嘗不是這樣，它同樣是有層次的。教學尤其是理工科的課堂教學往往從概念(如速度、加速度、電場強度等)入手，通過實驗或推理建立不同概念之間的定量關系從而獲得解題的總體指導思想，這往往表現為定理或定律(如牛頓第二運動定律，高斯定理等)，最后才是具體的解題方法。概念是核心必須吃透、思想是綱領必須掌握、方法是手段作到具體問題具體分析，只有明確這一點，教師才不至于在教學過程中舍本求末，學生也不至于在學習過程中迷失方向。以下就以一階RC串聯電路的教學為例，闡述三者之間的關系和聯系。

2 核心概念—電容的伏安特性

圖2 開關合上后一階RC電路中電容器上電壓和回路電流隨時間變化

這些錯誤的推理反映出學生思維上混亂和物理概念上的不清晰。盡管他們給出了多種多樣的錯誤解釋，但問題的癥結都聚焦于同一點，即一個物理量的時間變化率和這個物理量本身之間的關聯。正如電容的伏安特性所揭示的，通過電容器的電流iC(t)正比于電容上的電壓vC(t)對時間的導數，但兩者不是同一個概念。開關合上時電容器上為零的電壓卻對應最大的電壓變化率，否則電容器上的電壓不會變化，又何來充放電過程。這正如力學中速度和加速度的關系，眾所周知加速度是速度的時間變化率。設想一個處于靜止狀態的球從高處落下，t=0時刻球的速度為零但加速度不可能為零，否則球如何能下落？

學生們的困惑來自于電容器零電壓時具有的最大電壓變化率，單純從數學的角度考慮，似乎是他們對瞬時斜率或者說導數的物理意義理解上有偏差。實際上，學生們的誤解不僅僅是一個數學問題，還是一個哲學問題，因為它涉及對連續性、運動和無限性的錯誤解讀。哈佛大學拓展學院的Newburgh教授把它稱為芝諾悖論(Zeno’s paradoxes)的新型表現形式。[9]芝諾是古希臘哲學家，因為提出一系列關于運動的不可分性的哲學悖論而著名，其中最有代表性的就是“飛矢不動”學說。設想一支飛行的箭，在每一時刻它位于空間中的特定位置。由于時刻無持續時間，箭在每個時刻都沒有時間而只能是靜止的。鑒于整個運動期間只包含時刻，而每個時刻又只有靜止的箭，所以芝諾斷定，飛行的箭總是靜止的，它不可能在運動！這顯然是悖論但恰恰與學生的誤解相吻合，即初始時刻電壓為零，由于時刻沒有間隙，所以電壓不會隨時間而改變。Kine[10]采用德國數學家康托(Cantor)的超窮數理論很好地解決了這一問題?？低?Cantor)的超窮數理論表明一個線段上點的數目等于超限數C，它跟線段的長度沒有關系。同樣的道理，一段時間間隔內瞬時時刻的數目也是獨立于間隔長度的超限數C。因此，在任何一段時間間隔內都可以有無限個靜止，這相當于承認了時間間隔的存在。箭在每個時刻都不動這一事實不能說明它是靜止的，運動與時刻本身無關，而是與時刻間發生什么有關。除非一個物體在兩個相鄰的時刻處在同一位置，否則它就一定是運動的。

我們注意到前述的各種模型教學法都力圖通過將電路中的電容行為與常見的生活現象進行類比從而使學生獲得對電容特性的直觀認識，加深對電容器上電荷分布、電壓以及電容器充放電過程這些基本概念和物理規律的理解。模型教學法的使用的確在一定程度上能夠提高教學效果并在眾多的教學實踐中得到證實，這主要得益于關于電容器的一些較為抽象的物理概念被形象化處理。但每一種模型都有自身的缺陷性，這些缺陷如果沒有被學生充分地認識到就會導致錯誤的判斷。例如，將電容器類比為儲水的容器，電路中的電流被類比為水管中的水流，但荷電的電容器可以自發放電，而水流動必須在外界重力場的作用下才能實現，如何用該模型系統解釋電容器的自發放電行為就存在問題。實際上，在多年的電路教學中我們發現，簡單的類比教學法主要適用對象是剛剛接觸電容器的入門級的學生，他們初次接觸電容器并且對其工作特性知之甚少，在這種情況下引入模型系統會增強學生對電容器的感性認識，從而加深學生對基本物理概念的理解。對于有一定電路基礎的學生而言，在RC電路教學中，學生們在概念體系上的最大認識誤區并不是像電容、電流、電荷和電壓這些物理概念的模糊不清，而在于電容的伏安特性中所蘊含的哲學困惑。教師在教學過程中必須抓住這個核心概念并引導學生走出認識上的誤區，只有這樣才能正確地定性分析電路并定量地求解電路。

3 基本指導思想—基爾霍夫定律

復雜的電路系統往往表現為由眾多的支路、節點和回路組成的網絡結構。這種網絡結構的求解就不是簡單的串并聯電路公式所能解決的。但是電路終歸是由電路元件(如電容、電感和電阻)依據一定的串并聯關系連接而成的有機整體，所以電路問題的求解依據只能依靠兩類約束特性。其一是元件的約束特性，它反映的是電路元件模型的關系式，上述的電容伏安特性就屬于這一類。其二是網絡拓撲約束，也就是由網絡的拓撲結構建立的各電流和電壓之間的定量關系，這種約束關系最早是由德國物理學家基爾霍夫給出，因而被稱之為基爾霍夫定律?；鶢柣舴蚨墒乔蠼怆娐返钠毡橐幝?，也是進行電路分析的基本指導思想。在電磁學、電工學、電路分析以及信號與系統等課程學習中，我們或許會發現各種各樣的電路求解方法，如傳統的微分方程求解法、正弦穩態電路相量分析、三要素法、拉普拉斯變換法等，但沒有一種求解方法不是以基爾霍夫定律為基礎的。

定理或定律的講授一般要求做到3點：首先是定理的歷史淵源并從其歷史淵源中找出定理成立的條件；其次是定理的證明方法或推理過程；最后才是定理的意義和應用。國內現有教材對基爾霍夫定律的描述主要放在電壓、電流這些代數量正、負號的規定和解讀以及應用舉例上，很少涉及其來源和具體適用條件。我們在閱讀過程中發現，歐美一些發達國家的高校理工科教材在介紹某個定理或定律時，會花較大篇幅放在概念或定理的引入上，如費曼的《物理學講義》就是這樣。將定理的來龍去脈以循循善誘的方式講授給學生，并盡量以條分縷析的方法完成定理的證明或推理，這些固然需要花費較多的時間但是值得的。因為這會培養學生的探究精神，所謂知其然知其所以然，刨根問底的學習態度才是創新的源頭活水，而將基爾霍夫定律直接以公式的形式拋給學生并根據公式指導學生解題是工程師的思維，不是科學家應該具有的態度。

4 RC電路分析方法

最后我們討論一下一階RC電路的求解方法。方法不同于概念和思想，它處于較低層面上，具有具體性和相對性。一階RC電路的分析討論，根據研究對象的性質和所屬課程情況，分析方法有多種形式，如電磁學中常用求解微分方程，電工學中三要素法，電路分析中的正弦穩態電路相量分析法以及信號與系統中拉普拉斯變換法。還是以電路1為例，以激勵信號源的電動勢e(t)作為輸入信號，電容器上電壓vC(t)作為輸出信號。對這樣一個最為簡單的一階RC電路，求解微分方程、三要素法和拉普拉斯變換法是教科書中最為常見的3種求解方法，現簡單分述如下。

(2) 三要素法：三要素法僅適用于直流電源驅動的只含一個動態元件的一階電路的全響應的一般表達式。因為直流電源E驅動下，上述微分方程的定解問題其解的形式為vC(t)=vC(∞)+[vC(0+)-vC(∞)]e-t/τ，此vC(∞)=E為電容器上電壓的穩態值，τ=RC為一階RC電路的時間常數。由此可見，直流激勵下一階RC電路的全響應取決于穩態值、初態值和時間常數這3個要素，總是從初始值vC(0+)開始，按照指數規律增長或衰減到穩態值vC(∞)，響應變化的快慢取決于電路的時間常數τ。

(3) 拉普拉斯變換法：拉普拉斯變換法可以直接對(1)中的微分方程兩邊求拉普拉斯變換并利用拉普拉斯變化的微分性質得到RC[sVC(s)-vC(0-)]+VC(s)=E(s)，式中，VC(s)和E(s)分別為vC(t)和e(t)的單邊拉普拉斯變換；vC(0-)為電容器上電壓在換路前的起始值，通過積分變換化微分方程為代數方程，由此求出VC(s)并對其實施反變換即可求出vC(t)。

上述3種不同方法求解時用到的基本公式、求解過程以及適用條件等列于表1中。從表中的內容可以看出方法的多樣性和具體性，追其根源，它們只不過是基爾霍夫定律在特定的激勵源和電路起始狀態下的變化形式，因而往往只適合于特定的場合和條件。條件變化，求解方法往往也隨著變化，比如在電路分析課程學習中，我們經常用“電容上電壓不會突變，通過電感的電流不會突變”來分析換路前后儲能元件的初始狀態的變化，但這僅限于在沒有沖激電流作用于電容以及沒有沖激電壓作用于電感的條件成立，否則電容上電壓和通過電感的電流是可以突變的。

表1 RC電路常見3種電路分析方法

5 結語

一階RC電路廣泛出現在電工、電子類的課程教學中，但學生們在理解上一直有困難。多年來，國內外教學工作者為提高RC電路教學效果所作的努力大多停留在電容模型的引入和電路分析方法挖掘上，而忽略了理工科課程教學中最基本的問題：教授物理概念和思想。我們深度剖析了一階RC電路中涉及的重要物理概念、物理學基本定律以及電路分析方法之間的層次性和主次關系，指出了學生們學習上的最大困擾植根于電容的伏安特性中所蘊含的電壓變化率的認識誤區以及對基爾霍夫定律作為主要指導思想的認識不足。