平方反比有心力作用下的二體系統的一套初等教案

周國全

(武漢大學物理科學與技術學院,湖北 武漢 430072)

自然界中典型的兩種引力——萬有引力與靜電引力, 都屬于平方反比有心力系統[1-3], 除了遵守通常的有心力系統所滿足的機械能與角動量守恒定律、比耐微分方程與位力(Viary) 定理之外[4-7], 還滿足其獨有的高斯定理和LRL(Laplace-Runge-Lenz的縮略)守恒矢量[6-12]。

科學史告訴我們，開普勒先后發現太陽系的3個行星定律，牛頓由此推導出萬有引力公式，但有關太陽系行星的公轉運動，教材、文獻一般采用的求解是基于牛頓的萬有引力理論及其經典力學的比耐微分方程，或者運用其他高等方法加以解決[4-7，13]，文獻[8-12]采用隆格-楞次守恒矢量方法，它是一種優雅而精致的初等方法，僅需學生理解并使用三矢量混合積的輪換恒等式，以及四矢量混合積的拉格朗日公式等數學知識。本文面向大學理工科低年級大學生以及中學物理競賽的師生，總結了自己長期從事奧林匹克物理競賽的培訓經驗，并未遵循天體運動規律的科學史的發現軌跡，而從教學的方便性需要和理論的邏輯連貫性的目的出發，展示了有關這一問題的另一套初等解決方案，即運用牛頓的萬有引力公式，以及有心力系統的機械能E的守恒性質，并僅僅基于行星質心繞太陽質心的周期性橢圓運動規律(開普勒第一定律)和公轉角動量L的守恒性質(等價于開普勒第二定律)，力避求解復雜的微分方程，突出利用一元二次方程的韋達定理等初等數學技巧，給出了在平方反比有心力作用下，開普勒系統之軌道問題的一套初等教案。具體而言，本文推導了其軌道方程之諸參數、能量公式、特殊點的運動參數(速率與曲率半徑)；再結合萬有引力公式，用巧妙的初等方法逆向推導出開普勒三定律；進而通過引入質心系中二體開普勒系統的等效的單體描述，給出了前述理論對二體情形的修正和統一的表達形式。

1 有心力系統的一般性質

自然界中存在著一類特殊力系——有心力系統，作用在質量為m的質點上，它可表達為

F(r)=f(r)r/r∥r

(1)

其中，r是質量為m的質點繞質量為M的不動的質點作開普勒運動的相對位置矢量。平方反比有心力系統具有一般有心力系統所共有的如下性質：

(1) 角動量守恒，即滿足開普勒第二定律。開普勒觀察太陽系行星系統所得到的開普勒第二定律，即太陽質心(力心)與運動行星的質心連線在相同時間內掃過的面積是不變的、守恒的，亦即掠面速度守恒。它體現的不僅是平方反比有心力系統所特有的性質，更是一般有心力系統普遍滿足的角動量守恒這一共性規律。事實上，由于有心力關于力心的力矩為零r×F(r)=0，自然導致運動質點關于力心的角動量L=r×p=r×m守恒，稱為角動量守恒定律

dL/dt=0

(2)

而掠面速度

(3)

即單位質量的角動量h=L/m之半。這是因為|r×dr|/2正是質點的位置矢量r在dt時間內掃過的無窮小三角形(扇形)的面積。

(2) 保守力特性與機械能守恒。

運用文獻[14]的一個有關微分矢量的定理及其推論, 從F(r)∥r可得F(r)·dr=F(r)dr，進而可證明一切有心力系統均為保守力系，滿足機械能守恒定律

mv2/2+V(r)=E

(4)

其中E，V(r)分別為有心力場中運動質點的機械能與勢能。

(3) 質點運動軌跡的平面曲線特性，即有心力作用下質點必作平面軌道運動。

在相對力心(不動質點M)的慣性系，并以力心為原點的空間直角坐標系O-xyz中，運動質點(m)的位置矢量r(x,y,z)與其守恒的角動量常矢量L(a,b,c)之間滿足正交關系L·r=0，這是因為L=r×m⊥r，于是

L·r=ax+by+cz=0

(5)

這個平面方程說明運動質點在有心力作用下必作平面軌道運動。容易驗證，力心(0,0,0)就在此軌道平面上, 這正好符合開普勒第一定律的表述：“太陽是這些橢圓軌道的焦點”,當然必須在其軌道平面上。

(4) 有心力作用下質點的平面極坐標(r(t),θ(t))滿足運動微分方程組

(5) 位力定理(Virial theorem)是一個帶有統計平均性質的定理。無論宏觀或微觀領域，也無論經典或量子情形，它都可以表示為〈T〉=-〈F·r〉/2。其中符號〈…〉表示對時間的平均。T是總動能；F和r分別是作用于質點上的力和質點的位矢?？藙谛匏?Clausious)把上式右邊叫作均位力，所以上式也稱位力定理。當作用力具有勢能V時，F=-V,位力定理可表達為

〈T〉=-〈V·r〉/2

(8)

特別是對于平方反比有心力，位力定理可表達為

E=-〈T〉=〈V〉/2

(9)

(6) 在極坐標系中，運動質點的軌道r=r(θ)滿足比耐微分方程

mh2u2d2u/dθ2+u=-f1/u

(10)

其中u(θ)=1/r(θ)的第4、5、6條性質式(6)～式(10)是本文力避使用的高等方法。

2 平方反比有心力作用下質點的二次軌道問題的初等方法

2.1 平方反比有心力系統的一般性質

對于平方反比有心力系統，其勢能的表達式V(r)=k/r(設定無窮遠處勢能為零)，當其中的常系數k=-GMm時，適用于萬有引力系統, 而當常系數k=Qq/4πε0時, 適用于質量為M,電量為Q的點電荷與質量為m, 電量為q的點電荷之間在M?m條件下的靜電場庫侖引力系統。其中勢能V(r)與相應的平方反比引力場的引力F的關系為

F(r)=f(r)r/r=kr/r3=-(k/r)=-V(r)

(11)

因此

E=Ek+V(r)=mv2/2+k/r； dE/dt=0

(12)

因而根據牛頓第二定律,質點(m)的動力學方程可表達為

dP/dt=-V(r)=kr/r3

(13)

其中P=m和分別為質點(m)相對于不動的質點(M)的動量和速度。

2.2 平方反比有心力作用下的橢圓軌道問題的初等方法

先討論單體質點繞不動的力心F2作橢圓軌道運動的理想情形(相當于力心處質點因其質量遠大于單體質量而不動的情形)。對于中學生，我們避開動力學原因而直接承認開普勒第一定律，(8大行星各自獨立地在一個以太陽為焦點的橢圓軌道上作周期運動)；并接受有心力的前述兩條性質——機械能守恒、角動量守恒(進而滿足開普勒第二定律)；可將質量為m的質點的機械能E與其繞力心的角動量L(及其大小L)作為初始條件。如圖1所示, 在以橢圓中心為坐標原點的直角坐標系中，質點的軌跡方程為

x2/a2+y2/b2=1

(14)

圖1 平方反比有心力作用下的二次曲線軌道(以橢圓為例)

r(θ)≡r0/(1+ecosθ)

(15)

其中，r0為半正焦弦長；e≡c/a為橢圓的偏心率。設r1，r2分別為右側焦點到左右兩拱點的距離(即到遠日點及近日點的距離)，它們之間的幾何關系為

因此有

(18)

而偏心率

(19)

在拱點，r⊥，且

從式(20)、式(21)中消除v，可得拱點的位矢長r，它們是如下一元二次方程的解

2Er2-2kr-mh2=0

(22)

韋達定理給出其兩根之如下關系

由式(16)及式(23)、式(24)立即可得橢圓軌道的能量公式

E=k/2a=-mh2/2b2=-L2/2mb2

(25)

再從式(20)、式(21)中消除r，可得拱點的速率v，它們是如下一元二次方程的解

v2+2k/mhv-2E/m=0

(26)

韋達定理給出其兩根之如下關系

將式(23)、式(24)代入

(29)

質點的運動在其機械能E<0的情形，0≤e<1，屬于橢圓運動；在其E=0的情形，由式(22)知軌道只有一個拱點，即近日點，偏心率e=1，屬于拋物線運動；在其機械能E>0的情形，e>1，屬于雙曲線運動。

對于橢圓軌道情形，由式(23)、式(25)，可得其諸軌道參數如下，半長軸為

a=(r1+r2)/2=k/2E

(30)

焦距之半為

(31)

半短軸為

(32)

半正焦弦長(對于e<1的橢圓情形)為

(33)

其中，守恒量E、L由系統初值或任意時刻/位置的瞬時值給定。另外，相應于圓軌道情形，一元二次方程式(22)必有等根，其判別式Δ=4k2+8Emh2=0；或在式(29)中令偏心率e=0，可得如下圓軌道的能量公式

(34)

2.3 第三點的速率3的計算

第三點P3即軌道與y軸的交點，質點在點P3的速率有兩種推導法

方法一：能量法, 由r3=a及機械能守恒，有

可得如下比例關系及v3的表達式

因而可求得v3之值

(35a)

以及一個意外的比例中項關系式(由式(28)可得)

(35b)

方法二：角動量守恒法。在第三點及第一、二點處應用角動量守恒定律

r3×m3=r1×m1=r2×m2

其大小亦為守恒量，即

注意到α3=(r3,3)，亦即r3與x軸反方向之夾角；在圖(1)的直角三角形中sinα3=b/a，結合r1r2=b2，代入上式化簡，也得到同樣的比例中項關系式v3=再由式(28)進而可得即式(35a)。

2.4 軌道曲線3個特殊點P1、P2、P3的曲率半徑

首先計算軌道在第三點P3處的曲率半徑。由r3=a及如下運動方程

(36)

和圖1中的直角三角形的邊角關系sinα3=b/a，可得

ρ3=a2/b

(37)

又由拱點處的法向動力學方程

(38)

將以上二式相乘可得

m2(v1v2)2/ρ1ρ2=k2/(r1r2)2

又根據橢圓軌道的對稱性ρ1=ρ2，因此由上式及式(24)、式(28)可得

ρ1=ρ2=b2/a

(39)

再由式(37)、式(39)可得ρ1ρ3=ab，于是橢圓面積S=πab=πρ1ρ3,即拱點處與第三點處的曲率圓面積的比例中項。

2.5 開普勒第三定律的證明

對于束縛態情形的封閉的周期性橢圓軌道，k<0時，還有一條著名的開普勒第三定律。雖然歷史上它是由開普勒發現的一條獨立的定律，但我們結合開普勒第一、第二定律和軌道的特征，運用牛頓萬有引力理論，也可給出開普勒第三定律的初等證明。根據開普勒第二定律，對拱點處運用式(3)、式(20)，可得

(40)

將橢圓面積公式S=πab及韋達定理的表達式(24)、式(28)代入上式可得

(41)

整理即得

a3/T2=-k/4π2m，或T2/a3=4π2/(-k/m)

(42)

對于萬有引力系統，上式中-k/m=GM稱為太陽(對于太陽-行星運動)或地球(對于地球-衛星系統)的高斯常數。

3 對二體開普勒運動系統的修正

3.1 二體問題的質心系與等效的單體描述

仿照文獻[10]的方法, 引入質心C和質心系的概念，即可將以上理論推廣應用于二體問題；它既能描述質量任意的二體開普勒運動，又能同時適用于平方反比有心力系統。我們仍然以平方反比有心力作用下的橢圓軌道運動為例，討論開普勒二體系統作各類二次曲線軌道運動的判據, 以及開普勒二體系統在質心系中作相對束縛態橢圓軌道運動的能量公式。

圖2 實驗室系中二體系統的運動描述

E=Ek+V(r)=μv2/2+k/r=P2/2μ+k/r

(43)

相對運動的動力學方程為(本文不直接運用)

μd2r/dt2=dP/dt=F(r)=kr/r3=-V(r)

(44)

由于質心系中，二體系統不受外力及外力矩作用,因此質心系中二體總角動量L=r×μ=r×P也是守恒的。最終我們將二體問題成功地轉化為在質心系中折合質量為μ的單體的軌道問題。

3.2 二體相對運動軌道曲線的平面極坐標方程及分類判據，能量公式

基于以上等效的單體描述，可直接援引前文結論。在平方反比有心力作用下，二體運動的相對位置(r,θ)所滿足的極坐標方程仍如式(15)，其偏心率e與半正焦弦長r0在k<0時可分類表達。對于萬有引力系統二體軌道運動的高斯常數修正為GM=G(m1+m2)。

而對于異號點電荷之間的靜電吸引力二體系統(k<0):

根據式(45)、式(47), 可得二體質心系中相對運動的軌道曲線的判據。

當總能量E<0，e<1，此時質點處于束縛態，其二體相對軌道為橢圓二次曲線; 尤其當E=-μk2/2L2時，e=0, 軌道為圓形; 當E=0時,e=1，軌道為拋物線; 當E>0時, 軌道為雙曲線，又分為兩種情形：當k=Qq/4πε0<0,總能量E>0時，即在異號電荷平方反比吸引力情形，由式(47)可知，e>1，相應的二體相對軌道為焦點(質心)在內的雙曲線；而當k=Qq/4πε0>0,總能量E>0時，即在同號電荷平方反比排斥力情形，計算可知，e>1，相應的二體相對軌道為焦點(質心)在外的雙曲線，極坐標方程為：

r(θ)≡r0/(-1+ecosθ)

(49)

這是只有一個拱點(近日點)，且焦點在外的散射型雙曲線軌道，其初等方法，作者擬另文專述。最后，二體各自相對質心的軌道二次曲線分別為[10]

它們的軌道半正焦弦長分別變為μr0/m1及μr0/m2。而在平方反比有心吸引力作用下，二體Kepler系統的束縛態橢圓軌道的能量公式

E=k/2a

(52)

4 結語

基于有心力系統的機械能E的守恒性質與開普勒第一、二定律，本文給出了開普勒二體問題的一套初等的教學方案; 具體討論了運動質點在平方反比有心力作用下的束縛態橢圓軌道問題，推導了其特征軌道參數、能量公式、軌道拱點等若干特殊點相對于力心的距離、速率與曲率半徑；并可推廣延伸到其他二次曲線(如拋物或雙曲線)軌道問題，給出不同軌道類型的判據；這套解決問題的初等方法，為從事普通物理與理論力學教學，以及參加物理競賽或自主招生的師生們提供了一個參考教案。